一道质检压轴题的再思考

在高中数学习题中,能不给图就尽量不给图,需要解题者有基本的构图能力,于是,在各级的考试中对构图能力的要求就相应提高了,例如"构造角相等"的问题,若已知一个角,构造角平分线可得到角相等,这个问题确实简单,但是若需要构造角的顶点,使得两个角相等,则这个问题就不简单了,为了说明这个问题,本文采撷两例,以饗读者.     

浅谈坐标系中两角相等问题的构图与转化

<正>近年来,在各地中考中常常出现一类以直角坐标系为背景涉及两角相等求动点坐标的考题,由于考生平时对此类问题的反思归纳不太到位,导致求解时暴露出"构图能力偏弱"和"转化策略不明"两大问题.本文不揣浅陋,就此谈几点不成熟的思考,以求抛砖引玉.1 "共线边"两等角的构图与转化所谓"共线边"就是指两等角各有一条边所在的直线为同一直线.对于此类问题,通过作平行线和翻折不仅可轻松构造出等角,而且还使相关点的坐标求法一目了然,有事半功倍之效也.     

构造平行四边形证明(配合人教版)

中考中,经常会出现需要构造平行四边形、利用平行四边形的性质证明角相等、线段相等或直线平行的考题.这类题对同学们分析问题和解决问题的能力要求较高,现以近年中考题为例进行归类分析.一、构造平行四边形证明两线段相等例1如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到D,使AD=1/2AB,     

构造全等三角形求解几何题

<正>在解决几何问题时,如果我们能够根据图形特征,通过添加辅助线构造全等三角形,并利用全等图形的性质,不仅可使问题迎刃而解,而且有助于创新思维的培养,提高数学思维能力和分析能力,现举几例供大家参考.一、有角平分线时常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形例1如图1,ABC中,AD是∠A的平分线,且∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD.A B E C D图1     

利用韦达定理解竞赛题

<正>韦达定理可谓是初中数学教学的"重头戏",因其是解决一元二次方程及相关问题的"杀手锏",在中考升学尤其是初中各类竞赛中都颇受命题人的青睐,其重要性不言而喻.下面,通过近几年的几道竞赛题体会如何利用韦达定理巧解竞赛题.例1(第23届希望杯全国数学邀请赛初三试题)已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x+m2-2(m-1)x+m²-1=0有两个不相等的实数根α,β,若α2-1=0有两个不相等的实数根α,β,若α²+β2+β²=4,则m=____.     

一道习题的探究历程

<正>题目如图1,已知A(-2,4),B(6,2),在x轴的负半轴上是否存在一点M,使S△ABM=20;若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.解析首先考虑方法,解决此类问题,一般采用"面积法".要用"面积法"就需要考虑M点的位置.点M在x轴的负半轴上,根据面积计算构图的不同运算关系,M点的位置有图2和图3两种可能性.     

“旋”而未定 “转”而得解——以“巧用旋转，探究线段数量关系”专题复习课为例

<正>图形的旋转是重要的图形变换,由于旋转不改变图形的形状和大小,只是位置关系发生变化,旋转转移了边和角,使图中的条件重新组合,构造了新的图形,在新的图形中发现新的数量关系,位置关系,从而使复杂的问题变得简单了,有些百思不解的题目也可能豁然开朗了!一、认知模型问题1 在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上且(1)如图1,若∠BAC=90°,求证:BD2+CE2=DE2.(2)如图2,若∠BAC=60°,     

构造几何模型巧解代数题

数学家拉格朗日说过“代数与几何两门学科一旦联袂而行 ,它们就会从对方吸收新鲜的活力 ,从而大踏步地走向各自的完美 .”著名数学家华罗庚先生亦曾说过 :“数形结合千般好 ,数形分离万事休 .”事实上 ,有些繁难的代数题 ,若我们根据题目的结构 ,联想、挖掘出它的几何背景 ,构造几何模型 ,把代数问题转换成几何问题讨论 ,往往能峰回路转 ,探索出十分巧妙的解法 .现举例说明 .1　构造平面几何模型例 1　求值 tan 2 0°+ 4sin 2 0°.分析　由于 2 0°并非特殊角或特殊角的半角 ,给人一种难以下手的感觉 ,但由图 1的构图求解 ,令人拍案叫绝 .图…     

浅谈“倍长中线”法的导角策略

<正>"倍长中线"是一种常用的辅助线.但很多问题在倍长中线构建全等三角形的基础上,还需通过第二次构造全等才能解决.而第二次构造中,"等角"的证明是解决此类问题的难点.本文给出"倍长中线"法的五种导角策略,以作抛砖引玉.一、利用直角导角例1 如图1,在△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,点E,F分别在边AC,BC上,且ED⊥FD.求证:AE²+BF2+BF²=EF2=EF².证明如图1,延长ED至点G,使DG=ED,连结BG,GF.     

角平分线与全等三角形的构造

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A…     

突破中考角平分线类型题之策略研究

角平分线在几何中占有重要地位,是解决许多问题的桥梁和纽带.角平分线把一个角分成相等的两个部分,其"轴对称功能"衍生出"角平分线上的点到角两边的距离相等"以及"等腰三角形三线合一"、"三角形的内心到三边的距离相等"等性质,而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形,也常在解题中给我们带来方便.     

借助几何模型构建等腰三角形

<正>涉及角平分线、中垂线和倍角等条件的几何问题,往往可通过添加适当的辅助线构造等腰三角形得以解决.本文介绍如何借助六类不同的几何模型构建等腰三角形来解决相关问题.一、"角平分线+平行线"模型如图1,若D是∠ABC的角平分线上一点,AD//BC,则△ABD是等腰三角形.例1 如图2,BD是△ABC的角平分线,点E在AB上,点F在AC上,EF//BC,FD=CD,BE=8,EF=2,求BC长.分析由BD平分∠ABC,     

构造全等三角形解题

<正>我们知道,正方形是特殊的平行四边形,它的四边相等,四个角都是直角.如果把它的边、角分别划分到适当的两个三角形中,再构造一对边或角的关系,就可以证明这两个三角形全等,进而证明相关的问题.一、延长线段构造全等三角形例1如图1所示,在正方形ABCD中,E、F是AD、DC上的点,且∠EBF=45°,求证:EF     

一道中考题的多证与思考

<正>原题(2014年临沂中考题)问题情境如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.探究展示(1)证明:AM=AD+MC;(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.拓展延伸(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.证明(1)方法一(补短法)如图1,延长MC到F,使CF=AD,连结     

确定抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)开口方向的另类方法

<正>1另类方法事实1若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,则(1)A、B、C三点不在同一直线上;(2)直线AB、AC、BC均不与x轴垂直.事实2平面直角坐标系中,A、B、C三点不在同一直线上,且直线AB、AC、BC均不与x轴垂直,则存在着唯一一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),其图象过A、B、C三点.事实3如图1,平面直角坐标系中,A、B两点是等高点(即两点的纵坐标相等),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A、B两点.若抛物线开口向上,则抛物线经过图中的1区、5区、3区,不经过图中的4区、2区、6区;若抛物线开口向下,则抛物线经过图中的4区、2     

例说韦达定理在解题中的应用

<正>韦达定理及其逆定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,它在求代数式的值,解方程(组)等方面都有着很广泛的应用.下面举例说明,供大家参考.一、求字母的值例1 已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x+(m2-2(m-1)x+(m²-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α²+β2+β²=4,则m=___.解∵α,β是方程x2=4,则m=___.解∵α,β是方程x²-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m²-1,且Δ>0.     

获取和构造等腰三角形中的两个基本形

<正>在一个较为复杂的图形中,若能结合已知条件获取等腰三角形或构造出一个等腰三角形则能开启思维的闸门,使问题迎刃而解.1角平分线+平行线等腰三角形过角平分线上任一点作该角一边的平行线,则这条直线和另一边相交构成的三角形为等腰三角形.如图1,若CB平分∠MCN且AB∥NC,则AB=AC.这一图形为在复杂图形中获取等腰三角形提供了一个基本模型.     

一道几何难题的简易求解

<正>北师大版教材八年级下册《平行四边形》中有这样一个命题判断:"一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形".大家知道,这是一个假命题,但如何构造反例图形却是一道难题!教学中有不少教师给学生介绍了下面的构图方法:如图1,作一个等腰△ABC,在底边BC上取一点D(不能是中点,你知道为什么吗?),连结AD,作AD的垂直平分线l,以l为对称轴     

构造全等三角形解题

<正>全等三角形的对应边相等、对应角相等,构造全等三角形可以实现线段和角的位置转移,从而为解决复杂的图形问题提供思路与方法.下面举例加以说明.一、求解线段长度在求解线段长时,如果题中条件比较分散, 可通过构造全等三角形实现线段或角的相对集中,从而促进问题的解决.例1 如图1,在正方形ABCD中,AD=5,点E、F是正方形ABCD外的两点,且AE=FC=3,BE=DF=4,则EF的长为___.解析延长EA、FD交于点M.     

你可会用角的对称性?(初二)

角平分线,是将一个角平分成两个相等的角的射线.它是轴对称图形,它所在的直线是它的对称轴.因此,含有“角平分线”的问题,可考虑利用对称性通过构造全等三角形来解决. 例1 已知:如图1,在△ABC中,∠A=108°AB=AC,BD是角平分线.求证:BC=AB+CD.