三角形部分概念和定理精析

一、概念辨析———三角形三条角平分线的性质与三边垂直平分线的性质的联系和区别区别:(1)名称不同:三角形角平分线的交点叫做三角形的内心;而三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心.(2)性质不同:三角形角平分线的交点到三边的距离相等;而三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.(3)位置不同:三角形角平分线的交点总在形内;而垂直平分线的交点可能在形内,也可能在形外,还可能在线上.联系:(1)都交于一点;(2)等边三角形角平分线的交点是三边中垂线的交点.例1如图1,A、B、C三点表示三个村庄,为解决村民子女就近入学的问题,有关部门计划建…     

简单的轴对称图形复习指导

<正>同学们,根据《数学课程标准》的要求,结合我们学习过程中遇到的常见问题,总结了一些等腰三角形、线段的垂直平分线以及角平分线的学习要点和同学们共同探讨.一、知识要点梳理1.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形是一个轴对称图形;(2)等腰三角形的两个底角相等;(3)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”).2.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.3.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.     

关于轴对称图形的问题

角平分线和等腰三角形都是轴对称图形,同时也是极为重要的几何图形。在解决有关问题时,要掌握一些常规的处理方法。本文以下面几例来说明运用角平分线和等腰三角形解题的技巧。一、有关角平分线问题在解决含有角平分线的问题时,常需添加的辅助线有以下几种:1.由角的平分线上一点向角的一边或两边作垂线,运用角平分线的特征解题。例1已知:如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA的平分线交对边于E,又交斜边上的高AD于O,过O引OF∥CB交AB于F,试说明:AE=BF。分析:由于E是∠ACB的平分线上的点,可作辅助线EK⊥BC,垂足为K。可知Rt△AO…     

关于三角形内、外角平分线的两个重要结论的应用

角平分线是初中几何的一个重要内容,关于角平分线的性质主要有:(1)把一个角分成两个相等的角。(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。逆命题也成立,即到角的两边距离相等的点在角平分线上。(3)在等腰三角形中,顶角的角平分线是底边上的高,也是底边的中线。涉及角平分线的问题,解题时常需作适当的辅助线,构成等腰三角形或是平行关系,然后运用有关性质来解决。角分线相关问题出现最多的是在三角形中,大部分都是利用角分线的上述性质解决的。在这里,笔者简单谈一下关于三角形内、外角平分线的两个重要命题的应用。它们在解题过程中起着重要作…     

线段和角的概念及性质

一、与线段有关的概念及性质　　二、与角有关的概念及性质角定义 (1)有公共端点的两条射线组成的图形叫角 (定义 )　 (2 )形成过程 (略 )度量 (1) 1°角的规定　　 (2 )直角、平角、周角　　 (3 ) 1°=60′　 1′=60 "　分类(小于平角的角 )(1)钝角 :大于直角而小于平角的角(2 )锐角 :小于直角的角(3 )直角 :平角的一半角平分线 定义 :把一个角分成两个相等的角的射线 ,叫这个角的平分线互为余角 如果两个角的和是一个直角 ,这两个角叫做互为余角互为补角 如果两个角的和是一个平角 ,这两个角叫做互为补角性质 同角或等角的补角相等 ,同角…     

提炼模型 变式突破——以“角平分线问题的处理策略”为例

<正>波利亚说过:"假如你想从解题中得到最大的收获,你就应当在所做的题目中去找出它的特征,那些特征是在你以后求解其他题目时,能引到被指引的作用".笔者以中考二轮专题复习课"角平分线问题的处理策略"为例,来谈谈对专题复习课模式的理解和思考.一、题目呈现已知:如图1,AD是∠ABC的角平分线.求证:二、解法探究解法1 利用角平分线的性质——"角平分线上的点到角两边的距离相等"作"双高".证明如图1,过点D作DM⊥AB     

三线段解疑

一、角的平分线和三角形的角平分线有何异同?答:三角形的角平分线和一个角的平分线的共同之处,是它们都平分了相应的角,但实际上它们并不是一回事．根据定义,三角形的角平分线是一条线段,而一个角的平分线是一条射线．     

生活中的轴对称——课时一 简单的轴对称图形

(1)角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．(2)角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(3)到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线所在的直线上．(4)线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线．(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．(6)到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．     

三角形内角平分线的两个向量性质

任意三角形的内角平分线有以下两个重要的向量性质:性质1设△ABC的角A的内角平分线为AP₁,则P点在角平分线AP₁上的充要条件是存在非负实数λ使得     

巧用角平分线的性质

<正> 角的平分线有一非常重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.在处理一些几何问题时,若能熟练掌握并灵活运用这一性质,常可化难为易,迅速求解.现分类举例说明如下:     

与Steiner-Lehmas定理相关的一个命题

"等腰三角形两底角的角平分线长相等"的逆命题"三角形两角的角平分线长相等,则三角形是等腰三角形",这就是著名的斯坦纳-莱默斯(Steiner-Lehmus)定理.文献[1]将角平分线延长,与过点A且与BC平行的直线相交,在此基础上得到如下命题.     

斯坦纳定理的又一证法

定理 两内角平分线相等的三角形为等腰三角形. 由于此题证法的难度,引起人们的极大兴趣,本刊曾刊文[1～4].今再给出一种新证法. 设△ABC的对边长分别为,ABcBC== ,,bCAa=则角B平分线长BD为: 22BBDtacADDC==-?2222[1]()()abcbacacacac=-=- , 则角C平分线CE长为: 2222[1/()]CCEtabcab==- . 此时,取函数22()[1]()()bfxaxxcax=-?,则()fx为增函数. 于是,当bc时,有 222[1]()bBDacac=- 22[1]()babab? 222[1]()cabCEab-= . 由于,BDCE=,则 2222[1][1]()()bbacabacab-=- 22[1]()cabab=- ,即bc=. 斯坦纳定理的又一证法$陕西安康师专数…     

注重解法生成 发展数学思维——对一道“新定义题”的解题探究

<正>一、试题呈现(浙江省宁波市2020中考数学第24题)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,若∠A=α,请用含α的代数式表示∠E.     

角平分线的巧用

角的平分线是一条具有特殊作用的线,与之有关的几何问题,若能利用它的某些性质.往往可以化难为易,以简驭繁.下面举例说明: 一、绕角平分线翻折例1如图1,已知:△ABC中,AD是外角平分线,尸是AD上A点外任一点. 求证:     

“45°角平分线定理”及其应用

<正>本文主要探究三角形某锐角内(外)角平分线交对边所在直线成45°时,另两角间的数量关系(简称45°角平分线定理)及其应用.一、45°角平分线定理如图1,在ABC中,锐角∠BAC的内(外)角平分线AD交BC(延长线)于点D.若∠ADC=45°,则∠ACB-∠B=90°.     

简证“与三角形角平分线相关的三条结论”

文[1]给出了与三角形角平分线相关的如下三条结论,并逐一加以了证明.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°.结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半.结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.事实上,如果把这三个结论放在一个图形中来证明,     

例谈角平分线的对称应用

角平分线的对称应用:"角的一边上的任一点关于角平分线对称点一定在另一条边上".平面几何中,角是一种最基本的轴对称图形,其对称轴是角平分线所在直线,所以在解含有角平分线条件时,常以利用角平分线的对称应用,以角平分线所在直线为轴作对称变换,这是解题过程添加辅助线的一种巧妙思路.     

三角形和四边形

角的平分线 学习提示 i．角平分线的两种定义 （1）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线；（2）角平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合．2．角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．     

三角形内外角关系的拓展与证明

结论:三角形的两个内角的角平分线所成的钝角=90°+1/2×第三个角.上面的结论是三角形两内角的角平分线所形成的钝角与三角形第三个内角的关系.由此大家不难通过联想,也许还会提出下面的问题:三角形的两个外角的角平分线所形成的锐角与第三个内角有什么关系呢?三角形的一个外角与不是由同一顶点出发     

圆锥曲线中的内外角平分线定理

内(外)角平分线定理:如图1(图2),△ABC中,AD为∠BAC的内(外)角平分线的充要条件是(AB)/(AC)=(BD)/(DC).