数轴上找分数1/n对应点的作图法

学习"实数"的有关知识后,我们知道无理数和有理数一样都可以用数轴上的点来表示,教材介绍了像a这样的无理数,可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点.那么是不是还有其他的数,也可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点呢?通过探究发现,对于像分数1n(n为整数)这样的数,同样也可以利用作图的方法在数轴上找出它的对应点.     

数轴上找分数1/n对应点的另一种方法

<正>2017年第4期《中学数学杂志》刊载了朱有成老师的文章《数轴上找分数1/n对应点的作图法》.朱老师由教材已经解决的问题:在数轴上作像a(1/2)这样的无理数所表示的点,联想到一个新问题:对于像分数1/n(n为整数)这样的数,能否也可以通过作图的方法在数轴上找到它的对应点,并给出了一种有效的作图方法.笔者受朱老师问题的启发,再给出另一种更简洁的作法,供读者参考.     

用数轴上的点表示无理数的画法尝试

有理数可以直接在数轴上用对应点表示出来,那么无理数又如何用数轴上的对应点表示出来呢?下面和同学们一起来研究用数轴上的对应点表示无理数的画法。数轴上的点表     

也谈数轴上分数■对应点的作法

<正>《中学数学杂志》2017年第4期刊载了朱有成老师的文章《数轴上找分数■对应点的作图法》.2019年2月,《中学数学杂志》又刊载了李玉荣老师同一个问题更为简洁的作图研究成果《数轴上找分数■对应点的另一种方法》.细品两篇短文,受益匪浅.朱老师的方法是首先构造一个直角三角形,使得与数轴重合的直角边长为n(n为整数),另一条直角边长为1,然后作三角形斜边上的垂直平分线,再截取某相等线段,最后通过证明的方式求得一条线段的长度恰好为■,问题得     

“2~(1/2)的认识”:HPM视角下的数感培养

2~(1/2)是学生学习的第一个真正意义上的无理数,2~(1/2)数感的建立对后续的无理数学习具有十分重要的意义。根据数感的组成成分,采用HPM视角来设计和实施"2~(1/2)的认识"的教学:采用重构式,通过面积计算来引入2~(1/2);采用复制式,通过反证法来证明2~(1/2)不是有理数;采用附加式,介绍无理数的历史;通过"在数轴上标出2~(1/2)的准确位置"的活动来凸显2~(1/2)的几何表征。课后的问卷调查和访谈表明,这样的教学对于培养学生无理数的数感是有效的。     

(n~2±1)~(1/2)为无理数的几何证明

<正>在学习无理数的过程中,同学们都学过2^(1/2)为无理数的反证法,即假设2(1/2)为无理数的反证法,即假设2^(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n²±1)2±1)^(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2^(1/2)的办法     

无理数的大小比较及估算

自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如:π,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难.那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适用,即:(1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)根据数的符号性质:①正数大于零和一切负数,零大于一切负…     

让绝对值回“娘家”(初一)

我们知道, |x|的几何意义是数x在数轴上的对应点到原点的距离. |x-a|的几何意义是数x和数a在数轴上的对应点之间的距离.因此,绝对值的几何意义总可以通过数轴来体现,我们说数轴是绝对值的“娘家”.让绝对值回“娘家”,是解决此类问题的巧妙方法.     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

一题一议

浙江省1989年初中中专招生统考数学试题有一道选择支唯一正确的选择题: 与数轴上的点—一对应的数是 ( ) (A)整数;(B)有理数;(C)无理数; (D)实数。一般情况下答案应选(D)。但如选(C)、(D)则也不错,无理数与数轴上的点也可建立一一对应。由于一一对应内涵较广,对初中中专考生来说,这道题似应改为: 数轴上的点代表的数为 ( )     

第六讲 无理数(之3)

（4）不是由开平方得到的无理数前面说到,开平方是无理数的一个来源,一个正有理数,对它开平方,如果开不尽,那么这个有理数的平方根是无理数,如我们已经熟悉的2^1/2,3^1/2,5^1/2,6^1/2,7^1/2,10^1/2…等等,像这样的无理数我们可以写出很多很多,它们有无穷多个,细心的读者可能会发现上面     

寻找有核心素养认同感的数学教学——以还原数学史的模式定义2(1/2)为例

实录围绕五个问题展开,分别是:2(1/2)这样的数存在吗、如何验证存在、能在数轴上表示吗、它的大小呢、如何说明它不是有理数.实录尝试以还原数学史的模式定义"2(1/2)是无理数",呈现"寻找有核心素养认同感的数学教学"这一目标,以唤起学生的数学思维,让学生在现有条件下亲力亲为,发现尽可能多的数学事实.     

无理数e的一个近似作法

对于有名的无理数如2~(1/2),3~(1/2)、π等,都可用几何作图求出它们的精确值或近似值。本文就打算给出数e的一个近似作法。     

代数数与超越数

在建立数系的过程中,引入无理数之后,就从有理数集扩展到实数集,一般又总是通过2~(1/2)来引入,因此人们很容易认识到3~(1/5)、7~(1/4)、…103~(1/n)、…都是无理数。但是,往往会造成错觉,错误地认为一切无理数都是用根式表示而开方开不尽的数。从另一角度来考虑,这几个无理数2~(1/2)、3~(1/5)、7~(1/4)都是代数方程x~2-2=0,x~5-3=0,x~4-7=0的根,这必然会使人们考虑到是否无理数都是某一类代数方程的根呢?本文将从代数方程及它们的根来讨论数的分类,并企图对无理数的教学有所裨益。     

谈实数与代数式的复习

(一)复习要点 1.实数的概念 (1)__和__统称有理数. (2)无限__小数叫做无理数. (3)有理数和无理数统称__. (4)规定了__、__和__的直线叫做数轴__数与数轴上的点一一对应. (5)只有符号不同的两个实数,叫做__.零的相反数是__;实数a与b互为相反数 a+b=__ (6)1除以一个不为零的数的商叫做这个     

两类无理数的简要判别法

<正>根式运算、对数运算是中学阶段的两种重要运算,在这两种运算之中会产生大量的无理数.通常的学生只知道"无限不循环的数叫无理数",但这个评价无理数的方式太过抽象,对于形如5(1/2),lg 5,39(1/2)的无理数,如何科学准确地判断,值得探讨.针对根式和对数的运算结果,笔者提出若干判断它们是否为无理数的初等方法.一、引理与定义引理任一大于1的整数a能够唯一地     

识别无理数的简便方法

书本上是这样给无理数下定义的:像2~(1/2)=1.41421356…,-7~(1/2) =-2.64575131…,2~(1/3)=1.2599210…,π等,这些数的小数位数都是无限的,而且是不循环的.这样的小数叫做无限不循环小数,又叫无理数.可     

难题征解

34.在射线AC、BC上分别有n个点D_i,E_i,且(D_iA)/(EiB)=k,(k为正常数,i=1,2,…,n),若Fi是AD_iE_iF_i的顶点,则n个点F_i共线。 (浙江省瑞安市叶挺彪提供) 35.设k为无理数,b为实数,试证明或否定下列论断:对于任意给定实数ε>0,都有一个整点Q(即纵、横坐标都是整数的点),使得点Q到直线y=kx+b的距离大于0,但小于ε。 (河南吴伟朝提供) 36.一个接一个地写出2~(n-1)个不同的数列,它们的长度都是n,且皆由0和1组成。巳知对于这些数列中的任意3列,都可以找出这样的数p,使得在它们的第p项上数字皆为1.证明存在数k,使得在所     

如何在数轴上找表示无理数的点

同学们都知道如何在数轴上找表示2~(1/2)的点．即以单位长1为边长,原点为一个顶点,在数轴上作正方形(如图1),因为然后以对角线OB为半径,原点为圆心作弧,交数轴正方向上的点A,则点A表示无理数 2~(1/2).     

实数与代数式归类复习

一、实数的概念与运算 (2)减法法则摇减去一个数,等于加上这个数的 (一)知识要点 郾 1郾 实数的概念 (3 )乘法法则摇两数相乘,同号得 ,异号得 (1 ) 和 统称有理数郾 ,并把相乘.任何数同零相乘,都得 郾 (2 )无限 叫做无理数郾 (4)除法法则 摇除以一个数,等于乘以这个数的 (3 )有理数和无理数统称 郾 郾 不能作除数郾 (4 )规定了、 、 的直线叫(5 )运算定律做数轴郾 实数与数轴上的点的关系是 …