有趣的相似三角形

在古代中国、印度、希腊，以及中世纪和文艺复兴时期欧洲的数学文献中都能看到相似三角形问题，相似三角形很早就已经被人们所认识并得到运用。公元前6世纪，古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时可能已经运用了相似三角形的性质；我国魏晋时期的数学家刘徽所著《海岛算经》中的远距离测量技术也正是建立在相似三角形性质之上的。借助于下面这些案例，让我们一起来领略相似三角形的魅力吧。     

初中数学几何题中相似三角形的妙用

<正>图形的相似是初中阶段的主要教学内容,其中相似三角形的判定、性质与应用是最重要的内容．从历史上看,人们就熟知三角形相似的图形,如公元前6世纪,古希腊工程师在设计隧道挖掘工程时就运用了相似三角形性质;我国古代数学著作?九章算术?中对于远距离测量技术也运用了相似三角形性质．下面我们分析几道初中几何问题,探究其中是如何巧妙运用相似三角形来解答问题的．     

追溯三角函数的演变史

"三角学"一词,是由希腊文三角学与测量两词构成的,原意是三角学的测量,也就是解三角学.后来范围逐渐扩大,称为研究三角函数及其应用的一个数学分支.三角测量在我国出现得很早.据《史记·夏本记》记载,早在公元前2000年,大禹就利用三角形的边角关系,来进行对山川地势的测量.《周髀算经》讲得更详细.后来《九章算术》勾股章,专列了八个测量问题,详细介绍了利用直角三角形的相似原理,进行测     

课堂革命：从“勾股定理是中国的？”说起——引导学生“再创造”的发现式教学研究与实践

教完“勾股定理”,徐笑同学的数学小论文《勾股定理不是中国的》让笔者大吃一惊：虽然我国古代《周髀算经》中有商高（公元前1120年）答周公的话“勾广三、股修四、经隅五．”可远在公元前三千年的巴比伦人就知道并应用它．仅以一个勾三股四弦五的特例,而没把一般直角三角形三边关系进行证明就说其是中国的勾股定理,     

“勾股图”的性质及应用

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系,如果将相关的图形与数量关系密切联系起来,则在数学的发展和现实世界中有着十分重要的作用．为叙述方便,我们不妨把勾股定理所反映的图形称作“勾股图”．本文研究“勾股图”的某些性质及其应用．     

谈勾股图

在初中数学教材.“勾股定理”一节中,运用勾股图(如下图)直观地证明了勾股定理:“在直角三角形中,两条直角边平方的和等于斜边的平方.用式子表示为a~2+b~2=c~2.”有的同志提出:勾股图中,最外层的正方形A_1B_1C_1D_1,其用意何在?下面就来介绍这个问题的概况.     

巧用勾股数规律求面积

<正>勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,设三角形的三边长分别为a,b,c,且都是正整数,它们满足条件a²+b²=c²,那么a,b,c就是一组勾股数．我国对于勾股数的研究有辉煌的成就,古代数学书《周髀算经》中记载,在公元前1100年人们就将直角三角形中较短的直角边叫作“勾”,较长的直角边叫作“股”,斜边叫作“弦”,并知道一组常见的勾股数,即3,4,5．后来在《九章算术》中,除了3,4,5这组勾股数,还提出了9,12,15;7,24,25;8,15,17;20,21,29等几组勾股数．实际上,勾股数不只有这几组,还有很多,下面我们先探究用勾股定理求面积,然后讨论如何运用勾股数规律求出面积．     

巧用相似三角形的一个性质解题

相似三角形有个重要性质:“相似三角形的面积比等于相似比的平方”.这个性质换一种说法就是:“相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根”.解题中灵活运用这一性质则能使问题得到简捷明快的解决,请看以下例题.     

“似是而非”的数学名词

1.毕达哥拉斯定理"毕达哥拉斯定理"即勾股定理.在欧洲,公元前5世纪毕达哥拉斯学派在研究直角三角形时获得的成果.但我国古代的数学专著《周髀算经》中已经有了"勾广三,股修四,征隅五"及"勾股各自乘,并而开方除之"的记载.再追溯到我国周朝初期(约公元前11世纪),这一定理早已被我国古代数学家所掌握了.而毕达哥拉斯学派对定理的证明在公元前5世纪也失传了,后来的证明出自于欧几里德的《几何原本     

由“勾股分割点”说起

<正>新定义类试题是近年中考的一个热点.2015年浙江省台州市数学中考压轴题中提出了线段的勾股分割点的定义:点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.若记MN为最长边,其特征是AM²+BN2+BN²=MN2=MN².在该试题的压轴一问中利用该性质,转化为三个正三角形面积间的关系,文[1]中呈现了多种解法,甚是精彩.但笔者在解决此题后,不免引起思考:如果此新定义中能引入相似三角形的面积与勾股定理间关系的性质,那该多妙啊!笔者缘起于此,一念成文与读者交流.     

勾股定理与出入相补原理

勾股定理是指:“在直角三角形中,勾方+股方=弦方”。“勾”“股”均是直角边,大者为“股”,小者为“勾”。西方称“毕达哥拉斯定理”。是希腊几何学家毕达哥拉斯于公元前540年发现的,相传毕氏学派宰牛一百头以示庆祝,其证明已经失传,现今西方最早的证明是由公元前300年希腊几何学家欧几里得在《几何原本》中给出的。我国最早记载见于《周髀算经》,其中周公与商高问答中“勾三、股四、弦五”是勾股定理的特例,而陈子与荣方的问答中“勾股各自乘,并而开方除之”则是定理的一般情况。商高与周公是公元前十     

课堂革命:从“勾股定理是中国的?”说起——引导学生“再创造”的发现式教学研究与实践

教完勾股定理,徐笑同学的数学小论文《勾股定理不是中国的》让笔者大吃一惊:虽然我国古代《周髀算经》中有商高(公元前1120年)答周公的话勾广三、股修四、经隅五.可远在公元前三千年的巴比伦人就知道并应用它.仅以一个勾三股四弦五的特例,而没把一般直角三角形三边关系进行证明就说其是     

相似三角形的性质在求轨迹方程中的应用

我们知道,相似三角形有以下重要的性质:“相似三角形对应线段的比等于它们的相似比。”解析几何中的许多问题都与三角形这个基本图形有着密切的联系,如果能从中发现相似关系,充分利用相似形的性质来求解,就能使解题过程大为简化。例1 如图,以原点为圆心,分别以     

巧构相似形 破解线段比——一道“大梦杯”初中数学竞赛试题的多彩解法

<正>三角形中的线段比问题常通过构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质来解决．本文从不同角度出发，通过添加平行线构造相似三角形，给出了2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛第4题的多彩解法，供读者参考．     

勾股定理

概述早在公元前1000多年,中国人就认识了勾股定理.西周时期有个名叫商高的人就曾说:“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五.”这就是说,如果在直角的两边上取AC=3,BC=4,(C为直角顶点).那么AB=5.这就是我们常说的勾3,股4,弦5.我国古人,将直角三角形的两直角边称为勾和股,斜边称为弦,这就是勾股定理这一名称的来历.我们应为中国古代数学的伟大成就而感到自豪.本章,首先用面积法探索出勾股定理,接着讲述了满足a2 b2=c2的三角形必是直角三角形,最后说明了勾股定理的一些有趣的实际应用.如蚂蚁怎样走路径最近,怎样运用勾股定理拼图等等.勾股定理的…     

慧眼识“相似”

<正>相似三角形中的"基本图形",反应了一对相似三角形的基本"框架结构",如图(1)～图(5).我们若能够将此类基本"框架结构"牢记于心,当遇到较为复杂的数学问题时,就可以从看似纷乱的图形中,找出所隐含的相似三角形,从而顺利地将问题解决.     

关于一个几何命题的否定及完善

1.问题提出.在中考复习接近尾声之际,班里的一位学生向我提出了一个非常有意思的问题.这一问题着实让我费了不少心思.问题如下:问题1证明或否定命题“面积比等于周长比的平方的两个三角形相似”.上述命题是根据相似三角形的有关性质提出的.     

三阶幻方——趣题·赛题

“三阶幻方”想必大家都很熟悉了。它有一个最明显的性质就是它的横、竖、对角线上的三个数之和都相等(其他性质在这里就不一一讨论了)。我们可以利用这一性质,迁移去解决一些数学问题。下面就以“爱因斯坦填数题”和“第七届华罗庚金杯少年数学邀请赛”中的一题为例。1.爱因斯坦填数题。如图1所示的九个圆圈是三个小的等边三角形、一个位于中间的等边三角形和三个大的等边三角形的顶点。将1—9这九个数字填入圆圈,要     

创设课堂乐趣 探求数学奥秘——勾股定理一节说课稿

“勾股定理”是在研究了三角形的有关概念,全等三角形、尺规作图、等腰三角形之后学习的,它所研究的是直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的一个重要性质。在“解直角三角形”一章中,仍将利用勾股定理来研究一些计算问题。因此,“勾     

汉谟拉比时期的勾股定理

汉谟拉比是公元前18世纪的古巴比伦国王,他颁布的著名的《汉谟拉比法典》,被认为是世界上最早的一部比较系统的法典.古巴比伦是四大文明古国之一,其地理位置在现在的伊拉克地区.那个时候的中国正处在大禹创立的夏朝.勾股定理,说的是直角三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方.在成书于公元前1世纪左右的《周髀算经》里有“句广三,股修四,径隅五”.这里的“句”念作“勾”,指的是直角三角形的短直角边,后来写法也演变成现在的“勾”.“股”指的是直角三角形的长直角边,古人用直角三角形来测量,将长的直角边树立起来以后,像腿一样,所以叫…