上海市1982年初中数学竞赛试题解答

,朽.,利用余弦定理可得:BCz=a,+aZ一Za,·。o、45. ‘(2一“丁)a,.丫ADZ=ABZ一BDz二尘士夕牙护 通一,. ctg 67.30互夕.AD=斌了一1本题应选择(A). 4.延长BC到G与勺O交于G,过C、O作00『}’、 {\伏一M\NAL-干军一B 直径EF与④O交于E、F, 联MG与百F相交于尸(如F图)。 由已知可得EF了AB 乙尸CM,匕A=60’, 乙尸C口=乙B=60.。一、选择题.,.’(1一2一甸件(1一2一甸.(l+2一甸 .(1+2一仓).(l+2一羞).(1+2一告)=(1一2一惫).(1+2一盖).(一+2一青).(z+2一奋) l“‘一告(l一2一‘)·1本题应选择(A). 2.‘.’l劣一109。夕l=劣+loga,, {…     

幂函数X~α的积分

对于幕函数二‘的积分,在积分公式中是按指数a是否等于一l分类的: 当口今一1时,奋的原函数In二,正是‘.(““一‘,的一系列原函数%.+l一1 C+1的极限值。r.,、1.二,.。.义’O戈=—劣一’一十L·、1少Ja十1当。=一1时,二一专, 这样以来的就不会认为公式(l)与(2)是彼此孤立的飞‘。J告dX二‘·’X’+“2’一般的教科书中并不仔细地去讨论这两个公式的联系,而且粗略一看,对数函数In二似乎与幂函数头二·“又没有多大关联,这就 矽’“~~a+l‘一’一’‘一一‘-一‘’一一难免认为公式(1)、(2)是彼此孤立的。 对于被积函数专,很易看出它是二·…     

一道习题的推广

有这样一道习题, 设a、乙、c都是正数.求证: 方矽干石死石矛<了砂千瑟不不一. 问题的证明不难得出:在此,我们不妨猜侧更一岭的结论:群石而不石玩千已”<刃。坏石舜。,好其中。、n为正夔数且用>n)劝是否成立?推导如下: 夕.c.,号·扁十~丽下,‘不一二万一十~二‘1石厂二‘~协 “一个U.,月~C一“,为U一,.CJ(a,+石旧+e门) (a.+6”+e.)盖扁1刁到} a,+b“+e”(a.+b.+‘·”)aff石,干P不户、;+了一些仁___、带/\a”+b.+c./产矛丁.、、尸!IJ l+抓一十攀、、‘一)’了砚 a”口”+b”+c. 二1,.气尸石而千石而千砰<刀。,+夕十。二 显然,根号下的项…     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

2003年普高统招（全国卷）数学（理工）试题、答案

第工卷(选择题)参考公式:三角函数的积化和差公式·‘n一、一合:·‘n(·+,,+·‘n(一,,〕一in,一合〔·‘n(·+,)一‘n(一、,〕·。一月一合。。二(a+、,+。0·(一,,〕·‘na·‘、一合:。0·(·+、,口一‘一,)正棱台、圆台的侧面积公式S台侧一合(·’+·)z 其中。‘、。分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长. (B)(一1,+二) (C)(一二,一2)日(0,+叨) (D)(一叨,一1)日(1,+帕) (4)函数y=Zsin二(Sin二+Cos二)的最大值为() (A)1+权(B)涯一(C)招(D)2 (5)已知圆C:(二一a)2+(y一2)“=4(a>o)及直线Z:二一y+3一0.当直线l被C截得的弦长为2…     

第44届美国高中数学考试(AHSME)解答

1‘(D).Jl,一1,2}一1一‘一(一1)’+2,一2·2.〔D).由已知可得乙B~180一(55.+75.)一50气因为△BDE是等腆三角形,所以 ,,,~1800一之B180’一50.,。匕BED~二二‘二上‘~==二二=二~“.~一一223.(E).富数.所以,每个A国公民拥有的财富是切d100Pc鲤方。~,*”。,、。,,‘。~。可·口川月鉴,毋‘r刀曰省比夕月月浏期函j已一二二罗 P‘100.因此,财富比是 立cf 一一耐一Pc一可一Pe3,o·530·315·515 一3ls 一一l5s0一45ls 4.(E). 用3代替式中的x,得 3。少~12一3夕十3,~12. 所以3·y一12对所有的实数y都正确. 5.(A). 去年自行车和头盔共值160+…     

第三部份 测试题

对于任意的实数是‘)。 (A)r>1a、b都有实数解,则r的取值范围 第一套 一、单项选择题(每小题5分,答错、不答为。分): 1.定义川二1·2·3.·…(。一幼(n一1)。,设S=1.+2,+3t+……+999,,N[JS的个位数宇是()。 (A)9(B、8(C)5(D)3 2.已知函数,=J扭)、x〔R,f(o)井o,且 _,/xl+xZ、,/工i一x:、,,..一~八劣,)+,(二:)=2了卜一里:,一‘)f(性‘、一竺‘),则函数,、~产’了’一‘一‘、2尸、2尹’/、刁~另’必定(j. (人)只是奇函数(B)既是奇函数,又是偶函数 (C)只是偶函数 (D)既不是奇函数,又不是偶函数 3.如果对圆周护+(封一1)2=1土任意一点P(义…     

Abel变换的应用

·习冈Abel变换为:名。‘b:=。产,+忿~1变换得.一I乙a*(。‘一。:十,)丫、一名b、:二。声 .~至。+习a‘(二:一x:+,)其中。:二名。、‘i~1,2…,”)._a味劣月一(x,一x:,:)=名(a一 口曰万问了正:刀。‘乙‘=。:乙:+。2乙2+…+aob。 ,,1·万曰 一 =a:a,+aZ(aZ一a,)+…+a.(口一a。一:) 二a,(a,一aZ)+口2(aZ一a3)+…+a一:(a,l 一口,)十a。气 .一l =。。a.+刀a‘(a,一a‘十:). 云口1 众所周知.人bel变换在高等数学中有其广泛的应用.其实.它在初等数学中也占有一席之地.请看下列几例. 例一设a:,aZ,…,a。:b:,bZ,…,b。是实数.证明使得对任何满足…     

一个重要不等式的证明及其应用

二、应用(1)不等式证明:例1若。艺)C(艺=1,2,…,大),试证 儿 妻、、./ 定理“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即设。,,aZ,…,0二为正数,二夕.+口.+。。。+a_~,,—一、,,~、mll丫万二一兰多一二一一一二一二丝二之丈丫。。…。_当日47少毛U-——二‘,、产a,a,二“a.,,二!士L一L长 n当。1=aZ二·一a。时,上式取等号. 我们给出它的一个简洁证明,并讨i仑‘g的一些应用. 一、定理的证明 设厂(x)=e刃一。x,x任(0,+co)。由微积分易知f(x))f(1)=0,即。’一。x妻。,…尸’)。x,等号当x二1时成立.(刀,+a:+… 证明:1十1叮.…口1 (, “…     

模型构造——组合等式证明的一种常用策略

教学实践告诉我们:组合等式的诬明在往比较繁复,术文拟用构造模型的方法来证明一类组合等式,今举数例,供同行探讨._2奋,sn醒4证明:考虑代数模型,(l+,)”二C:+C二劣 例1.求证: _葵n二.乙一‘co卜石一’1一C孟+C孟一C盒+一c孟一C孟+C盖一C二十”·十C盖x,+…十C拓二”,根据模型与待证结论的关系.令二=‘得:(1十i)’一C尸+价卜卜、心若十社C之+二 十护C君二(C品一(棍+C轰一C盒+…)=2”十’·(]斗l)”+’((了g,、,+C;,十,+(C孟一C盘+C二一C二十二)i.+弓+,十二十C舞扣又(1+i),,=2两式即可得结论 ”兀_二几汀\“。s刁十’s’升飞){_匕较…     

阅读理解试题评析

相等龚粼关于久的方程k丫+(2k一1)x+卜。有两个不,,2.(l)求无的取值范围.(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:“,根据题意,得么二‘2“一‘,2一“z>0·解得“‘专·二当‘<音时,方程有两个不相等的实数根· (3)展开二项式(a+b)叹n为正偶数),系数最大的项是第_项.若n=8,则展开式中系数最大的项是第 项. 分析本例中第(2)、(3)问的关键在于从特殊情形人手,探索规律,找到结果与序数n的对应关系. [答案](l冲+sa4b+loa3占2+10aZb3+sab4+b’;(2)n+;(3)二+l 2(2)存在.若方程的两个实数根xl,…     

自然数的一种迭代性质及猜想

设n任N,T是N到N的一个变换.令 T,(n)=T(,:),T,+1(,:)=7’(7’,(,:)),k~l,2,·…称T,为T的k次迭代.现在对自然数,:=a,…a,a。,定义 ,I’(n)~a盆+a二一、十…+a百+a石.(*)则有 定理对任何自然数r,N上的变换(,)在有限次迭代以后必进入循环.设r·gr是k位整数,取,,。~max(10圣,10『),并设 儿=a,…a .a。=a,.10加+一+a,.10+口。,其中甄半0.那么,当n>n。时,。)k,m)r.这时 7’(,:)一a几+…十a万+a么.由于函数f(x)~x(10’一x『一’)(0镇x镇9)递增(’·’f‘(x)~一。。=二x·,李10‘一r .gr妻0),故a.(10”一a万’))10’一l)10盖一1.于是,,一了’(…     

1992年全国高中数学联赛河南省预赛高二、高三试题及参考答案

第一试一、选择题:(本题满分30分,每小题5+…+a98~.(93) 一.‘*.3 V乙sln IU一十下~ts IU一~ 任—分)1.函数一,一3,+森的最小值为(D). ‘芯一(乏三、 4(A卜兰;(B)、厂丁;(e)、厂了;(D)了万. 了62.棱长为1的正四面体的体积是(A).,+2·产+3·尸+…+泥·产(,>l) .‘一+2_,.引匕1、‘二+l口匕- 欠1一尹少-函数犷~6c优2:+ssinxc二一3的周 .(汀)设复数21,22满足}:,}=!z:1二l,:,卒 、少 D Z‘、卒 、.了 C Z吸、噜 、 B f粤 、.少 A f、函数;一(109、二)2一;og、二一粤的递增 二J一:2一寸产万+礼贝」:,.:2一.(一冬一 —J区间是 (A)〔、厂歹…     

Hlder不等式的巧用

这是熟知的著名不等式—H61der不等式a,m牛a,,产‘+…+a_’“_/a,+aZ+一+a.、成 刀一\月I此处:a*(R+,i=1,2,…,:,。、,:(N.求证(瓦十会)’+(凡十士)三十二十(付彩 巧用H61der不等式,可以使一类代数、三角、只何不等式的证明显得特别简洁明燎.+资。)’知小十封’例1证明若正数a+b=1,则a‘。一卜b,‘,》512一,.依H6lder不等式,aio+b‘o 2、/a+b\10户多妞--气二-~I一、乙j证明依H6lder不等式,了K.+李丫、.了K,长上)’一。,.r汀人一。一1、、一二‘K:/‘、一“凡/’‘又一“‘龙/ 打卫K 1.‘不丁= 11024’!“才 一 一 一。。‘二al。+b10…     

解向量题时常犯的四种错误

一、分不清函数图象平移前后的变化 例1 若把一个函数的图象按a二(一粤,一)平移后得到函数 沙 产cosx的图象,则原图象的函数解析式为() 人二cos(x+晋)+2 C.y=cos(x十晋)-2 D二。。。(x一晋,+2 错解由向址平移公式得 。。ofx+冬冲.选c. J 『,叮l,下 };万’·}器’ 剖析错选C是分不清平移前后所致,厂cosx是平移图象后 得到的函数解析式,应为犷=c二,. 正解由平移公式得}‘一热、,=c。。,得 几y’==y-2. 、cos(x一晋),故选D· 二、弄不懂充要条件的含义 例2已知曰二1.固二2,a与b的夹角为120a,求使 a+kb与ka+b的夹角为锐角的实数左的范困. 错解…     

掌握变形 快速解题

运用一元二次方程根与系数的关系解题时,常用到以下变形:,.二:,二:维.、扩一Zx .xZ;2.(x,一扩乖:+x扩一4x.年里*1_=兰竺2;4.x一xZx一%2(x.+x护一2x,乓 xlxZ掌握这些变形,可以迅速解题.例1如果,】儿是方程2x2一4x十l=0的两个根,那么五+玉的值为(尤2 xlB .3C .4 D.6解·,一2,一二x t xZ一一十一xZ xl卜.+x护一2x丙x rxZ2:一2、--l____里=6.故选几 l 例2已知关于二的方程二’+2(m一2卜十m,+4=0有两个实数根,并且这两个乏的平方和比两个根的积大21,求m的值.解…方程有两个实数根,…△=〔2(m一2)」一礴(m+4)〕0.整理并解得m感住设二二2为方稼…     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

数学思想在解数列题中的应用

一、整体思想 例1设(引是由正数组成的等比数列,5,是其前n项和, .、__fogl声n+l吧1声,:_ 求证止‘兰一>I0即焦: ‘一2~一’尸’ 解析设l引的公比为q,由题设知a:>0,q>0. Sn+.=a一+叮S。,S,和一+,S,1, S。·S,2一氏:二S戒a.+qs,.卜(a沙qs公S二=a.(凡一s,,)=一al‘,10彻声认卜 10勘声。+10即石,:__ —,---一夕1吧夕… ‘ 点评上述证明从S。·5,2一氏.,整体人手,避开了繁杂的运算和分类讨论,解题过 程简洁明了. 二、方程思想 例2在等比数列{久1中,a,·蛤128,匈+‘.=36,s户126,求n及公比,. 解析由已知得 口…     

一个复数的广泛应用

我们知道具有如下性质:。一令卒,是,的一个立方根,它 ‘白,.’而‘1,:.:一3献*〔N)时,(1+侧下l)·是一个实数。例4.(代敬下册p221 10(3))·求证:(一喜一卜 乙喇万 ? 1.:。3=面性l;2 .w+初=一1 3 .w·石~1;4.、2一石,而性。 5.1+切+w“一0 6.1十而+而胜O 注意这些性质的应用,可以使我们的解题简捷,达到事半功倍的效果。‘”+(一冬一返 乙乙3的倍数时为一1。”当n是3的倍数时为2.当,,不是 1、厂不证:设功~一令+二二二 乙‘例1.(代数下册227页12(l))计算:(甲产了+i)5一1+丫尹万一i解:原式一一i(一+了~厄一;)5一1+、/了i二一i(一1+丫~丁一,6,(…     

1993年亚太地区数学奥林匹克试题

1.如图,四边形ABCD各边相等,且匕ABC为600.直线l过D点,但与四边形A方CD。~max(1。.、,},}。.}证明:手成,+‘·,…,}‘。)}.不相交(D点除外).1与AB,BC的延长线分别交于E,F.M是CE与AF的交点.证明:CAZ一CM x CE.2.对于实数x(0簇x镇100),求函数f(二)一〔二〕+〔2二二+巨粤〕 O 十〔3x习+g4x〕所取的不同整数值的个数.3.设f(x)~公了十a二x”十…十a。,g(x)一‘。一:工”一’十‘.犷+··一向均是实系数的非零多项式,且对于某实数r有g(二)一(x+:)f(.T).如果a=max({a,},}a二{,…,}a。}) 4.求出使得方程 x,十(2+x)’十(2一x)’一0具有…