构造三角形巧解代数问题

三角形是人们熟悉的几何图形.三角形的面积公式、边角关系式等性质为人们所熟知.对一些代数问题,若能根据题目的结构特点,通过构造三角形,借助三角形的性质,化抽象为直观,化陌生为熟悉,有时可收到更佳效果.本文通过构造三角形来解决一些代数问题,兹举例说明.1构造三角形证明不等式例1已知x>0,y>0,z>0,求证:x2+y2?xy+y2+z2?yz≥x2+z2+xz.分析本题若用证明不等式的方法直接论证,显然不易.细观三个根式的特点,联想三角形中的余弦定理,原不等式可以写成x2+y2?2xy cos60°+y2+z2?2yzcos60°≥x2+z2?2xzcos120°,由此构造△ABC、△ACD如下左图…     

巧构三角形证明一类不等式

构造三角形证明不等式,使数、式、形巧妙地结合在一起,别具风采,本文想就对巧构三角形证明的不等式作出分析、解答,以期达到激发学生创造思维能力的目的。 例1 若α为锐角,求证:     

『构造法』在不等式证明中的应用

证明不等式的常规方法主要有:综合法、分析法、比较法、放缩法、反证法等.利用构造法证明不等式,是对常规方法的重要补充.适当地运用构造法证明不等式,往往能出奇制胜,收到其他证明方法所不能达到的效果.下面谈谈常见的构造技巧与解题思路.     

活用构造法处理导数问题

构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.本文略举两例从多角度说明构造法证明不等式的常用方法,以供探讨.例1已知函数f(x)=cosx+(1/2)x^(2).     

构造法在证明不等式方面的应用

构造法是中学数学解题中常用的方法之一．本文通过具体实例,介绍利用构造三角形、一元二次方程、二次曲线以及复数等手段来证明不等式的解题思路．     

构造几何图证明不等式

在代数学习中有一类不等式较难证明,但是这类不等式却有明显的几何意义,因此,可以构造几何图形来证明这类代数不等式.下举几例,供大家参考.一、构造三角形证明不等式例1设x、y、z均为正数,求证:!x2 xy y2 !y2 yz z2>!z2 zx x2.证明:构造图1所示的三角形,使AO=x,BO=y,CO=z,∠AOC=∠AOB=∠BOC=120°.由余弦定理,有AC2=x2 z2-2xzcos120°→AC=!z2 zx x2,AB2=x2 y2-2xycos120°→AB=!x2 xy y2,BC2=y2 z2-2yzcos120°→BC=!y2 yz z2.∵AB BC>AC,∴!x2 xy y2 !y2 yz z2>!z2 zx x2.二、构造长方形证明不等式例2设a、b、c、d都是正数,…     

巧用构造法证明不等式

不等式在中学数学中处于重要地位,但不等式的证明却是一个难点.巧妙运用构造法证明不等式往往能够化繁为简、化难为易.本文介绍了运用构造法证明不等式的几种常用方法.     

构造图形解代数问题

构造三角形、圆、函数等几何图形解方程、证明不等式、证明恒等式等代数问题,充分利用几何直观性使代数问题变得直观、简洁.在数学解题中用构造法解题不仅使学生能直观地把握代数问题,而且有利于学生的数形结合思想的培养.     

用“零件不等式”证明一类根式不等式

正构造"零件不等式"去证明不等式,运用的是"以退求进"的思维策略,具体在证明一个不等式时,先化整为零证明"零件不等式",后将"零件不等式"积零为整,从而得到原不等式的证明,这种思想方法十分有用.本文探讨构造"零件不等式"证明一类根式不等式.例1设a_i≥0,(?)a_i=1,求证:     

利用“a2＋b2=c2”构造直角三角形证不等式

某些不等式 ,我们通过观察其结构特点 ,可发现与三角形有着某种直接或间接的联系 ,特别是当题中含有“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”这一信息时 ,则可构造直角三角形 ,利用三角形边、角之间的关系 ,使不等式获得自然、直观、简捷的证明 .下面举例加以说明 .1　直接由题设“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”构造直角三角形 .例 1　设ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,求证 :ｐｍ ｎ ≥ 22 .　　　　　图 1证明　注意到ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,故可构造一个直角三角形 .如图 1,构造Ｒｔ△ＡＢＣ ,使ＡＣ =ｍ ,ＢＣ =ｎ ,ＡＢ =ｐ ,则ｍ ｎｐ =ｃｏｓ…     

构造法在数学解题中的应用

一、利用构造法证明不等式不等式的证明是中学数学的难点,常用方法有比较法、分析法、综合法.若能巧妙地运用构造法,可收到事半功倍的效果.     

构造几何图形证明不等式

高中数学教材(人教版2004年6月版)第二册,介绍了构造几何图形证明均值不等式,这是一种构思新颖,技巧性较强,能使问题直观、简捷地求解的方法,就证明不等式而言,最常选用的是特殊的、简单的几何图形.一、构造三角形证明不等式某些不等式通过对题设条件或结论进行分析,合理地构造出三角形,利用三角形的边长关系进行推理而获得证明.例1已知a,b,m均为正数,且aa/b.证明以a为直角边,b为斜边作Rt△ABC,延长AC至E,使CE=m,过E作DE⊥上AE交AB的延长线于点D,如图1.设BD=n,则n>m.过B作BF∥AE,交DE于F,因为△ABC∽△ADE,所以a/b=AC/AB=AE/AD=a+m/b+n因为n>m,所以a+m/b+m>a+m/b+n,所以a+m/b+m>a/b.YSW2006.12实战实例27     

一个优美不等式的简证加强和推广

题目 已知a,b,c∈R＋,求证（a2＋ ab＋b2）（b2＋ bc＋c2）（a2＋ac＋c2）≥（ab＋bc＋ac）3. 文[1][2]用构造三角形中的费尔马点,再利用三角形面积,余弦定理转化为三角形不等式证明．文[3]利用代换和三元均值不等式给出了证明．     

一道典型例题多途径解决的思维过程

文 [1 ][2 ]的例 2是 :已知 a>c,b>c,c>0 ,求证 :　　　 (a- c) c (b- c) c≤ ab (* )文 [1 ]从几何的角度 ,构造三角形 ,化难为易 ,化隐为显 ,给出证明 ;文 [2 ]则从代数的角度 ,借助基本不等式 a2 b2 ≥ 2 ab予以解决 .殊途同归 ,相映成趣 .读后受益匪浅 ,又引起思考 :文 [1 ]是怎样想到构造三角形的 ,文[2 ]又怎会想到运用基本不等式 ,这其中有无规律可循 ?更进一步地 ,本例还有其它解决途径吗 ?以下是笔者的思考 ,敬请批评指正 .思考 1　这是一个无理不等式 ,一条自然的思路是通过消根号而证明 .要证 (a- c) c (b- c) c≤ ab,只要证…     

证明不等式的八大绝招

<正>高考数学的压轴题常以不等式为背景,而不等式的证明因其方法灵活,技巧性强,历来是学生学习中的一大难点.本文给同学们介绍不等式证明中的八大绝招:变形法、拆项法、添项法、放缩法、构造法、换元法、导数法、数形结合法,希望对同学们的学习有所裨益.     

三角形内接正三角形存在性问题

文[1]、[2]论及三角形的内接正三角形的两个对偶不等式,但并没有给出内接正三角形的存在性的证明,若不存在,这两个不等式就没有研究的价值.本文即用构造性方法证明:任意三角形的内接正三角形都是存在的.     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在…     

Gerretsen不等式的对偶律

借助三角形中的基本不等式,通过构造证明了Gerretsen不等式的对偶律猜想.     

构造法证明不等式例谈

证明不等式是高中数学中一类重要的题型,常用的方法有比较法、分析法、综合法、换元法、放缩法、反证法、构造法等.下面就构造法证明不等式举例予以说明,供参考.……     

不等式（一）

不等式问题有两类:(1)不等式的证明;(2)不等式的解法一、不等式的证明证明不等式最主要、最基本的方法是比较法———差值比较法(即作差法)和商值比较法(作商法,常用于幂指数的比较);其次是综合法(由因导果);再次是分析法(思路是“执果索因”,寻找结论成立的充分条件,一般在前两种方法不易奏效时再考虑用此法,且常常分析后再用综合法表述).应掌握这三种证法的基本步骤、基本技巧和适用范围,注意灵活选用.此外,还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等.【例1】若0｜loga(1 x)｜(a>0,且a≠1)证明:方法一:∵0<…