两类创新导数题的思考

创新类型1：隔离直线 已知函数．f（x）和g（x）,若存在常数k和b,使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx＋b和g（x）≤bx＋b,则称直线l：y=kx＋b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．     

揭开复合函数的面纱——谈复合函数的基本性质

一、有关概念 如果y是u的函数,而u又是x的函数,即y=f（u）,u=g（x）,x∈A．那么函数y=f（g（x））,x∈A,叫做f和g的复合函数．其中u叫做中间变量．函数y=f（g（x））是二层复合函数,同样可以定义三层复合函数y=fg（h（x）））和多层复合函数等．我们主要谈二层复合函数,其中,u=g（x）称为内层函数,y=f（u）称为外层函数．     

江苏卷第19（2）题

题目 已知a,b是实数,函数f（x）=x^3＋ax,g（x）=x^2＋bx,f＇（x）和g’（x）是f（x）和g（x）的导函数,若f＇（x）g’（x）≥0在区间I上恒成立,则称f（z）和g（x）在区间I上单调性一致．     

f′（-′x）究竟表示什么

1．引例 f（x）和9（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，＋∞）的可导奇函数和偶函数，当x〈0时，f′（x）9（x）＋f（x）g’（x）〉0，且g（-3）=0，解不等式f（x）g（x）〈0．     

函数、数列和不等式

1 知识要点 （1）函数 （2）数列 （3）不等式 2 高考链接 例1 （2007年高考数学全国卷工理科第9题）f（x）、g（x）是定义在R上的函数,h（x）=f（x）＋g（x）,则“f（x）、g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（ ）．     

2014年新课标高考数学试题理科21题解法研究

题目设函数f（x）=e^x-e^-x-2x． （1）讨论f（x）的单调性; （2）g（x）=f（2x）-4bf（x）,当x〉0,g（x）〉0时,求b的最大值．     

江苏卷第21题的别解

21题 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实根且f（x）=0的实根都是g（f（x））=0的实根；反之，g（f（x））=0的实根都是f（x）=0的实根．[第一段]     

一个错误命题与一类问题简解

文[1]给出了一个命题,并利用该命题简解了一类问题：“对Vx≥0,f（x）≥g（x）或f（x）≤g（x）恒成立,其中f（x）含参数a,试确定参数。的取值范围．”简解程序是：对Vx≥0,只要对f（x）≥g（x）或f（x）≤g（x）两边取导数,再从f′（x）≥g′（x）或f′（x）≤g′（x）中分离出参数a,转化为恒成立问题．该简解的确要比高考命题组提供的解答简单的多,然而笔者发现文[1]的那个命题是错误的,奇怪的是用该假命题解答文[1]的5道例题,结果居然全部正确,那是什么原因呢？本文先做一剖析,再给出这类问题的一个有别于高考解答的解法．     

从一道错解题谈函数的定义域

问题：已知函数f（x）＝2＋log2x，x[1，9]，求函数g（x）=[f（x）]2＋f（x2）的最大值和最小值．当t=0时，即x=1，函数g（x）有最小值6；当t=3时，即x=9，函数g（x）有最大值33．上题的解法是1999年出版的一本资料上给出的．此题我又作为函数一章的测试题给学生做，结果表明约80见的学生与上面解法相同．上面的解答是错误的，它犯了偷换概念的错误，忽视了函数f（x）与g（x）中相同字母变量X的意义是不同的．g（x）是由函数f（x）与x2复合和运算而的，由于f（x）的定义域为[1，9]，所以g（x）定义域应由条件决定，即g（x）的定义域为[1，3…     

对2008年浙江省数学高考理科试题第21题的评析

题目 已知a是实数，函数f（x）=√x（x—a）． （1）求函数f（x）的单调区间． （2）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值 ①写出g（a）的表达式； ②求n的取值范围，使得-6≤g（0）≤-2．     

几类无理函数最值问题的几何解法

函数的最值问题是一类很重要的题型,它涉猎的知识面非常广泛且处理方法也灵活多变．尤其是对于x的无理函数y=√f（x）＋√g（x）这种类型的最值问题,学生们往往因它们的形式的千变万化而感到束手无策,无从下手．针对这种情况本人通过几个教学实例来分别介绍．f（x）与g（x）在不同情形下的一些几何解法：     

解析式求法十例

1．直接代入 侈01已知f（x）=2x-1,g（x）=1/1＋x^2,求f[g（x）]和g[f（x）＋2].     

巧构函数求最值

在求函数f（x）＝f１（x）＋f２（x）的最值时，如果f１（x）与f２（x）的单调性不一致，就难以直接应用函数的单调性求解，这时我们可以构造一个与f（x）相关且单调性容易确定的函数g（x），利用函数的单调性求出g（x）的最值，再求f（x）的最值．例１求函数f（x）＝x２＋１√－x（x≥０）的最大值．解析因x２＋１√与－x在犤０，＋∞）上的单调性不一致，故f（x）的单调性不易观察，此时可将f（x）进行分子有理化，变形为f（x）＝１x２＋１√＋x．易知：g（x）＝x２＋１√＋x在犤０，＋∞）上单调递增，∴犤g（x）犦min＝g（０）＝１，∴…     

如何运用待定系数法解题

一、用待定系数法求函数的解析式 例1已知函数f（x）=ax^3＋x^2＋bx（其中常数a,b∈R）,g（x）=f（x）＋f’（x）是奇函数,求f（x）的表达式．     

函数解新式的求法探究

求函数解析式是高考的常考题型,特别是已知f[g（x）]或g[f（x）]求f（x）或g（x）,或已知f（x）或g（x）求／f[g（x）]或g[f（x）]等求解析式的问题,同学们在解决这些问题时感到比较棘手,本文对此举例探究、     

“新概念”数学

1接近函数 定义 对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f（x）与g（x）,若对任意x∈[m,n]均有｜f（x）-g（x）｜≤1,则称以f（x）与g（x）在[m,n]上是接近的,否则称f（x）与g（x）在[m,n]上是非接近的．     

几类无理函数的最值求法

函数的最值问题是一类很重要的题型,涉及的知识面很广,其处理方法也灵活多变,尤其是对于z的无理函数y=√f（x）＋√g（x）这种类型的最值问题,学生往往因它们的形式的千变万化而感到束手无策,无从下手．下面就这一点举些例子分别介绍其f（x）与g（z）在不同情形下的一些几何解法．     

例谈运用函数的奇偶性解题

一、求周期 例1 已知定义在R上的奇函数f（x）,g（x）=f（x＋1）为偶函数,且g（2）=-2007,求f（2007）的值．     

习题讲评后的几点做法

考题：已知函数f（x）=lnx,g（x）=x．（I）若x〉1，试判断y=f（x）与y=2g（x-1/x＋1）与的大小关系．     

f（x）（x∈A）的值域为[m，M]与m≤f（x）≤M对x∈A恒成立不等价——剖析一道全国高考题的别解

（2008年全国高考全国卷Ⅱ文21） 设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值; （2）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围．