对初中数学教材中两个关于平方差公式应用问题的思考

1 问题的提出 1.1 运用平方差公式求解两数乘积的问题 平方差公式(a + B)(a － B) ＝ a2 － B2 是多项式乘法运算中一个非常重要的公式,直接运用平方差公式可以简化两数乘积的运算问题,提高学生的运算速度与运算结果的准确率. 北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学(七年级下册)》对运用平方差公式求解两数乘积的问题只是以例题的形式呈现给学生,学生只知道对于两数的乘积,可表示为某两个数的和与差的乘积,即mn ＝ (a + B)(a － B),而不明确m、n 与a、B 之间的关系,缺乏必要的分析.学生在计算过程中总觉得含有"猜" 的意味,如果两数m、n 之间的差距较大,就不容易"猜" 出mn 到底表示为哪两个数的和与差的乘积.     

“自互乘”与“同反积”——乘法公式新解

<正>通常我们所说的乘法公式是指完全平方公式和平方差公式.对于完全平方公式,朗朗上口的记忆口诀是:"首平方,尾平方,积的 2 倍在中央".而对平方差公式,教材上"两数和与这两数差的积,等于它们的平方差"的描述更是简单明了.但在实际教学中,学生错套公式、混淆运算对应元素的现象比比皆是,从而造成运算错误.这里,笔者就此类问题的深层次原因与大家进行一次初步探讨.一、与整式概念的矛盾初中数学中常常遇到多项式的乘法.对于单项式乘以多项式,其     

与乘法公式交朋友

一、注意弄清公式的结构特征弄清和掌握好公式的结构特征是正确运用公式的前提.对于平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,用文字语言叙述为:"两数和与它们的差的积,等于这两个数的平方差."具体地讲,公式的左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项是完全相同的数a,另一项是互为相反数的b与-b;右边是数a的平方减去数b的平方.可用口诀记为:二数和、二数差,乘积就是平方差.     

根式运算培养能力例谈

二次根式的运算既符合数式运算的一般规律,又具有根式运算的特殊规律、学生在掌握了根式运算的法则以后,还必须通过对问题形式进一步的细致观察,才能充分利用形式的特征及所涉及的有关性质、公式,来简化解题过程,提高运算能力。兹举几例予以说明。例１计算：分析：本题为两个因式的连乘积形式,一般采用直接展开的计算方法。观察这两个因式,一为两数和,一为两数差的形式,可联想平方差公式（ａ＋ｂ）（ａ转化为）解：原式乘法公式,特别是平方差公式,是根式运算的一种常用工具。分析：若整个式于一起通分,则不胜其繁。而先进行分母…     

例谈运用公式法分解因式

公式法是因式分解的重要方法。常用的公式有: 1.平方差公式:a~2-b~2=(a+b)(a-b)。 应用条件:多项式是二项式,并且是两数(或式)的平方差的形式。 2.完全平方公式:a~2±2ab+b~2=(a±b)~2。 应用条件:多项式是二次三项式,首尾两项是两数(或式)的平方,且中间项是这两数(或式)的乘积的2倍。     

引申公式及其应用(高一、高二、高三)

将某些例题、习题以及某些概念、性质延伸后得到的结论我们称之为引申公式.注意这些引申公式可使某些问题的求解变得简单. 1.三角中的引申公式 (1)三角中的平方差公式 sin2α-sin2β=sin(α β)sin(α-β),从左往右用,可将平方差化积;从右往左用,可将乘积化成平方差. 例1 (sin280°-sin240°)/(cos280°-sin240°)=( )     

二次根式运算的技巧

在二次根式运算中,有很多学生感到厌烦．步骤复杂,用了很长时间,结果又不对,原因之一他们没有找到运算中的技巧．不妨参考一下．一、巧移因式,避繁就简例1 计算分析:将根号外的因式移到根号内,然后运用平方差公式计算比较简便;或先把 48~(1/2)、18~(1/2) 化简,然后利用平方差公式计算．解:原式= 二、巧提公因数,化难为易     

巧用平方差公式解题

平方差公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2用语言可叙述为:两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差.在解题过程中,若能灵活运用平方差公式,可使问题化繁为简,化难为易,复杂问题迎刃而解,现举例解析如下,供同学们参考:     

平方差公式的精彩应用

平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2,即两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差.在解题过程中,若能灵活运用平方差公式,可使问题化难为易,化繁为简,复杂问题简单化,下面举例解析如下,供大家参考. 例1 (2012湖北宜昌6分)先将下列代数式化简,再求值:(a+b)(a-b)+b(b-2),其中a=√2,b=1. [分析]利用平方差公式和单项式乘以多项式法则将原式化简后再代入求值.     

“平方差公式”教学设计

<正>一、内容和内容解析1.内容沪教版七年级第一学期第九章第11节平方差公式的第1课时.2.内容解析平方差公式是在学习了有理数的运算、一次方程及不等式、列代数式、整式的加减和整式的乘法等知识的基础上,在学习了多项式的乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式乘法,符合学生从一般到特殊的认知规律.本节课将引导学生从代数和几何两个角度加以验证,帮助学生理解平方差公式的几何解释,体会数形结合的数学思想.平方差     

公式用得巧变形是法宝

多项式的乘法公式有两个,它们是平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.在进行多项式的乘法运算时,要具有运用乘法公式的意识.为此,需注意如下几种为运用乘     

利用拼图验证平方差公式

平方差公式是指两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.用公式可表示为(a b)(a-b)=a2-b2.在新课改理念下,利用图形来验证平方差公式的创新题在中考中频频出现.现举例说明如下.     

巧用平方差公式解题

平方差公式（a＋b）（a-b）=a^2-b^2用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差．在解题过程中,若能灵活运用平方差公式,可使问题化繁为简,化难为易,复杂问题迎刃而解,现举例解析如下,供同学们参考：     

奇妙的三角平方差公式

<正>三角中有两个结论:(1)sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;(2)cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.这两个结论的结构与平方差公式(x+y)(x-y)=x²-y2-y²的结构相似,体现了数学的形式美,所以不妨称之为"三角平方差公式".公式的证明是很容易的,通过角的和差公式直接展开来推导即可.此公式不仅形式     

灵活运用平方差公式

公式(a b)(a-b)=a2-b2称为平方差公式.学了这个公式后,在解题中,我们应根据题目的不同特点,灵活运用. 一、正向运用正向运用平方差公式,能把两个数的和与这两个数的差的积化成平方差的形式.     

乘法公式在整式乘法中的应用常见错误剖析

<正>完全平方公式和平方差公式是初中数学中的两个重要公式,在整式乘法运算中发挥着举足轻重的作用.学生在解题过程中经常出现这样那样的错误,现一一列举.一、完全平方公式应用中的错误(一)漏掉中间项例1:计算:(a+4)2错解:(a+4)2=a2+16剖析:完全平方公式的结果有三项,首平方,尾平方,积的两倍在中央.运用公式时不要漏项.正解:(a+4)2=a2+8a+15(二)中间项漏乘2例2:计算:(2a-1)2     

浅谈平方差公式的学习

学好平方差公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2必须从以下几点着手。一、掌握构成特征。(a+b)(a-b)=a~2-b~2用语言叙述为：“两数的和与这两数的差的积,等于这两个数的平方差。”这就是平方差公式的构成特征。判断两式和咱们能否应用平方差公式而直接安顿出结果,就是看这两个式子能否表示为“两数的和与这两数的差的积”的形式。为方便起见,不妨把这两个数分别称为第一个数与第二个数,基中第一个数在两     

二次根式乘法与平方差公式

在进行二次根式乘法运算时,如能灵活运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,可以化繁为简,化难为易,现以人教版义教《代数》第二册的部分习题为例,说明平方差公式在二次根式乘法中的几种运用形式。     

“平方差公式”的教学设计与反思

<正>一、背景乘法公式是2012年审定的七年级数学(苏教版)下册第九章的第四小节,内容包含完全平方公式和平方差公式,推导乘法公式,了解公式的几何背景,利用公式简单计算.二、教学目标1. 知识与技能:能推导平方差公式,了解公式的几何背景,并能利用平方差公式进行简单计算.2. 过程与方法:由多项式乘多项式引入平方差公式,经历探索平方差公式的过程,进一步感悟数与形结合的思想.3. 情感态度与价值观:在探索平方差的过程     

应用乘法公式运算的技巧

利用乘法公式进行整式的乘法运算,可以简化运算过程,而能直接利用公式计算的问题较少,但是有些式子通过适当变形可以应用乘法公式计算,下面结合例题介绍应用乘法公式运算的技巧.一、正用公式例1计算(-a-2b)(2b-a).分析观察两个多项式的特点,把-a看作公式中的a,2b看作公式中的b,显然可以直接应用平方差公式计算.解(-a-2b)(2b-a)=(-a-2b)(-a+2b)