三点共线的性质及应用

性质 设^→OA,^→OB不共线,若A、P、B三点共线,则^→OP＝λ^→OA＋μ^→OB＝1（λ,μ∈R）. 证明 因为A、P、B三点共线,所以     

三点共线向量式的巧妙运用

三点共线向量式：P是平面OAB（O∈AB）上的一个动点,OP→=xOA→＋YOB→（x、y∈R）,若P、A、B三点共线,则x＋y=1;反之．若x＋y=1,则P、A、B三点共线．     

过不共线三点的圆锥曲线

我们知道,过不共线三点确定唯一一个圆.那么自然会想到,过不共线的三点有多少个椭圆、双曲线和抛物线?本文试图给这个问题做出解答.我们首先来解决抛物线的问题.结论1:设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）是直角坐标系xOy中不共线的三点,且它们的横坐标互不相同,则有唯一的抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点.     

源于一道课本例题的探索

高一（下）第109页例5：已知OA,OB不共线,AP=tAB,（t∈R）,用OA,OB表示OP．     

如何突破动能定理解题的难点

动能定理是高中物理的一个重要定理，也是高考的一个热点。它既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力做功可以是连续的，也可以是不连续的；物体受力可以与速度共线，也可以不共线。所以，在解决力学问题时，如不涉及求加速度，应优先考虑应用动能定理。因此，教师在物理教学中，要引导学生灵活应用动能定理解题，从而突破难点问题。     

一道高考题的推广和引申

2005年全国高考第二卷理科第（21）2题是：设F是椭圆x^2＋y^2/2=1的上焦点，PF^→与FQ^→共线，MF^→与FN^→共线，且PF^→．MF^→=0．求四边形PMQN面积的最大值和最小值（解答过程此处略）．     

运动的合成和分解的讨论

1．合运动的性质和轨迹 两直线运动合成，合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定．两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动；一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动：两者共线时为匀变速直线运动，两者不共线时为匀变速曲线运动．两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动：当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动，当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动．     

对一道例题解法的商榷

平面上有100个点，其中有10个点在一条直线上，其余没有任何三点共线．问由这些点可以连多少条直线?给出的(分析与解）是：视共线的10个点为一个点，则题中任意三点不共线的点共有91个，过不共线的91个点中任意两点作直线的条数与一条直线上91个不同点组成的线段条数总和是相等的．因此，一共可作直线条数为：     

例谈垂直伸压变换与相关椭圆试题

平面π上的点之间的一个一一变换,若满足以下条件：（1）任何共线点的像仍是共线点;（2）任何共线三点的简单比不变,则此一一变换叫做平面π上的仿射变换.由仿射变换的定义可知,仿射变换是可逆的,且它的逆变换也是仿射变换.垂直伸压变换是特殊的仿射变换,因此它具有仿射变换的不变性和可变性性质.     

谈一道课本例题

例题（人教版高一数学（下）第117页例5）如图1,OA^→,OB^→不共线,AP^→=tAB^→（t∈R）,用蔚,用OA^→,OB^表示OP^→。     

平面向量中的易错知识点

1．错误理解或遗忘0 例1已知向量a=（1,2-m）与向量b=（m,-m）共线,则实数m的个数是——． 错解a=（1,2-m）与b=（m,-m）共线,     

用代换法证明共线的线段成比例

同学们证明不共线的线段成比例较熟悉，但证明共线(几条线段在同一条直线上)的线段成比例时，常无从下手．究其原因，是不知如何将其转化为不共线的线段成比例来处理．本举例说明利用代换将共线线段成比例问题转化为不共线线段成比例问题的策略，供同学们参考．     

一题多变看三角形的“心”随式变

问题（2003年江苏高考卷第5题）O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP→=LA→＋λ&;#183;（AB→/｜AB→｜＋AC→/｜AC→｜,λ∈[0,＋∞）,则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）．     

陈题再探

文献[1]曾就一道平面向量的陈题“设OA，OB为平面内不共线的2个向量，且OC=XOA＋yOB（x，Y∈R），则A，B，C共线的充要条件为x＋y=1．”在平面范围内作了新探，给出了几个鲜为人知的结论．笔者最近又发现，这些结论可推广到空间．引理1设OA，OB，OC为空间的一组基底，且OD=xOA＋yOB＋zOC（x，y，z∈R），则A，B，C，D共面的充要条件为x＋y＋z=1．     

谜语大联盟

小货（huò）郎（láng），不挑（tiāo）担（dàn），背着针（zhēn），满地蹿（cuān）。（猜一小动物）是鸡不长毛；是牛不耕（gēng）田；是猫（māo）不捕（bǔ）鼠（shǔ）；是虎（hǔ）不下山。（猜4种动物）（以上两条由田爽同学提供）头像（xiàng）绵（mián）羊颈（jǐng）似鹅（é），不是牛马不是骡（luó），戈（gē）壁（bì）滩（tān）上万里行，能耐（nài）渴（kě）来能忍（rěn）饿（è）。(猜一动物)小小姑娘满（mǎn）身黑，秋去江南春来归，从小立志除（chú）害虫，身带剪（jiǎn）刀满天飞。(猜一动物) …     

三点共线的一个结论的应用

在人教版高中数学新教材第二册（下B）中介绍了空间向量的共线定理：对空间任意两个向量a,b（b≠0）,则a与b共线的充要条件是存在惟一实数A,     

一道课本例题的延伸

一、课本例题的再现 人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（下）《平面向量》一章第117页例5：如图,OA、OB不共线,AP=tAB（t∈R）用OA、OB表示OP。     

巧用图形变换 妙证勾股定理

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》突出和加强了图形变换的内容，图形变换有助于我们拓宽证明的途径，提高推理论证能力．对于图形的平移、旋转变换有下述基本性质：在平移变换下，两对应线段平行（或共线）且相等；在旋转变换下，两对应线段相等，两对应直线的交角等于旋转角．本文利用图形的平移、旋转变换给出勾股定理的几种别具一格的证法，供大家参考．     

向量共线定理的唯一性证明

共线向量定理a（a≠0）与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa．     

复平面上三点共线的一组等价命题

设Z_1,Z_2,Z_3为有限复平面上的任意三点,则有 命题1 Z_1,Z_2,Z_3三点共线的充要条件是三点中任意一点都在过其余两点所作的直线上。 命题2 Z_1,Z_2,Z_3三点共线的充要条件是（z_2-z_1）/（z_3-z_1）=λ,其中λ为不等于0的实数。 命题3 z_1,Z_2,Z_3三点共线的充要条件是存在三个不全为零的实数λ_1,λ_2,λ_3,满足关系 λ_1 λ_2 λ_3=0 ①