分式方程话检验

同学们在解分式方程时，常常对所求得的解不加检验而出现增根问题．老师也一再强调解分式方程时验根必不可少，千叮咛万嘱咐，可同学们对这个问题并不真正理解．下面我们根据分式方程求解的过程来讨论这个问题．我们知道，解分式方程的基本思想是去分母将下程变形转化为整式方程求解．在去分母的过程中，随着方程未知数取值范围的扩大，就有可能出现增根．为确保分式方程的解准确无误，“驻林就成为必不可少的步骤．例如：方程两边同乘以（X－1），并整理得解此方程，得x1＝1，x2＝2．那么X1、X2都是原方程的解吗？我们将X1＝1、X2＝2代入…     

分式方程和无理方程的解法

一、知识要点1．分式方程和无理方程的概念．2，分式方程和无理方程的解法，3．解分式方程和无理方程都必须检验．4检验的方法．二、解题指导例1解方程；（广西，1994年）（上海，1994年）（吉林，1994年）分析本例是考查分式方程的解法．解分式方程的指导思想是：通过去分母或换元，将分式方程转化为整式方程或较简单的分式方程．（1）去分母，得），即解此方程，得，经检验知是增解，原方程的解是（2）宜用换无法，设y=x2＋x，则原方程变形为y＋1一？一0，再去分母，得，’Wey—2一队”y解之得y；一1，y：—一又将y的值分别代人所设式，…     

解分式方程的思想方法和常用技巧

解分式方程的基本思想是：通过适当的变换把分式方程转化为整式方程求解。转化的基本方法是去分母．但如何去分母，则大有文章可作．去分母得当．求解简捷；去分母不当，求解繁难。因此需要学习和掌握分式方程的常用技巧．一、两边分别通分化简后再去分四例1解方程分析若直接去分母，则运算量较大；若方程两边分别通分，比简后再去分母，则运算简捷．解原方程可变形为去分母，得再化简，得6X一u．．”．x一3．经检验知，X一3是原方程的解．二、拆（添）项比简后再去分母例2解方程：分析若直接去分母，则运算繁杂；若拆项化简后两边分别通分…     

分式方程的简捷解法

解分式方程的基本思路是去分母转化为整式方程来求解．但对于某些分式方程,若应用基本方法求解,则变形过程较繁杂;若采用一些技巧,可使求解更简捷．一、巧观察Lx一JLx－J解观察方程两边分式的分子与分母,可经检验,x。4是原方程的根二、巧加减解已知方程两边同减去2,得经检验,。＝】是原方程的解·三、巧拆项创3解方程：解将第二个分式拆项,得经检验,X＝1是原方程的根．四、巧提取解原方程化为经检验,。＝5是原方程的根．五、巧降次解由多项式除法,将已知方程变形,得经检验,x＝9是原方程的根．六、巧通分侧6解方程：（W4P10…     

解分式方程的简捷方法

解分式方程的基本思想是去分母转化为整式方程求解．常用的转化途径是在已知方程的两边都乘以最简公分母．在具体实施过程中，对于某些分式方程，若巧用一定的方法，可使求解过程更简捷，一、观察分析法例1解方程分析因方程主、右两边分式的分母相同，所以可采用光移项、合并的方法．解移项，得经检验知X＝1为已知方程的解．二、等式性质法例2解方程分析该方程左、右两边分式的分子、分母各相差一个常数，为此，可利用等式性质求解．解根据等式性质，已知方程可化为解之，得X＝1经检验知X一11为已知方程的解．例3解方程分析注意2。解已知…     

应用分式方程增根解题

在解分式方程时,由于去分母将分式方程化成整式方程后,末知数的取值范围扩大了,因而容易出现增根．而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根,同时还使其最简公分母的值为零．根据分式方程的这一特性可巧解一些数学问题．现举例说明如下：一、求参数的值。。,,、。。,、,,。。。、。x－3m例1去分母解关于。的方程W＝H产生增根,则m的值是（）（A）2;（B）l;（C）－l;（D）以上答案都不对．（1993年天津市中考题）解由于原方程去分母产生增根,所以X－2一队：·X＝2．又原方程去分母,得。＝。－3…．m＝2－3＝－l．故应…     

打破常规灵活求解──分式方程巧解四例

解分式方程的主要思想是通过去分母，化分式方程为整式方程．但是，对于某些分式方程，若按这种常规解法，将不胜其烦．若能根据方程的特点，打破常规，施以特殊方法，常能化难为易，化繁为简，达到灵活求解的目的．下面举四例加以分析．例1解方程分析若直接去分母，比较麻烦；若将方程两边分别通分，则十分简捷．用方程两边分别通分，得于是有一X＋3一0或（X－5）（。·－6）一（l－7）（一8）．由一X＋3＿0得Xl一3．由（X－5）（X－6）一（X－7）（X一8）得13。。一z”经检验x；一3、X。一tr都是原方程的根。一———一‘—”一“2”…     

巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

用换元法解方程(组)

换元法是初中数学的一种重要解题方法,应用非常广泛．通过换元,可把复杂问题简单化,把未知转化为已知或可知,把分式方程转化为整式方程,把无理方程转化为有理方程,把无理方程组转化为有理方程组,等等．下面我们举例说明换元法在解方程或方程组中的应用．例1解方程：分析若用解一元二次方程的四种基本方法求解,运算过程是相当繁杂的．因此应寻找新的解法．原方程可变形为若设26X＝y,则原方程变形为解设则原方程变形为解之,得y1＝2,y2＝1所以解（1）得x＝1。（2）无解．经检验,。二l是原方程的解．例3解方程／一了一一二二’十二…     

巧解一类方程

九年制义务教育三年制初中教材代数第三册P51有这样一道习题：解关于X的方程其求解过程为：去分母得即经验根知x1、x2均适合原方程,因此它是原方程的解．由此可得结论：若利用此题的结论,可以巧解一类方程,下面举例说明．例1解方程（初中代数第三册P49练习2(2))．由上述结论得解方程（2）得43＝3＋／而,34＝3－／而．经检验,它们都是原方程的解．例2解关于x的方程x＋－－M。a十六（A数＄三册PSIB组1（2》．解令y＝x－1,则原方程变为y十万“＼a一回）＋M．y（互且由上述结论得：y＝a—1或且y”7I’－－－·x＝a或x＝＝－．－－－…     

巧用通分法解分式方程

《分式》一章介绍了可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．在解题时,如果遇到（或者可以化为）形如的分式方程．若ａ－ｂ＝c－ｄ,这类分式方程采用去分母的方法来解比较繁难;若采用方程左、右两边各自通分的方法,则能找到解题的捷径．请看下面几例．例１解方程：分析直接去分母运算太繁,方程两边各自通分,可化繁为简．解方程两边各自通分,得解之,得经验验,是原方程的解．例２解方程：分析此方程的特点是：各分式的分子和分母的次数相同,这样的方程一般可将每个分式化成整式与分式的和的形式,使分子降次后再用各自通分法求解…     

分式方程解法种种

分式方程的解法很多．解题时，若能根据方程的特点，灵活选择解法，将优化解题过程，提高解题速度，收到事半功倍的功效．现举例说明分式方程的几种解法如下：一、去分母法这是一种基本的、常规的解法．解方程时，用各分式的最简公分母去乘方程的两边，约去分母，化为整式方程求解．＋ha·各分式的最简公分母为（X＋2）（X－Z），用它乘方程两边，可约去分母，化为整式方程．要注意，用最简公分母乘方程两边时，别忘了它与1相乘．二、换无法含有倒数关系的分式方程，可设其中的任意一个为新未知数y坝u原方程变为ax＋yC，再把它化为一元二…     

解分式方程的特殊技巧

解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程．本文介绍几种转化技巧——拆项、合并、换元、分贝．一、拆项＆＠＃＃。＆＠￥芋一半。上，Q6n＆，简化方程而求解‘＿．、＿＿＿3122例1解方程一＞＋＝＝－一一一一一一”“”“”””’“x＋3x‘edZx311一互（1994年山东省中考题）分析一百7一二一一一下可拆成两项工三一x‘＋Zr－3““’”—”“””，1羊，可通过拆项而化简方程．l＋7”“”————“”一”、。。r。、’。。—·解原方程可他为33·32——＞卜——－——一——－Ix＋3xlZ＋31x化简，得上L＝－1．N＝－4．经检验，…     

特殊分式方程的解题技巧

解分式方程的基本方法是“去分母,化为整式方程来求解”．但有些特殊分式方程单用这一方法,往往会出现高次方程,不易解出．但若善于抓住特征去分析、联想,施用一些技巧,常可化繁为简,变难为易．现举数例说明,供同学们参考．例１解方程：分析由观察不难发现．根据这一特征,采取方程两边分别通分的办法,可使方程解答化繁为简．解原方程两边分别通分,得或（ｘ－４）（ｘ－５）＝（x－３）（ｘ－６）无解．经检验知是原方程的解。例２解方程：分析由观察知：每个分式的分子是两数之差的形式,分母是相同两数之和的形式．若采取各个分…     

细观察 勤思考 妙解题

解分式方程的一般方法是通过去分母，化分式方程为整式方程．但这样解有时很繁，而且可能会产生增根．由于某些分式方程在形式结构或数值上都具有一定的特点，如能细心观察、勤于思考，就能找到较好的解题方法，提高我们分析问题、解决问题的能力．例１解方程：分析此方程的特点是分子分母中二次项系数相同；一次项系数与常数项互为相反数．左右两分式的分子与分母各自相加可消去一次项与常数项、保留相同的二次项．解方程两边同时加上１，得根据分式相等的条件得ｘ１＝０或ｘ２－ｘ＋１＝ｘ２＋ｘ－３≠０．解得ｘ２＝２（这样解可以不验根…     

解高次方程的思想方法和技巧

在初中我们只能解一些特殊的高次方程，其解法的指导思想是降次，即通过变形或代换，把一元高次方程转化为一元一次方程或一元二次方程，然后解这些方程，使高次方程得解决．常用的转化技巧有：（1）分解因式；（2）换元；（3）改换主元；（4）应用非负数的性质．一、因式分解例1解方程解应用“分组分解法”分解因式．x－6＝0或X3－8＝0．X＝6或X＝2．故原方程的根为X＝6或X＝2．分解因式，有时往往用到拆项的技巧．例2解方程X’＋6x’＋11X＋6一0·解原方程左边先拆项后再分组x‘＋6N’＋gte＋ZH＋6一oX（X＋3）‘＋2（X十引一0．（2…     

不要急于去括号

解答某些含括号的一元一次方程时,按照解方程的一般步骤要先去掉括号．这时如果我们注意利用整体观念,常可避免直接去括号带来的繁琐,取到事半功倍的效果．例1解方程3（x＋5）＝12．解把（X、5）当做一个整体．系数化成1,得x＋5＝4解得。＝－1·例2解方程2（x－l）－3＝3（x－l）＋5．解把（X一工）当做一个整体．移项,得解把（2x－l）当做一个整体,去掉大括号和中括号,得倒4解方程3（X－7）－（9－”2－。川一22一解把（。－2）当做一个整体,原方程化为解得x＝O·练习题三．解方程一5＜X＋1）一上．提示把（X＋1）当做一个整体…     

用通分方法解一类分式方程

形如或可化成形如的分式方程，若a－b＝c－d，那么这类分式方程的求解，可采用方程左、右两边各自通分的方法．这样，容易找到解题的路径，将其巧妙、迅捷地解决．解通分，得解之，得X＝4经检验知X＝4为已知方程的解．解移项，得经检验知为已知方程的解例4解方程解拆项，得解之，得X＝7．经检验知x一7为已知方程的解．值得一提的是，当。一b学C－d时，形如或＿，，＿。、＿，，＿1111L。，。＿－‘—’一”””x士a王士bJ士XX土d”“”“一方程的求解，也可采用方程在、右两边各自通分的方法．只是，我们最后求解的整式方程不是一元一次…     

巧用拆项法解分式方程

解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程，变形的手段是去分母．在解题过程中，针对题目的特点，打破常规解法．另觅新路，可使求解过程简捷．本文介绍用拆项法解一类分式方程．例1解方理解之，得X一人经检验知X一7是原方程的根．例2解方程呼原方程可化简，得两个不同的数。＋6与x－2的商不为1，故原方程无解．例3解方程呼原方程可变珍为解原方程可化为经检验知。—一19t）5处原方程的憎恨．原方程无解．1”’“叼＊刀1”；7二／解原方程可变形力显然原方程无解．练习题解下列厅程：巧用拆项法解分式方程@宋俊奎$山东淄博市第五中学…     

换元法在中考解题中的应用

换元法是一种重要的解题方法。现以中考题为例，说明换无法在中考解题中的应用，供同学们参考。一、用于解简单高次方程[例1]解方程（1992厚质州）[解法1]设L一3X2－2X－1，则原方程变形为t（t＋8）－9＝0，即解此一元二次方程，得3X2－2X＋8＝0（此方程无实数解）；解此一元二次方程，得[解法2]设t＝3X2－2x＋7，则原方程变形为t（t－8）－9＝0，即同样可求得原方程的解，［码法31若作均值代换，则解法更简捷．一3X’－ZX＋3，则原方程变形为（t－4）（t＋4）－9—0，即t一土永余下请同学们自己完成．用同样方法可解下列简单高次方程：…