例说对称思想在解题中的应用

对称是一种美,数学中的对称美主要表现在图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等方面.在数学问题的求解过程中,如果我们能充分运用对称的思想方法,那么解题思路就会被打开,解题过程也会优化.本文拟通过几道例题的解析,谈谈对称思想在解数学题中的应用.     

引入对称辅助元解题的若干方法

引入辅助元解题在初等数学中具有广泛的应用性,在各类辅助元中,有一类较特殊的辅助元,即在某种意义下成对出现的两个数学式子,我们称之为对称辅助元.解题中对于某个对象,有意识地引入对称辅助元,对一些问题往往可获得较简捷的解法.下面举例说明引入对称辅助元的若干方法,供参考.     

例说"分子有理化"

在众多的数学解题方法中,有一朵"小花"不很起眼,但有时却能给我们带来意外的惊喜,这就是"分子有理化".分子有理化主要适用于含有根式的问题,其主要目的或思想方法通常是将形如0√a±0√b的式子转化为0√a- 0√b的式子,去掉分子中的根号,以获得解题中我们所需要的数学表达式,进而使问题得解.     

解题——数学课堂的生命

为什么有些学生在拿到数学问题时不会求解?那是因为思想方法不到位;为什么有些学生数学问题会解可是又会粗心大意出错?那是因为学生态度和书写过程不到位.数学离不开解题,解题是思维的书面载体.波利亚认为:掌握数学就是意味着解题.善于解题也就是包含两层意思:其一善于思考;其二善于表达.即学生能否有独立获得解决问题的思路;学生能否正确地表达自己的解题思路.对任何形式的解答题的考查,我们都会明确指出:要求学生     

探索规律 巧妙解题

荷兰数学教育家弗雷登尔曾强调:“学习数学唯一正确的方法是不断地再创造,而不是把现成的知识照搬照用,要善于发现、善于探索、从而提高思维能力.”为此,我们要自觉地将探索解题规律,寻找解题方法融入数学学习中,从而提高数学创新思维能力. 下面就援引几道例题对此进行探讨. 一、探索解题的规律 这是指在解题时,要善于总结规律,并进一步将题目归并为某种类型,得出解题公式或规律.     

数的整除（六）——倍数和分倍数

倍数(公倍数)问题在各级各类的数学竞赛中经常出现，虽然其表现形式复杂多样，但其解题过程却都有规律可循。解答这类题时要善于总结解题规律，并能在深刻理解的基础上力求做到灵活运用。下面列举数例加以阐述。     

以美启真以真显美 ——基于"美学视角"的数学解题拾贝

数学是"真与美"和谐统一的学科.在儿童数学学习中,教师要发掘数学美的因子,运用数学的美学特质,引领儿童展开"合规律性"与"合目的性"的解题.在领略数学简约、和谐、对称、相似与奇异美的过程中,优化儿童解题思路,形成儿童的灵动思维.     

构造对偶式 巧解数学题

<正>对偶式是指与原数学式子结构对称,或结构相似或相近的数学式子.根据原式结构,构造一个对偶式,与原式进行配对,通过合理的变换和运算,可以使问题得以巧妙解决.正是因为对偶式解题的简洁性,使得许多学生对此心生向往而又望而却步.下面通过一个例子来揭开对偶式解题的神秘面纱.     

例说“分子有理化”

在众多的数学解题方法中,有一朵“小花”不很起眼,但有时却能给我们带来意外的惊喜,这就是“分子有理化”.分子有理化主要适用于含有根式的问题,其主要目的或思想方法通常是将形如的式子转化为的式子,去掉分子中的根号,以获得解题中我们所需要的     

与定圆相关的“动”问题赏析

有一类以角度θ为参数的问题,其式子中含有cosθ,sinθ,鉴于cosθ,sinθ与单位圆的关系,因此,解题时可以把问题转化为与定圆相关的曲线(直线族、圆族)问题,解题者要善于识破题目中曲线的"动"规律,作出定圆,让点在圆上动,以静制动,并采用数形结合的方法进行求解.下面就此类问题对其进行分类解析.     

创设数学“结构美”巧解题

数学多给人以枯燥、繁琐的印象 ,但在很多情况下数学又给我们许多美的感受 ,特别在数学解题中存在很多“结构美”,主要表现为式子结构的对称有序、数学元素 (数字、符号、式子 )的完备整齐等 .善于发现、挖掘、创设这些“结构美”会给我们解题带来意想不到的良好效果 .1　添加、删减数学元素例 1　已知数列 {bn}是等差数列 ,b1 =1 ,b1 + b2 +… + b1 0 =1 4 5.( )求数列 {bn}的通项公式 ;( )设数列 {an}的通项公式 an=loga( 1+ 1bn) (其中 a>0且 a≠ 1 ) ,记 Sn 是数列 {an}的前 n项和 ,试比较 Sn 与 13logabn+1 的大小 ,并证明你的结论 …     

从不对称到对称

对称既是数学美的一种形式 ,又是解题的一种思考方法。有些问题看起来是不对称的 ,但我们可以通过构造另外一个式子或改造原图形使问题变得具有对称性 ,帮助解题。如“已知α、β是方程ｘ２ ２ｘ １＝０的两根 ,求α 的值”一题中的“α ”是不对称的 ,那么我们可以设ｍ＝α ,ｎ＝β 。这样的两个式子的右边呈现了轮换对称性了 ,就能够运用根与系数的关系求出结果。因为α β＝２ ,αβ＝ １ ,ｍ ｎ＝（α β） （ ）＝（α β） ＝２ ２＝０ ,ｍｎ＝（α ）（β ）＝αβ ２＝ １ １ ２＝０。由此可解出ｍ＝０。几何中若给出…     

构造对偶式解赛题(高一、高二、高三)

数学解题与数学发现一样,通常都是通过类比,特别是通过形式结构上的类比联想,获得解题方法,对某些结构形式对称的数学问题,可通过字母的替换,相反数的替换,或补成更为完整的整体,构造一个与原式类似的式子,使得它们经过某些运算能产生一些简洁有效的结论,从而促使问题的转化和解决,我们把这种解决问题的方法称为构造对偶式法.     

巧用对称 简化解题

对称是一种美,在数学里运用非常广泛.在初等数学里,我们常常会遇到一些对称问题,如几何里的中心对称、轴对称、代数里对称多项式,韦达定理等.有些数学问题用对称的观点去观察,通过形象补形,生成对称,容易找到简捷的解题途径.灵     

如何培养高中学生数学解题能力

正"问题"是数学的心脏,美国数学家哈尔莫斯认为,"数学的真正的组成部分是问题和解,掌握数学就是意味着善于解题".解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径,也是检验知识、运用知识的基本形式.数学学习的好与坏,集中表现在解题能力上.有效地培养数学解题能力,有助于学生独立的有创造性的认识活动,也可以促进学生数学能力的发展.而我们要明确的是学生的数学解题能力并非通过传授可以     

配方法在解题中的应用

数学思想方法是数学教学的一个重要内容,培养学生形成一定的数学思想方法,有助于提高学生的思维能力和解题能力。中学数学常用的数学思想方法有挟元法,配方法,待定系数,数形结合法等。在数学解题中善于利用数学思想方法是解题重要策略,下面我就主要探究一下配方法在解题中的应用。配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知与未知的联系,从而化繁为简,何时配方,需要我们适当预洲。并且合理运用“裂顷”与“添酉”,“配”与“凑”的技巧,从而完成配方,最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方,它主要适用于;已知或未知中含有二次方程、二次不等式,二次函数,二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。     

解数列问题的整体思想

数学解题过程中,要注意总结规律,掌握解题思想方法.本丈介绍了解数列问题的七种整体思想方法,值得同学们借鉴.解题的关键在于把握相关式子在整体上的结构特点,选择恰当的方法,有时需要几种方法融为一体,才能使问题得解.     

优化解题方法 凸显数学美感

<正>高斯曾经说过:"数学是科学的皇后."用皇后来形容数学,一则是显示数学地位的重要性,二则是体现数学的完美性.在数学中,一个优美的图形、一个对称的式子,都能够给我们以美的享受.当我们从多角度审视,多层面分析,用一题多解的方法去处理一个数学问题后,这种"殊途同归"会让我们为数学内     

换元法在初中数学解题中的探究

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决．在初中数学解题中,使用换元法,很多问题往往会迎刃而解．     

善思多解提高思维发散性

数学解题过程是一个动态思维过程,选择不同的思维起点,沿着不同的方向寻求解题方法的思维方式,这也是创造性思维的主要方式.在求解数学问题的过程中,如果同学们善于思考,认真发掘题给条件,寻求多种多样的解题方法,对于培养同学们的探索能力和创新能力是大有益处的.