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对于一类与自然数有关的等式或不等式的证明题 ,“文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助辅助定理直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤 (即构造相关的不等式或等式 )不易想到” [3];文 [3]所述方法是以数学归纳法证题思路入手 ,先假设n- 1时命题成立 ,再看n时要探讨什么 ,据此“分析”一步 ,再行证明 ,也不轻松 .能否在文 [1]、[2 ]所述求解思路的基础上 ,提出一种既不“增加记忆负担” ,又非“不易想到” ,且较 [3]简便、易于操作的方法呢 ?其实 ,利用众所周知的命题“对于数到 {an}… 相似文献
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赵建勋 《数理天地(高中版)》2000,(2):15-16
与自然数有关的命题一般用数学归纳法来证明,但是用数学归纳法证明不是唯一的方法,也不一定是最佳方法.在证题过程中,要适当地避开思维定势,根据题目的特点,选择恰当的证法.本文对此作一些介绍,供同学们参考. 相似文献
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于先金 《河北理科教学研究》2006,(4):19-21
数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的重要方法.用数学归纳法证题的主要困难在于第二步,因由n=k时命题成立去证n=k 1时命题也成立往往需要一些技巧.有些命题用数学归纳法证明受阻时,只是由于我们使用方法不当,若能采取恰当的策略,数学归纳法就能顺利进行.下面以不等式的证明为例,给出数学归纳法受阻时的几种处理策略. 相似文献
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众所周知 ,数学解题的过程是一个思维不断变更的过程 ,也是一个不断化归转化的过程 .因此 ,在解题中 ,我们既要发挥思维定势的积极作用 ,善于进行习惯性思维 ,又要消除思维定势的消极影响 ,善于由此及彼进行创造性思维 .基于以上认识 ,在数学归纳法教学之后 ,我又引导学生就有关例题和习题 ,通过构造数列模型给出新的证法 .这样不但重新点燃起学生兴趣的火花 ,而且使他们尝到学会创造、追求真知的乐趣 .同时 ,对教学也产生了意想不到的效果 .证明某些与自然数有关的代数恒等式例 1 证明12 +2 2 +32 +… +n2 =n(n+1) (2n +1)6 .证明 设… 相似文献
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用数学归纳法证明与正整数n有关的命题P(n)时,证明的第二步中必须用上假设条件P(k)。但有些题目结构式了比较复杂,常常难以直接用上假设。本文给出设法变形,用上假设的若干处理方法。 相似文献
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1 数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数n有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证n取第一个值n0 时 (如n0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设n =k(k∈N且k≥n0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当n =k +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式an=a1+(n - 1)d证明 :( 1)当n =1时左边 =a1右边 =a1+( 1- 1)d =a1等式成立( 2 )假设当n =k(k∈N且k≥ 1)时an=a1+(k - 1)d则当n =k +1时ak +1=ak+d =a1+(k - 1)d +d=… 相似文献
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证明与自然数有关的不等式是高中数学教学的重点、难点、热点.在用数学归纳法及放缩法证明与自然数有关的不等式时,如果思维受阻,不妨改变思维的角度,尝试将自然数集上的不等式看作实数集上的不等式,巧妙构造函数,发挥导数的优越性,用导数方法证明,不仅有利于开辟新的证明思路,而且有利于化繁为简,化难为易. 相似文献
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命题试证对任意a、b∈R,有max{|a b|,|a-b|,|1-b|}≥(1)/(2). 分析 (1)题目含义:在题设条件下,要证明|a b|,|a-b|,|1-b|三者之中的最大数不小于(1)/(2),由于a、b取值的任意性,即是要证明三者之中至少有一个不小于(1)/(2).因此可以得到. 相似文献
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强化命题证明一类数列不等式 总被引:2,自引:0,他引:2
数列不等式是近年来高考和竞赛中的热点题型,其中一类形如∑i=n0^n1/ai〈C(C为常数)的证明题难度较大.由于此类不等式的右边是常数,所以数学归纳法证明无法实现归纳过渡,但通过对归纳过渡过程的研究,可以放缩右边的常数,将命题加强为∑i=n0^n1/ai≤C-1/g(n),其中g(n)〉0表示关于正整数n的函数式,从而可以构造单调递减数列证明这类问题. 相似文献
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数学归纳法证题应注意之一、二、三 总被引:1,自引:0,他引:1
杨锦义 《中学数学研究(江西师大)》2005,(10):39-41
数学归纳法--作为数学命题证明的基本方法,可以完成对许多与自然数相关命题的证明.当然任何一种方法都有它的局限性,数学归纳法也不例外. 相似文献
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钱卫红 《中小学数学(初中教师版)》2011,(Z1)
最近听了两位老师以同课异构方式执教的研究课数学归纳法(人教A版课程标准实验教材,选修2-2).执教者努力实践着新课改的精神,努力贯彻着新课程的理念,令众多听课教师受益匪浅.关于数学归纳法,课标上如是说:教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见指出:让学生经历归纳、 相似文献
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数学归纳法是证明跟自然数n有关命题的一种重要的递推式方法,虽然数学归纳法有着固定的程式,但每步中都蕴含着丰富的变化.下面对这些变化加以归纳,以供大家参考。 相似文献
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在中学、中专教学中,对于数列求和等式证明问题通常使用数学归纳法,本文给出另一种更初等、更简单快捷的方法,思路自然,方法更容易被高中、中专学生所接受和掌握。应用到的结论是:数列{an},其前n项和Sn与通项an之间的关系:a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.求证:12 22 32 … n2=16n 相似文献
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《数学方法与解题方法论》第 130页有这样一个命题 :形如 aa…aan个bb…bbn个(a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈ N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b=2 .笔者经过仔细的证明 ,发现此命题是错误的 ,应修正为 :形如 aa… aan个bb… bbn个的自然数 (a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b= 2或 a=4 ,b=2或 a=9,b=0 .证明 (必要性 ) :aa…aan个bb…bbn个(n∈N* )=(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 )× 10 na+(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 ) b=(1+10 1 +10 2 +… +… 相似文献
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一类分式不等式的一种证法 总被引:2,自引:0,他引:2
在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1 已知△ABC的三边长为a,b ,c ,求证 :ab c -a bc a -b ca b -c≥ 3.证 设b c-a =2x ,c a -b=2y ,a b-c=2z,x ,y ,z >0 .令不等式的左端为M ,则M =y z2x x z2y x y2z= (y2x x2y) (z2y y2z) (x2z z2x)≥ 2 y2x· x2y 2 z2y· y2z 2 x2z· z2x= 1 1 1=3.例 2 设x ,y ,z∈R ,求证 :x2x y z yx 2y… 相似文献
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张晓飞 《数学学习与研究(教研版)》2010,(3):110-110
普通高中课程标准化实验教科书选修2—2(苏教版)第85页数学归纳法出现:
如果(1)当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明n=k+1时结论也正确,那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 相似文献