两道2009年数列不等式高考题的巧解与推广

例1（2009年高考山东卷·理20）等比数列{an）的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N^＊,点（n,Sn）均在函数y=b^x＋r（b〉0且b≠1,b,r均为常数）的图象上．     

对一道高考不等式的加强

09年山东高考理科数学的第20题如下： 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N,点（n,Sn）均在函数y=bn＋r（b〉0且b≠1,b,r均为常数）的图像上．     

简朴中显特色 探究中见彩虹——2009年高考数学山东卷理科第20题第（Ⅱ）问解法探究

题目（2009年高考数学山东卷理科第20题）等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N^＊,点（n,Sn）均在函数y=b^x＋r（b〉0且6≠1,b、r均为常数）的图象上．     

两道数列不等式高考题的解法探究

例题1(%2009年山东理科卷)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+(rb>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.     

对一道山东高考试题的研究

<正>题目:(2009年高考山东理科第20题)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N+),证明:对任     

2009年一道高考数学题的多解问题解析

山东省2009年高考数学试题数列与不等式的解答题为:等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的nEN+,点(n,Sn)均在函数y=b+r(b＞0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(㏒2an+1)(n∈N+),证明:对任意的n∈N+,不等式b1+1/b1·b2+1/b2……bn+1/bn＞√n+1成立.     

对一类特殊数列求和问题的探究

等差数列的前n项和Sn是关于n的过原点的二次函数,其标准形式为S n=An^2＋Bn（A、B∈R）,等比数列的前n项和的标准形式为S n=A-Aq^n（A∈R）.对于形如（an＋b）·q^n（a、b∈R,q≠1）的数列,其前n项和的标准形式为Sn=A＋q^n（Bn-A）.     

浅谈函数与方程思想在等差数列中的运用

我们知道,{αn}是等差数列时,αn=α1＋（n-1）d,Sn=nα1＋n（n-1）/2d（Sn=αn^2＋bn,Sn/n=αn＋b（a≠0））.当a≠0时,世,Sn/n是n的一次函数,S是n的二次函数,且不含常数项（n∈N^＋）．     

利用数学归纳法证明不等式的两种技法之比较

<正>利用数学归纳法证明不等式的关键是数学归纳法的第二步,而解决这一步的方法有放缩法与分析法。下面通过一道高考数学题的解答来说明这两种方法的运用。例题等比数列{a_n}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N_+,点(n,Sn)均在函数y=b^x+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上。(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log_2a_n+1)(n∈N+),证明:对任意的n∈N_+,不等式     

中学数列求和探微

一、利用公式法求和 若数列的通项公式是an＋b（a，b为常数）的形式，则说明数列是等差数列，可直接用等差数列求和公式Sn=n（a1＋an）/2或Sn=na1＋n（n-1）/2d进行计算。     

等差数列的等价形式

若数列{an}的前n项的和为Sn,则下列描述相互等价： （1）{an}是等差数列;（2）an=an＋b; （3）Sn=pn^2＋qn．     

探究多米诺骨牌效应的背后

已知函数f（x）=x^2＋ax＋b的零点与函数g（x）=2x^2＋4x-30的零点相同.数列{an},{bn}定义为：a1=1/2,2an＋1=f（an）＋15,bn=1/2＋an（n∈N°）.（1）求实数a,b的值;（2）若将数列{bn}的前n项和与前n项积分别记为Sn,Tn证明：对任意正整数n,2^n＋1Tn＋Sn为定值;     

用函数观点认识数列

数列是一种特殊的函数,其通项an=f（n）是这一函数的解析式,前n项和Sn也是关于n的函数．等差数列通项公式an=a1＋（n-1）d（d≠0）为n的一次函数,即an=an＋b,前n项和为n的二次函数,即Sn=An^2＋Bn;等比数列通项公式an=a1q^（n-1）,     

一道高考数学题的另一种解法

<正>【2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷,理科数学)第20题】等比数列{a n}的前n项和为S n,已知对任意的n∈N+,点(n,S n)均在函数y=b x+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记b n=2(log2a n+1)(n∈N+),     

一类数列的前n项和公式及其应用

众所周知,自然数列的通项为an=n（n∈N＋）,其前n项和为Sn=1/2n（n＋1）①,本文给出①的一般情形,即 命题1 设数列{n（n＋1）（n＋2）…（n＋k-1）}（n,k∈N＋且n≥k）的前n项和为Sn,则     

三项式展开题的一种求解方法

二项式（a＋b）“展开式中的通项为Cn^ra^n-rb^r（r=0，1，2，…,n）。它可以这样得到：n个括号（a＋b）中的任意r个括号中都取b，剩下的n-r个括号中都取a，相乘得Cn^rb^r&;#183;Cn-6^n-ra^n-r,即为Cn^ra^n-rb^r。根据这一多项式相乘的组合方法，我们容易解决一类三项式展开式中的项与系数问题。下面举例说明。     

殊途同归——等差数列一个典型性质的证明

定理 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n（m≠n）,则Sm＋n=（m＋n）． 预备定理：（1）在等差数列{an}中,若m＋n=p＋q←→am＋an=ap＋aq;     

一个整除性问题

设p是奇素数，r=（p-1）／2．又设ai（i=1，2，…，n）是与p互素的整数，b=（a1＇-a2’）（a2＇-a3＇）…（an＇-a1＇）．证明了：当n是奇数时，必有b=1（mod p）；当n是偶数时，存在ai（u=1，2，…，n）可使b≠0（mod p）．     

利用三点共线巧解等差数列问题

我们知道，等差数列{an]通项公式为：an=a1＋（n-1）d=dn＋（a1-d），前n项和公式为：Sn=na1＋n（n-1）/2d=d/2n^2＋（a1-d/2）n，因而Sn/n=d/2n＋（a1-d/2）。由解析几何知识可知，点（n,an）在斜率为d的直线上，点（n,Sn/n）都在斜率为d/2的直线上，利用好这一结论就能给解题带来极大的方便。     

用待定系数法解数列题

一、求等差数列的通项公式例１是否存在这样的等差数列狖an狚，它的首项为１，公差不为零，它的前３n项中，前n项的和与后２n项的和的比对任意自然数n都等于常数λ？若存在，求出数列狖an狚的通项公式及常数λ；若不存在，说明理由．解设存在这样的等差数列狖an狚，它的公差为d，前n项的和为Sn，则它的前３n项中的后２n项的和为S３n－Sn．记SnS３n－Sn＝λ（λ为常数），将其变形得（λ＋１）Sn＝λS３n．（１）将Sn＝n２犤２＋（n－１）d犦和S３n＝３n２犤２＋（３n－１）d犦代入（１），化简整理得d（１－８λ）n＋２－４λ＋（２λ－…