巧用双曲线的特征三角形解题

<正>在双曲线的两种标准方程x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1和y2=1和y²/a2/a²-x2-x²/b2/b²=1(a> 0,b> 0)中,都有c2=a2=1(a> 0,b> 0)中,都有c2=a²+b2+b²(其中c为半焦距),因此,以a、b、c分别为边长构成的三角形为直角三角形,它隐含了双曲线中三个基本几何量,我们不妨称这些三角形为双曲线的"特征三角形".以焦点在x轴上的双曲线标准方程为例,     

灵活运用对数换底公式

对数换底公式：logbN=logaN/logab（a,b〉0,a,b≠1,N〉0）是新课标必修（1）的重要,是对数运算的重要依据之一,应用十分广泛.利用换底公式统一对数的底数（即＂化异为同＂）,是解决有关对数问题的基本思想方法.灵活运用换底公式及其变形,不仅能迅速找到解题的切入点,而且还能优化解题过程,提高解题速度.     

应用对数换底公式解题举例

对数的换底公式log_ab=log_cb/log_ca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0)是对数部分的基础知识和重点内容,在解题中经常运用,它既可以正用,也可以逆用,还可以变形应用,应用时要特别注意公式成立的条件.     

由一道高考不等式证明题引发的思考

<正>1试题呈现2017年高考全国Ⅱ卷文、理科第23题:已知a>0,b>0,a³+b3+b³=2,证明:(Ⅰ)(a+b)(a3=2,证明:(Ⅰ)(a+b)(a⁵+b5+b⁵)≥4;(Ⅱ)a+b≤2.这道试题难度不大,但值得我们去品味,通过对这道试题的探究和反思,得到了一些有意义的结论:一是两个不等式的多种证法,可谓精彩呈现;二是两个不等式的变式与推广,使我们对问题认识的更深     

一类指数型函数的性质及其应用

<正>最近,在教学中发现,形如y=a^(|x-m|)+b(a>0,a≠1)的指数型函数,在近几年的各地高考题、模拟题中屡见不鲜.考查形式有判断函数图象、求最值、求参数范围、比较大小、解不等式等等.解决这类指数型函数问题的关键是利用函数图象的性质.     

解析几何简化运算的几种方法

<正>高考往往将解析几何题作为压轴题考查学生.这些题目有一定的计算量,许多学生望而生畏,理不清头绪,乃至中途弃笔.下面介绍几种简化运算的方法.一、定义优先例1(2017年山东高考题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x²=2py(p>0)交于A、B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,     

双曲线中三线共点问题探究

<正>"三线共点"问题是双曲线中较为常见的问题.通常可以先联立两条直线方程,求出交点,再将交点坐标代入第三条直线方程中来验证.这类问题的解决往往要结合双曲线的定义、几何性质,变化较多,难度较大.下面以一道联考题引入并作一些探究.例1已知双曲线(x²)/(a2)/(a²)-(y2)-(y²)/(b2)/(b²)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x²+y2+y²=a2=a²的一条切线分别交双曲线的左,右     

妙用幂的逆运算

<正>我们都知道,幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方,其运算法则的表达式分别为:a^m·am·aⁿ=an=a^(m+n),(a(m+n),(a^m)m)ⁿ=an=a^(mn),(ab)(mn),(ab)ⁿ=an=aⁿbnbⁿ(m、n为正整数).在解题过程中,根据算式的结构特征,巧妙逆用这几个法则,常可以化繁为简,化难为易,使很多棘手的问题迎刃而解.     

数形结合 独辟蹊径——例谈不等式的一种证明方法

<正>证明不等式的方法有很多,有基本不等式法、函数法等.本文从一个独特的视角,采用全新的方法来证明不等式,即数形结合法,透过不等式的表面发现其几何意义,构造相应的几何图形来阐述不等式,将抽象问题具体化,直观化.题目设a>0,b>0,证明不等式2ab/(a+b)≤(ab)^(1/2)≤(a+b)/2≤((a(1/2)≤(a+b)/2≤((a²+b2+b²)/2)2)/2)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.思路这是2017年苏州市的一道高考模     

对数恒等式的推广和应用

<正>一、对数恒等式及其推广对数恒等式alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).证明(定义法)令alogaN=x.由对数的定义,知logaN=logax,所以N=x,即alogaN=N等式成立.观察对数恒等式不难发现:如果把式子alogaN幂的底数a与指数的真数N的位置互换可以得到Nlogaa=N1=N,即alogaN=Nlogaa.     

一个猜想的证明

《数学通报》2004年第3期《对一道不等式习题的再思考》一文中有如下猜想:若an bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N,则a b≤2,ab≤1.证明(1)若a,b中有一个为0时上述猜想显然成立.(2)当a>0且b>0时,由an bn2≥a b2n知a b2n≤1,所有a b≤2.且有ab=anbnn2≤an bn2n2=1.(3)当a<0且b<0时,此时显然有a b≤2.又由an bn=2知n必为偶数,则ab=｜a｜｜b｜=｜a｜n｜b｜nn2≤｜a｜n ｜b｜n2n2=an bn2n2=1.(4)当ab<0时,不妨设a>0,b<0,此时显然ab≤1成立.下证a b≤2,假设a b>2,当n为偶数时,由a b>2知a>2,则an>2n,又bn>0,则an bn>2n>2,这与an bn=2矛盾;当n为奇数时,由a b>…     

2020泰国数学奥林匹克不等式的推广

题目(2020泰国数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R+,a+b+c=3,求证:a⁶/c²+2b³+b⁶/a²+2c³+c⁶/b²+2a³≥1(1).     

钻得越精深,算得越轻松——一道解析几何题的解题体会

<正>问题如图1所示,A,B,C是双曲线x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且BF=AC,则该双曲线的离心率是()。A.(10)2=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且BF=AC,则该双曲线的离心率是()。A.(10)^(1/2)2B.10(1/2)2B.10^(1/2) C.32D.3解法1:由题意可得,在Rt△ABF中,OF为斜边AB上的中线,则有AB=     

利用导数探究方程的根或函数的零点

<正>涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图像判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路。例(2016年高考江苏卷)已知函数f(x)=a^x+bx+b^x(a>0,b>0,a≠1,b≠1)。设a=2,b=1/2。     

小议圆锥曲线离心率取值范围问题

<正>离心率是圆锥曲线的重要性质之一,离心率取值范围也是高考的热点.本文从几道例题入手,谈谈圆锥曲线离心率取值范围的常见题型和方法.一、利用题目已知条件中存在的不等关系例1已知双曲线x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(a>0,b     

1999年高考理科第(17)题的六种解法

若正数 a、b 满足 ab=a b 3,则 ab 的取值范围是(1999年高考理科第(17)题).下面给出此题的六种解法,供参考.解法1 因为 ab=a b 3,a>0,b>0,所以(a-1)b=a 3.且 a-1>0,所以 b=(a 3)/(a-1).ab=(a~2 3a)/(a-1)=(a-1) 4/(a-1) 5≥2 4~(1/2) 5=9.当且仅当 a-1=4/(a-1)即 a=3时取等号.     

莫要忽视公式成立的条件

<正>商的算术平方根化成算式平方根的商是有条件限制的,即公式(a/b)^(1/2)=a(1/2)=a^(1/2)/b(1/2)/b^(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.这两题的结构相同,区別仅在于已知条件中两数和的符号相反,但是在解法上却是不一样的.     

山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村——关于中学数学思想方法之转化与化归思想的一些思考

解题的过程就是一个缩小已知与求解差异的过程,是求解系统趋近目标系统的过程,是由未知向熟知转化的过程.先来看两个例子.例1对于公式log_aM/N=log_aM-log_aN（M,n>0,a>0且a≠1）的证明,一般的方法是利用对数,指数的换算,即设log_aM=m,log_aN=n,则a^m=M,aⁿ=N,所以M/N=a^m/aⁿ=a^m-n,即log_aM/N=m-n=log_aM-logaN.实际上,可以借助于已经证出的公式:     

高中数学离心率取值范围的典例求解

<正>策略一:利用曲线的定义例1双曲线x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(a>0,b>0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是()。A.(1,2(1/2)]B.[2(1/2),+∞)C.(1,2(1/2)+1]D.[2(1/2)+1,+∞)解析:因为ex_0-a=x_0+a2=1(a>0,b>0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是()。A.(1,2(1/2)]B.[2(1/2),+∞)C.(1,2(1/2)+1]D.[2(1/2)+1,+∞)解析:因为ex_0-a=x_0+a²/c■(e-1)x_0     

构造方程求两个三次根式的代数和

<正>在求形如(A+B^(1/2))(1/2))^(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B^(1/2))(1/2))^(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B^(1/2))(1/2))^(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B^(1/2))(1/2))^(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)³=a3=a³+b3+b³+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)3+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)³=(a+b)3=(a+b)²(a+b)=(a2(a+b)=(a²+2ab+b2+2ab+b²)(a+b)求得.】将变换后的式子两边三次方,得到关于x的