第十五讲 代数式(之4)

（4）两个自然数公式的导出下面我们再介绍与S₁相关的另外两个公式:1²+2²+3²+…+n²=（n（n+1）（2n+1））/6 1³+2³+3³+…+n³=[n（n+1）/2]²这就是从1开始的n个自然数的平方和.从1开始的n个自然数的立方和.将它们依次记作S₂,S₃.     

向量模长公式的八种应用

b²=|b|²=（2n-3m）²=9m²-12m·n+4n²=9-12×1/2+4=7,∴|a|=7^1/2,|b|=7^1/2.又∵a·b（2m+n）·（2n-3m）=-6m²+m·n+2n²=-6+1/2+2=-31/2,∴cos〈a,b〉=（a·b）/（|a||b|）=（-31/2）/(7^1/2×7^1/2)=-1/2,∴向量a与向量b所成的角为120°.     

从一个无理数的证明谈起

<正>1问题呈现命题1若n为正整数,则n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)=a/b,得(n+1)(1/2)=a/b,得(n+1)^(1/2)=a/b-n(1/2)=a/b-n^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2).于是又得     

由错位相减法求和引发的思考

引例求S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1.解析（法一）显然,a_n=n·2^n-1为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1,2S_n=1·2¹+2·2⁺+…+（n-1）·2^n-1+n·2ⁿ,则-S_n=(2⁰+2¹+2²+…+2^n-1)-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ,即S_n=（n-1）·2ⁿ+1.（法二）注意到a_n=n·x^n-1型以及（x_n）′=n·x^n-1,可选择以导数为工具,采用构造函数法.令f（x）=1·x⁰+2·x¹+3·x²+…+n·x^n-1,不难观察到,（x_n）′=n·x^n-1,所以f（x）=（x+x²+x³+…+xⁿ）′=((xⁿ⁺¹-x)/（x-1）)′=(n·xⁿ⁺¹-（n+1）xⁿ+1))/（（x-1）²）     

关于等幂和一个不等式的注记

<正>文[1]作者介绍了等幂和的一些背景与结果,特别介绍了紧密联系数论的一些结果.文[2]利用贝努里不等式及数学归纳法证明了关于等幂和的一个猜想.即对于任意的λ∈N*,则有n^(λ+1)/λ+1<1(λ+1)/λ+1<1^λ+2λ+2^λ+…+nλ+…+n^λ<(n+1)λ<(n+1)^(λ+1)/λ+1.文[3]作者采用定积分估计的方法重新证明了上述不等式.本文通过等幂和的一个等式证明并改进了上述不等式的右边,并且也给出了等幂和的一个下     

破解函数题误区的常用策略

一、全面理解定义、概念、挖掘条件例1 已知函数 y=（n-1）x^n2+2n-2+3是一次函数,则 n=_<sub><sub><sub>.错解由题意,得 n²+2n-2=1,解得 n=-3或1.剖析不能从字面上将一次函数理解成只要求     

刨根问底找题源

一、以教材例题为题源高考真题1（2014年高考湖南文科卷第16题）已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）/2,n∈N*.（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式.（Ⅱ）设b_n=2^a_n+（-1）ⁿa_n,求数列{b_n}的前2n项和.教材原型（人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+（1/2）n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如     

2013年高考数学新背景试题赏析

<正>一、以历史名题为背景的试题赏析例1(湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…中,第n个三角形数为n(n+1)/2=1/2n²+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n2+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n²+1/2n,     

2013年高考数学湖北理科卷第13题的多种解法

题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x²+y²+z²=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x²+y²+z²=1,x+2y+3z=14^1/2,所以利用柯西不等式得（1²+2²十3²）·（X²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=14^1/2,得k=14^{1/2),即x+y+z=6k=14^1/3.     

求通项6招

1.累加法（逐差相加法）例1已知数列{a_n}满足a₁=（1/2）,aⁿ⁺¹=a_n+(1/（n²+n）,求a_n.分析一般地,可将递推公式a_n+1=a_n+ f（n）转化为a_n+1^-a_n=f（n）,利用累加法（逐差相加法）求解.     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

一些正弦函数级数的敛散性

本文给出任意项级数收敛判定方法:如果级数∑_(n=1)^∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)^∞sinπ/2(a_0n∞sinπ/2(a_0n^k+a_1nk+a_1n^(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s)/n发散,其中s∈N.     

08年高考数学模拟试题(5)

一、选择题1.若α,β∈（0,π/2）,cos（α-β/2）=3^1/2/2,sin（α/2-β）=-1/2,则cos（α+β）的值等于（） A)-3^1/2/2.（B）-1/2.（C）1/2.（D）3^1/2/2.2.如果复数（m²+i）（1+mi）是实数,则实数m=（） （A）1.（B）-1.（C）2^1/2.（D）-2^1/2.3.已知向量OA^→:（1,-3）,OB= （2,-1）,OC=（m+1,m-2）.若点A、B、C能构成三角形,这实数m应满足的条件是（） （A）m≠-2.（B）m≠1/2.（C）m≠1.（D）m≠-1.4.设有三个函数,记第一个为y=f（x）,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数关于直线y=-x对称,则第三个函数是（）     

截距式直线方程的两个性质

性质1设点P（m,n）是第一象限内的定点,直线l:x/a+y/b=1过点P（m,n）,且截距a,b均大于零,则（1）当b/a=（n/m）^1/2时,a+b有最小值m+n+ 2（mn）^1/2;（2）当b/a=n/m时,ab有最小值4mn.     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

斐波那契数列的推广及性质

本文主要将斐波那契数列推广到更一般的二维线性递归数列{Tn}.{Tn}满足Tn=(I,n=1,a,n=2,aT_n-1+bT_n-2,n≥3,其中a,b∈R且a2+4b>0,给出并证明了其通项公式Tn=1/（a2+4b）¹/2[（（a+（a2+4b）¹/2）/2）ⁿ-（a-（a2+4b）¹/2）ⁿ;其次证明了其性质T_nT_n+d-T_n+1T_n+d-1=-（-b）ⁿ⁺¹T_d-1,其中d≥2;最后例说了通项的应用.     

对一道中考题的探究

<正>内蒙古赤峰市曾有一道中考题如下:观察一组式子:3²+42+4²=52=5²,52,5²+122+12²=132=13²,72,7²+242+24²=252=25²,92,9²+402+40²=412=41²,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a2,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a²+b2+b²=c2=c²,我们知道满足a2,我们知道满足a²+b2+b²=c2=c²的正整数a、b、c叫勾股数.其中,第一个数为奇数,最大的数与较大的数差为1.     

用放缩法简证一道竞赛题

题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证（a+1/4（b-c）²）^1/2+b^1/2+c^1/2≤3^1/2.（07年女子数学奥林匹克）分析所证不等式中（a+1/4（b-c）²）^1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"（a+1/4（b-c）²）^1/2"可以放大为"(a+1/2(b^1/2-c^1/2)²)^1/2",从而用放缩法求     

运用基本不等式，要做到“三会”

1.会整体考虑例1已知a,b∈R⁺,且a+b=1,求（2a+1）^1/2+（2b+1）^1/2的最大值.分析整体考（2a+1）^1/2和（2b+1）^1/2,配成与条件相符合的式子.     

对一道倍受争论概率题答案的再认识

先看人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3,第59页习题2.2,B组第一题:甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?教师教学用书给出了这样的解答:每局比赛只有两个结果,甲获胜或乙获胜,每局比赛可以看成相互独立的,所以甲获胜的局数X是随机变量,X服从二项分布.（1）在采用3局2胜制中,X^B（3,0.6）,事件{z≥2}表示"甲获胜".所以甲获胜的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=C₃²×0.6²×0.4+0.6³=0.648.（2）在采用5局3胜制中,X^B（5,0.6）,事件{X≥6}表示"甲获胜",所以甲获胜的概率为P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=C₅³×0.6³×0.4²+C₅⁴0.6⁴×0.4+0.6⁵=0.68256.可以看出在采用5局3胜制对甲更有利.长期以来,这个答案在教师与学生中引起了很大的争