2012年山东高考数学试题(理科)第22题解析

题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明;     

一道导数压轴题的“异构”妙解

<正><正>一、试题呈现(2022年第七届湖北省高三调研模拟考试第22题)已知函数f(x)=xe^x-1,g(x)=a(lnx+x).(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求正实数a的值;(2)证明：x²e^x>(x+2)lnx+2sinx．二、试题分析本题属于探索创新情境,以指数函数和对数函数为载体,考查导数在不等式恒成立求参数值的问题以及证明不等式的问题中的应用,涉及到函数的单调性、极值、最值等知识,     

对一道高考试题的两点看法

笔者参加了全国统一高考(山东卷)的阅卷工作.下面结合阅卷情况,谈谈对理科18题的两点看法.理科第18题设函数f(x)=ax-(a 1)ln(x 1),其中a≥-1,求f(x)的单调区间.答案要点由已知得函数的定义域为(-1, ∞),且f′(x)=axx -11(a≥-1).(1)当-1≤a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1, ∞)上     

分离参数求解一类不等式恒成立问题

<正>本文以一道高考题为例,探讨如何巧妙应用分离参数确定最值的方法求解含参不等式恒成立问题。1.试题呈现题目(2010年高考全国卷理科第21题)设函数f(x)=sinx2+cosx。(Ⅰ)求f(x)的单调区间。(Ⅱ)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围。2.解法展示     

导数的基本应用

从近几年全国高考新课程试卷来看 ,利用导数的相关知识来分析和解决问题已成为高考命题的一个热点 .以下举例说明导数法的基本应用 .一、研究函数的单调区间【例 1】　 ( 2 0 0 3年高考新课程卷 )设a>0 ,求函数f(x) =x-ln(x +a) (x∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .分析 :f′(x) =12x-1x+a(x >0 ) ,当a >0 ,x>0时 ,f′(x) >0 x2 + ( 2a-4 )x +a2 >0f′(x) <0 x2 + ( 2a -4 )x+a2 <0( 1 )当a >1时 ,对所有x>0都有f′(x)>0 ,此时f(x)在 ( 0 ,+∞ )上单调递增 .( 2 )当a =1时 ,对x≠ 1 ,有f′(x) >0 ,f(x)在 ( 0 ,1 )内单调递增 ,在 ( 1 ,+∞ )内…     

函数高考命题的新走向

函数每年的高考都占很大比例,且是常考常新.特别是“导数”和“向量”,加盟后拓宽了高考对函数问题的命题空间.本文试对高考函数命题的新趋势作一浅析.一、三次函数闪亮登场新增导数内容后高考中出现大量考查三次函数的切线方程、最值、极值、单调性、图象等内容,导数为这类问题的解决提供了新的方法.这类问题虽然难度不大,但具有内容新、背景新、方法新等特点,预计在今后的高考中还会进一步加大考查的力度.【例1】(2005年北京卷)已知函数f(x)=-x3 3x2 9x a.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上…     

对一个错误解法的辨析与思考

1 问题再现 笔者所在学校高三年级的一次检测试卷中有下面一道试题: 已知函数f(x)=ln(x+1)-x. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)对于在(0,1)中的任意一个数a,是否存在正数x0使得ef(x0)＜1-a/2x0成立?请说明理由.     

一道高考试题的多解探究及加强推广

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=e^xln(1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设g(x)=f’(x)，讨论函数g(x)在x≥0上的单调性;(3)证明:对任意s,t>0，都有f(s+t)>f(s)+f(t).本题是2022年高考数学北京卷第20题，试题将指数对数函数以乘积的形式联系在一起，构思新颖、巧妙，主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，以及函数背景下的不等式证明等知识，对数学抽象、数学运算等核心素养具有较高要求．     

导数与函数单调性的妙用

导数的应用非常广泛,导数与函数的单调性的综合运用问题是高考命题的热点。有些貌似与导数无关的问题,若巧用导数去解决,常有"山重水复疑无路,柳暗花明又一村"的效果。下面举例说明。一、判断方程的根的个数由函数的图像性质特征可知,若f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]上有唯一的实根,若f(a)f(b)与零的大小无法确定,则f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根。例1若-1相似文献   

对一道不等式恒成立问题解法的三重反思

这是湖北武汉2007年高三调研卷中的一道题:已知函数 f(x)=x~2+2x+alnx.(1)若函数 f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围;(2)当 t≥1时,不等式 f(2t—1)≥2f(t)—3恒成立,求实数 a 的取值范围.此题要利用导数知识作工具,研究函数的单调性,处理不等式恒成立问题.     

利用导数求参数的取值范围

<正>导数是高等数学的基础部分,因而近几年来,导数是高考的必考题目.导数具有运算量大、思维灵活多变、解题方法多种多样等特点.如何利用导数求参数的取值范围既是考试的重点又是难点.利用导数求参数的取值范围的题型亦复杂多变,本文主要浅析已知函数在给定区间上的单调性,求参数的取值范围,常见方法如下.【例1】已知函数f(x)=x3-ax2+bx+5(a,b∈R).若g(x)=f(x)-(b-1)x-5,且g(x)在区间[1,2]     

2003年高考“求导题”的分析与反思

一 试题概述 2003年高考数学新课程卷理科第 19 题,文科第 18 题是利用“导数”知识来解决的问题. 理科试题:设 a>0,求函数 f(x)= 姨 x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间. 此题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 文科试题:已知抛物线 C1: y=x2+2x 和 C2: y=-x2+a,如果直线 l同时是 C1 和 C2 的切线,称 l是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.( ) 取什么值时, 和 C2 Ⅰ a C1有且仅有一条公切线?写出此公切线的方…     

2022年全国甲卷导数压轴题的解法探究

<正>一、试题再现已知函数f(x)=e^x/x-ln x+x-a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x₁,x₂，则x₁x₂<1．本题是2022年全国甲卷导数压轴题．第(1)问已知不等式求参数的取值范围，难度中等;第(2)问考查导数的应用，属于极值点偏移问题，难度偏难．     

从“题目解决”到“问题本质”的探究——对2022广东省一模导数题的背景思考

<正>一原题呈现题目已知f(x)=lnx+ax+1,f’(x)为f(x)的导函数．(1)若对任意x> 0都有f(x)≤0,求a的取值范围;(2)若0 相似文献   

2022年高考北京卷导数题的溯源、求解与推广

<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明.     

如何利用导数解决函数的单调性问题

函数的单调性是函数最重要的性质之一,而利用导数解决函数的单调性问题,是近几年高考考查的重点和热点之一,也是学生感到比较棘手的一类问题.该类问题主要有两种类型:一是利用导数判断函数的单调性;二是由函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.类型一利用导数判断函数的单调性解决此类问题的依据是:设函数f(x)在某个区间(a,b)内的导数为f’(x),则(1)若f’(x)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内递增;     

例说新增内容高考命题走向

纵观6年来数学新增内容(向量、导数、概率统计)高考命题走向是:函数与导数的整合,平面向量与解析几何的整合,空间向量与立体几何的整合,排列组合与概率的整合,形成了以向量、导数、概率为纽带的新的知识网络交汇点,且在试卷中所占分值有逐年递增之势,起点越来越高,难度越来越加大.本文以两年高考新课程卷试题做一例示.【例1】(2004年全国卷Ⅱ理科)已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析:函数f(x)的导数:f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax(Ⅰ)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在…     

解题来源于猜想——一道高考试题解法再探究

2010年课标全国卷理科第21题:设函数f(x)=e~x-1-x-ax~2.(Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.解析:(Ⅰ)略;(Ⅱ)f′(x)=e~x-1-2ax,由(Ⅰ)知e~x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当1-2a≥0,即a≤1/2时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x     

2016年浙江省高考数学(理)第18题评卷及启示

<正>笔者非常荣幸参加了2016年浙江省高考理科第18题的阅卷工作.本文拟结合笔者的阅卷经历简要叙述本题的阅卷情况和自己有感而发的教学思考,供读者参考.试题已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x²-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q.{(Ⅰ)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.(Ⅱ)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a);     

多视角探究一道模拟导数题的解法

<正>一、题目呈现(2022年山东数学模拟试题)已知函数f(x)=ae^x-1-lnx+lna,(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的范围．二、总体分析本题第(1)问考查导数的几何意义,属于常规题．第(2)问则是利用导数研究不等式恒成立问题,求参数的范围．此问可以多视角解答,涉及隐零点、同构法、切线放缩、分类讨论、反函数法等多种策略．特分享于此,以飨读者．