例谈α≤f(x)≤b■(f(x)-α)(f(x)-b)≤0的应用

众所周知在二次不等式解的法则中有(x-a)(x-b)≤0(?)≤x≤b，(a相似文献   

根据f(x)的图象画出f′(x)的图象

一、关系结论设f(x)是定义域区间上的可导函数.1.(单调性)若函数f(x)的图象在某区间(a,b)内单调递增,则其导函数f′(x)在该区间内的图象必在x轴上方(或与x轴相切);若     

方程f(x)=f~(-1)(x)与f(x)=x同解吗?

有些资料上,在处理方程f(x)=f_(-1)时,往往转化成解方程f(x)=x,这种转化的根据是:“两个函数若互为反函数,则它们的交点在直线y=x上”,事实上,这个结论是错误的,因为互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,若y=f(x)与y=f_(-1)(x)的图象有交点M(a,b)(其中a≠b),则M’(b,a)是它们的另一交点.一般地,有如下性质:     

函数f(x)=ax (b/x)(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x) =ax bx(a ,b∈R)的性质1.当a =b =0时 ,f(x) =0 (x≠ 0 )是常数函数 ,既是奇函数又是偶函数 ,其图象是x轴 (不包括原点 ) .2 .当b =0 ,a≠ 0时 ,f(x) =ax(x≠ 0 )是一次函数且是奇函数 ,其图象是一条直线 (不包括原点 ) .3.当a =0 ,b≠ 0时 ,f(x) =bx(x≠ 0 )是反比例函数且是奇函数 ,其图象是双曲线 .4 .当a≠ 0 ,b≠ 0时 :(1)当a >0 ,b <0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是增函数 .(2 )当a <0 ,b >0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是减函数 .(3)当a …     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

y=Asin(ωx+φ)题型的分类与解析(高二、高三)

函数y=Asin(ωx+φ)是课本上研究的一个重点.高考命题时,也常以此函数为背景编制高考题,常见形式有下述几种: 1.单调性,单调区间例1 函数f(x)=Msin(ωx=φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( ) (A)是增函数. (B)是减函数. (C)可以取得最大值M.     

由f[φ(x)]求f(x)的几种方法

中学生对于已知f(x),求f(a)以及f[φ(x)](这里a是常数,φ(x)是x的函数)都比较容易掌握。笔者现对已知f[φ(x)]或含f[φ(x)]的等式,求f(x)、f(a)举出几例的解法,仅供参考。一、换元法换元法是中学数学解题中常用的方法。利用这种方法求f(a)或f(x)的表达式时,一般只要对函数中的自变量作几次代换,转化为我们所熟悉的代数式的运算,最后换成所需的变量。例1.设f(x)是定义在R上的函数,满足f(2x-1)=x~2 x 1,求f(x)。     

不等式(x y)/2≥xy~(1/2)的推广

命题:a,b,u,v>0,a b=1,s,t是实数,则不等式au~s bv~i≥u~(as)·v~(bt)成立。略证:u~s,v~t>0,由对称性不妨设,x=(?)≥1,在[1,x]上对函数f(x)=x~a应用中值定理得不等式x~a-1≤(x-1)a(当u~s=v~t时取等号),将x=u~s/v~t代入不等式,整理并注意1-a=b即得证。推论:a,b,u,v>0,a b=1,贝au bu≥u~av~b易见不等式(x y)/2≥xy~(1/2)是该推论的特款。     

函数f(x)=ax+b/x(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x)=ax b/x(a,b∈R)的性质 1.当a=b=0时,f(x)=0(x≠0)是常数函数,既是奇函数又是偶函数,其图象是x轴(不包括原点). 2.当b=0,a≠0时,f(x)=ax(x≠0)是一次函数且是奇函数,其图象是一条直线(不包括原点).     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.     

数学分析中不等式证明的常用方法浅探

不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的问题,本文将对数学分析中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结。一、利用函数单调性证明不等式这是最常用最基本的方法。由文[1]定理7.1,若函数.f在(a,b)可导,则.f在(a,b)内递增(递减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0),x∈(a,b)。特别地,设函数f在(a,b)内可异,若f'(x)>0(f'(x)相似文献   

函数f(x)=ax+b~(1/2)+d-cx~(1/2)值域的又一新求法

求形如 f (x) =ax + b + d -cx(a>0 ,c >0 ,dc>-ba)的函数值域的方法很多 ,本刊文 [1]利用“双换元法”给出一种求法 ,阅后深受启发 .本文再给出此类函数的一种新的求法 ,具有简单易行的特点 ,更易为广大中学生所理解和接受 ,现介绍如下 .1　结论及证明定理　设 f1 (x) =ax + b,f2 (x) =d -cx,则函数 f (x) =ax + b + d -cx(a >0 ,c >0 ,dc >-ba)的值域为[[f1 ( x) +f2 ( x) ] m in,f1 ( dc +f2 ( - ba) ] .以下定理的证明过程 ,即给出了求 f (x)值域的一种方法 .证明 :(1)证 f (x)≤f1 (dc) + f2 (-ba)设λ >0 ,则由基本不等式 ab≤a + b2 …     

联想导数运算法则 合理构造函数解题

著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中明确提出,联想是解题计划的重要一环,学会联想是数学解题成功的一大关键.因此,在解题过程中,要善于观察题设条件与所求结论的结构特征,分析题设与结论之间的联系,联想题目与已有知识结构的相似性.本文结合联想导数运算法则,举例说明之.一、联想和、差函数的导数运算法则例1设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且f′(x)g(x)(B)f(x)g(x)+f(b)(即选项     

求复合函数的定义域(高一、高二、高三)

求复合函数的定义域,在高考和数学竞赛中经常出现.本文介绍这类问题的几种类型及相应的解题方法. 1.已知函数f(x)的定义域,求函数y=f[g(x)]的定义域. 方法:求满足不等式α≤g(x)≤b的x的     

对“f(x)与f(f(x))有相同值域”问题的思考

一、试题呈现设函数f(x)=x2+2ax+a,若函数f(x)与函数f[f(x)]的值域相同,则实数a的取值范围为.第一步:分析f(x)的单调性与最值,易知f(x)在(-∞,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,f(x)min=f(-a)=a-a2,∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).第二步:换元分析两函数.设t=f(x),则f[f(x)]=f(t),函数f(t)在t∈(-∞,-a)上递减,在t∈(-a,+∞)上递增,则y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞).     

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)     

广义奇(偶)函数的单调性及其应用

文 [1]介绍了广义奇 (偶 )函数的概念与性质 :定义　对于函数 f(x) ,若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =- f(b-x)成立 ,则称 f(x)为广义奇函数 ;若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =f(b -x)成立 ,则称 f(x)为广义偶函数 ,性质　对于函数 f(x)定义域的任意x ,f(a+x) =- f(b-x) f(x)的图像关于点 (a+b2 ,0 )对称 ;对于函数 f(x)定义域内的任意x ,f(a+x) =f(b-x) f(x)的图像关于直线x =a+b2 对称 .实际上 ,将上述广义奇 (偶 )函数 f(x)的图像平移 n=(- a +b2 ,0 ) ,即成为对应的奇 (偶 )函数的图…     

由f(a+x)=±f(b±x)判定函数的对称性与周期性

对于函数y=f(X),本文证明了:①若满足f(a+x)=f(b-x),则其图象关于直线x=(a+b)/2对称;②若满足f(a+x)=-f(b-x),则其图象关于点((a+b)/2,0)对称;③若满足f(a+x)=f(b+x),则其周期为a-b;④若满足 f(a+x)=-f(b+x),则其周期为 2(a-b)     

论△[f(x)]=∫integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf_n(X_n)]。

本文的内容在討論函數f(x)的定積分integral from n=a to b f(x)dx与其代真值 c_1f(x_1)+………+c_nf(x_n)之间的差值△[f(X)]=integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf(x_n)].a≤x_1<……相似文献