(a~2 +b~2 +k_1ab)~(1/2)+(b~2 +c~2 +k_2bc)~(1/2)>(a~2 +c~2 +k_3ac)~(1/2)的探究——反思、与读者也与自己对话

我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1　已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远…     

asinx+bcosx=(a~2+b~2)~(1/2)sin(x+φ)的应用

asinx+bcosx=(a~2+b~2)~(1/2)sin(x+φ)这个重要的等式,在结构上左边是两函数的和,右边只是一个函数,即是一个函数表示两个函数的和。本文就是根据这些结构特点。结合|sin(x+φ)|≤1的性质列举出诸方面的应用。例1     

2~k+2~k=2~(k+1)的应用

利用等式2k+2k=2K=1①可求形如xp+yq=zn（n,p）=1,（n,q）=1的不定方程的一组正整数解。例1、求方程y2＋x3＝z5的一组正整数解。解：…2、3的最小公倍数是6。既是6的整数倍又比5的整数倍小1的最小的k的值是24,即有224＋224＝225,(212)＋（28）3＝（25）5”y＝212’,x＝28,z＝z5即为要求的一组正整数解。例2、求方程z3＋x7＝y4的一组正整数解。解：3×7＝21,又3×21＝63＝64－1则有沙十3ee一岁,即（3z）’＋（3＊二（3”）‘”＝一户1二3’,歹一3‘’为要求的一组正整数解。例3、求方程＞十二二;的一组正整数解。U3M、Al＼jjq：l…     

将asinα+bcosα化为(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ)的教学设计

教师 :如图 1所示 ,设M( a,b)是角θ终边上的一点 ,点 M到原点的距离为 r,则 cosθ =?,sinθ =?学生 :cosθ =ar,sinθ =br.教师 :由此我们得到 a =rcosθ,b=rsinθ.这两个等式说明了一个什么问题 ?学生 :这两个等式表明 :角θ终边上的任意一点 M的坐标 a、b可以分别用角θ的余弦和正弦来表示 .教师 :点 M的坐标 a,b可以取哪些实数 ?由此说明了一个什么问题 ?学生 :由于角θ是任意角 ,点 M是θ上的任意点 ,所以点 M的坐标 a,b可以取任意实数 ,这说明对于任意实数 a,b都可以用一个角θ的余弦和正弦来表示 ,即 a =rcosθ,b =rsinθ,其中r =…     

((k-1)P+kQ)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)与Q~(2m)((Q-1)P+1)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)可除定理

本文给出((k-1)P+kQ)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)与Q~(2m)((Q-1)P+1)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)可整除性定理。     

Sin~(n+2)αSin~(-n)β+CoS~(n+2)αCoS~(-n)β≥1的证明与应用

本文给出两个三角不等式: [定理一] 设α、β为锐角,n为自然数,则 sin~(n+2)αsin~(-n)β+cos~(n+2)αcos~(-n)β≥1 (1) 当且仅当α=β时等号成立。 [定理二] 设n,k∈N,k≤n,则有     

函数f(x)=(A_1x~2+B_1x+C_1)~(1/2)±(A_2x~2+B_2x+C_2)~(1/2)极值点的光学特性

一、引言 对于函数:(其中:A_1>0,A_2>0,B_1~2-4A_1C_1<0,B_2~2-4A_2C_2<0)其极值点x_0(实际上也是最值点),在计算上不会有困难,只要先求出f(x)的驻点x_0,然后判断x_0为极值点即可。本文着重用光学     

asinx+bcosx=(a~2+b~2)～(1/2)sin(x+φ)在解几中的应用

通过讨论方程asinx+bcosx=c实数解的存在情况,举例说明该方程的性质在平面解析几何中的应用.在教学中培养学生解决问题的能力.     

公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2的教学设计

公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的教学设计□徐光考（浙江省台州市椒江二中３１８０００）《九年义务教育初级中学数学大纲》明确提出：“在教学时，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展，……，使学生在这些过程中展开思维，从而发展...     

(a+b)~2≠a~2+b~2,为什么

上面这个错误的等式是显而易见的.但在学习了这部分知识后,在利用乘法公式的计算中,有些同学却屡改屡犯,这是为什么呢?可能是老师在给这部分学生纠正错误时,只注重了从表面或运算结果的角度去分析,而忽略了从"学生的学习心理"方面去分析问题.同学们可能会这样想:     

关于asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+)的应用

人民教育出版社出版的数学第一册(下)(试验本)P45例5. 求证:cosa+√3sina=2sin(π/6+a).它事实上是介绍了一种三角函数的变形技巧.而这种变形技巧所蕴含的数学思想是化归思想,把形如asina+     

由(k+1)~2=k~2+2k+1想到的

完全平方公式:(k+1)2=k2+2k+1是同学们非常熟悉的乘法公式之一.接下来请同学们和我一起利用这个公式进行一个小研究. [探索一]在这个公式中,如果分别令k= 1,2,3,…,n,那么可以得到以下n个等式:     

(1+2)~n展开式的组合原理

现行高三数学中学到了二项式定理:(a+b)~n=C_n~0a~n+a_n~1a~(n-1)b+C_n~2a~(n-2)b~2+……+C_n~nb~n。若令a=1,b=1,代入上式,就得到(1+1)~n=C_n~0+C_n~1+C_n~2+……+C_n~n,这是全组合公式,即从n个元素中一个也不取,取一个、取二个、……、取n个元素的组合总数,那么(1+2)~n的展开式的组合原理是什么呢?或者说,它的数学模型是什么?下面我们先看一个具体问题。     

(a+b)2=a2+b2+2ab与直角三角形的关系及具体应用

公式(a b)2=a2 b2 2ab与直角三角形有着密切的联系。如果设直角三角形的两条直角边的边长为a、b,则可根据公式的变形求出有关两直角边的关系式(a b、a2 b2、ab)如果将公式的变形与直解三角形的内切、外接圆半径公式结合起来,可顺利解决许多有关直角三角形的综合题。     

谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

魏琴伯克不等式a~2+b~2+c~2≥4(3S)~(1/2)的再加强

若。、b、。为△,及,的三边,s是其面积,则。2十护十‘“多刁、/下剐等号当且仅当著名的魏琴泊克(认’ei比e,、‘沁ek)不等式·时成立).这就是文[1口对魏琴伯克不等式进行J’证明、推广与加强.加强结果如卜 ,\(a十b+‘·)2\.,.\/一:恤、a一卞O-一卜广拼弓—二多ao十伙,十自万二多二1侧j乃. n笔者通过三角形面积得到魏琴伯克不等式的再加强:,,.,\_伍+乃+()2\,.,.一_1,、二\,/下不一。一寸~心尸多二——多‘“口一厂明寸一川二‘井O又a伙’j3二多q、乃‘、 j事实_h,对于一个任意只角形,其三边分别为。,乃,‘、,面积为S,兰,可设其外接圆平径为…     

(CH4+C2H4+THF+H2O)体系相平衡实验研究

开发了一种水合物法分离甲烷-乙烯混合气体的新技术,利用选择性热力学促进剂THF对C1、C2气体的选择性增溶作用来提高它们的水合分离效率,并系统地测定了(CH4 C2H4 THF H2O)体系气-水合物相平衡实验数据,考察了温度、初始压力、初始气液比对(CH4 C2H4)气体混合物分离效果的影响。     

不定方程n(n+1)=k(k+2)的参数解法

3一4 一一奋 旅方程可化为 (无+1)2一 (无+1)2即一一一二丁一一叫 (了3/2)2 1、,吸拜十一丁)一 艺一—二1 (丫3/2)“因此可命k十1“了3SeC甲,:·寺穿‘g弘有无=亿3Zc0s甲一1,了3 2 1COS甲 1别n尹一百=(。、1)。in,一鲁. ‘ 欲使:、k为整数,必须使sin甲取有理数,而c。。甲为无理数.因此,命甲取30。、150。、210。、330。各值,依次求出伍,。)为:(o,o),(一2,一1),(一2,o)(o,一z),它们都是原方程的解. 利用圆的参数方程可类似求解,(。十2)=k(2一无)。不定方程n(n+1)=k(k+2)的参数解法@朱允声$上海松江二中~~…