四元数矩阵的奇异值的几个不等式

本文证明了长方四元数矩阵奇异值的一些不等式:设H为四元数体,A∈H~(n×m),B∈H~(m×k),S=min{n,k},1≤l≤s,则 sum from i=1 to l σ_i(AB)≤sum from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅰ) sum from i=1 to l σ_s _(i+1)(AB)≥sum from i+j=m+s-l+1 σ_i(A)σ_j(B) (ⅱ) multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_(m-i+1) (B)≤multiply from i=1 to l σ_i(AB)≤multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅲ) 其中,σ_1(A)≥σ_2(A)≥…≥σ_m(A)≥0是A的从大到小的奇异值,当i>m时,σ_1(A)(?)0。不等式(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)包含或加强了文[3]、[4]、[5]的一些基本结果。     

一类具有连续变量的非线性偏差分方程的振动性

研究具有连续变量的非线性偏差分方程 [A(x+r,y) +A(x ,y+r) -aA(x ,y) ] k-(bA(x ,y) ) k+ ∑ui=1pi(x ,y)Ak(x-τi,y-σi) =0 ,其中pi(x ,y) ∈C(R+×R+,R+/ { 0 } ) ,u是正整数 ,k=c/d>1 ,c,d为奇数 ,a为非负实数 ,b为正实数 ,θ =b-a ,满足 0 <θ≤ 1 ,r,σi,τi∈R+,i=1 ,2 ,… ,u ,得到了保证方程的所有解都具有振动性的若干充分条件 .     

一道竞赛试题的推广

题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献   

Coupled Numerical Analysis of the Stability Behaviour of Unsaturated Soil Slopes Under Rainfall Conditions

Thebasicstressvariablesintheconstitutivemodelde velopedbyAlonsoetal[5] aresoilnetstressandsoilmatricsuctions ,whicharedefinedby　　　σ″ =σ -ua (1)　　　s=ua-uw (2 )whereσisthetotalstress,uwistheporewaterpressureanduaistheporeairpressure .　　Thenetmeanstresspanddeviatoricstressqarede finedas　　　p =σ1+2σ33-ua (3)　　　q =σ1-σ3(4 )　　Asgenerallyregarded ,thesoilsuctioniscomposedoftwoparts ,matricsuctionandosmosissuction .TheosmosissuctionisneglectedoriginallyinAlonsoetal′smodelandhe…     

复正交矩阵的实正交相抵标准形

利用矩阵的奇异值分解及基本理论 ,文中给出复正交矩阵的实正交相抵标准形及其全系不变量 .即 :(1)设M =A Bi∈En(C) (复正交阵 ) ,其中A ,B∈Rn×n.则存在Q ,R∈En(R) (实正交阵 ) ,使得QMR =diagσ1σ21- 1i-σ21- 1iσ1(1),… ,σ1σ21- 1i-σ21- 1iσ1(r1);… ;σk σ2 k- 1i-σ2 k- 1iσk (1),… ,σk σ2 k- 1i-σ2 k- 1iσk (rk);In- 2r ,其中σ1>σ2 >… >σk>1,r =r1 r2 … rk.(2 )二复正交矩阵实正交相抵之充要条件是它们的实部有完全相同的奇异值 .     

Hermite恒等式的推广

完整地解决了M.Bencze提出的公开问题,并证明了:对于正整数n、r以及实数x,[x]r+b+1/n]r+…+[x+(n-1)/n]r=n[x]r+[n{x}](([x]+1)r-[x]r)及S(n,r,x)=n[x]r+[n{x}+1])r-[x]),其中[a]和{a}分别是实数a的整数部分和小数部分,结果推广了H...     

单向分类随机效应模型误差方差线性关系的一种检验

利用多元正态总体的复相关系数检验 ,给出了单向分类随机效应模型 yij=uj+αi+εij,误差方差σ21 ,σ22 ,… ,σ2 m 线性关系H0 :1ΛM =0 1×r 的一种检验 ,其中Λ =diag(σ21 ,σ22 ,… ,σ2 m) ,1=(1,1,… ,1)′,R(Mm×r) =r .     

矩阵Hadamard积特征值的界

设A_i(i=1,2,…,m)是非负矩阵,给出了它们的Hadamard积谱半径的新上界,ρ(A_1°A_2°...A_m)≤max1≤i≤n{mΠk=1A_k(i,i)+mΠk=1[ρ(A_k^[P_k])-A_k(i,i)P_k][P_k])-A_k(i,i)P_k]^(1/P_k)},其中,P_k>0且m∑k=1(1/P_k)≥1,这个上界改进了相应结果。     

关于《几类推广的Minkowski不等式》一文的注记

文 [1 ]建立了如下推广的 Minkowski不等式 :1 )假设 a,b∈ Rn+,则 :∏ni=1(ai+bi) r≥ ∏ni=1air+∏ni=1bir,其中 r∈ R+　　 2 )假设 A(B)是对称 (不必对称 )正定矩阵 ,则 :(det(A +B) ) r>(det A) r+(det B) r.其中 r∈ R+,指出这两个结论未必正确 ,并修正和推广了文 [1 ]、[2 ]的相应结果     

反应物转动激发对反应O(~3P)+HCl→OH+Cl反应的影响

基于Ramachandran B等人制作的3 A′′势能面[Ramachandran B et al 2003J.Chem.Phys.1199590],运用准经典轨线方法,计算了反应物不同振动激发态时,反应O(3P)+HCl(υ=0,1,2,j=0)→OH+Cl的P(θr),P(φr)与极化微分反应截面(2π/σ)(dσ00/dωt)、(2π/σ)(dσ22+/dωt).结果表明,反应物HCl振动激发对反应的k-j′两矢量相关和k-k′-j′三矢量相关分布都产生了较大影响.     

再谈两类无理函数的最值问题

文[1]中利用(a|→)·(b|→)≤|(a|→)|·|(b|→)|解决了形如y=p(f(x))~(1/2) q(g(x))~(1/2) r与y=pf(x) q(g(x))~(1/3) r两类无理函数最值问题,但问题是文     

[0,1]格上基于max-product型双线性方程的一些性质及其解集

设A=（ai）iel,B=（bi）oel,ai,bi,xi,r∈[0,1],则称方程A x=B x=r为双线性方程,其中 是max—product合成,讨论了[0,1]格上双线性方程的一些性质,同时也讨论了[0,1]格上双线性方程的解集。     

函数f(x)=(a±bx)~(1/2)±(c±dx)~(1/2)的最值

函数f(x)=a±bx±c±dx(a,b,c,d>0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.第一类型如f(x)=a-bx+c-dx,f(x)=a-bx-c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=a+bx+c+dx,y=a+bx-c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.(1)f(x)=a-bx+c-dx无最大值,只有最小值,最小值是f[min(ba,cd)],即[f(x)]min=f[min(ab,dc)].(2)f(x)=a-bx-c+dx既有最大值又有最小值,分别为[f(x)]max=f(-dc),[f(x)]min=f(ab).(3)f(x)=a+bx+c+dx在定义域内单调递增,只有最小值,无最大值,最小值是f[max(-ab,-dc)],即[f(x)]min=f[max(…     

由一道典型题的错解谈等效电压源

在如图1所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，可变电阻为R，则电源的输出功率为P出=UI=I^2R=（E/（R＋r）^2R=E^2/（R＋r^2/R＋2r）,当R=r时P出为最大值，设为P出max,P出max=E^2/4r     

二个角平分线不等式的加强

在△ABC中,记三边长BC=a,CA=b,AB=c,角A、角B、角C的平分线长分别为t_a、t_b、t_c,△ABC的外接圆半径与内切圆半径分别为R与r(下文均用此记号),笔者在文[1]与文[2]中分别证明了: ∑1/t_a≥1/R 1/2r (1) ∑1/t_a≥2/3~(1/2)∑1/a (2)当且仅当△ABC为正三角形时,(1)、(2)两式取等号(这里∑表示循环和,下同). 本文将给出较(1)、(2)两式更强的不等式,即 定理 在△ABC中,有 (∑1/t_a)~2≥(∑1/a)~2 (1/2r)~2 (3)当且仅当△ABC为正三角形时,(3)式取等号.     

C(S~m,r)数的应用

徐利治、蒋茂森、朱自强在文献[1]中提出C(S~(m),)数,其枚举发生函数是(P.30～31)（1+t+t~2+…t~3）~(m)=sum from r=0 to ∞t~r[sum from h=0 to[r/s+1](-1)~k(_k~m)(m-1+r-k(S+1)/r-k(S+1))],其数C(S~m,r)=sum from h=0 to[r/s+1](-1)~k(_k~m)(m-1+r-k(S+1)/r-k(S+1))本文计论了C(S~m,r)数在“邮票排列问题”中的应用(文献[1],P32～33),得到下列公式B(S,n)=sum from (?) C((S-1)~(m-r),r)。本文讨论了C(S~m,r)数在概率论中的应用（文献[2],P12～13)。得到下列公式P(A)=C(S-1)~(m),λ-n)/s~(m)。     

对收敛P一级数和的估计的再改进

对于收敛 P一级数的和,文[1]给出了一个近似值公式与估值不等式.此后,文[2]作了改进,即:若令 P=1 x(x>0)本文对上述(1)式和(3)式又作了改进,给出了更精确的估计式,即证明了: (4)式说明:(1)式给出了近似值(2)式的绝对误差限,σ_1(x)=(1 x)/2n~(2 x),而这个绝对误差限实际上还可以减小一半,即由(4)式σ_2(x)=(1 x)/4n~(2 x)=1/2σ_1(x).这不仅提高了,近似值的精确度,而且对于予定精确度的问题可以减少计算工作量.(5)式给出了比(3)式更小的σ(x)取值范围,如     

2011年高考必做创新题——探究创新题

第1点信息探究型XINXI TANJIUXING（）必做1已知函数f（x）的图象在[a,b]上连续,定义:f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,其中,min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值,max|f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f₂（x）-f₁（x）≤k·（x-a）对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f（x）为[a,b]上的"k阶收缩函数".（Ⅰ）若f（x）=cosx,x∈[0,π],试写出f₁（x）,f₂（x）的表达式.     

关于超曲面高阶共形平均曲率的一个定理

给出了高阶共形几何中共形平均曲率的一个定理,特别地用这个定理讨论了∫M(σ2r-rσ+1rσ-1)r+n1dM在r=2时不是一个共形不变量.     

从定义出发思考最值题(高一、高二、高三)

在实践中,某些看似繁杂的最值问题,若借助于最大(小)值的定义,常能轻松突破. 例1 分别用max{x1,x2,…,xn},min{x1,x2,…,xn}表示x1,x2,…,xn中的最大值与最小值,若a b c=1(a,b,c∈R),则min{max{a b,b c,c a}}的值为( ) (A)1/3.(B)2/3.(C)1.(D)不确定. 解 设max{a b,b c,c a}=x,则 x≥a b,x≥b c,x≥c a,所以 3x≥2(a b c)=2,x≥2/3. (当且仅当a b=b c=c a,且a b c=1,