值域问题与圆锥曲线

1．转化为椭圆 例1 实数x,y满足1≤x^2＋y^2≤2,则2x^2＋3xy＋2y^2的值域为____.     

一题多解与一题多变

题目 实数x,y满足 2x^2＋4xy＋2y^2＋x^2y^2≤20, 则2√2（x＋y）＋xy的取值范围是____.     

不等式x^2＋y^2≥2xy的一个推广不等式

不等式x^2＋y^2≥2xy是一个二元对称不等式,本文从二元对称方面推广这个不等式,得到不等式x^2＋y^2≥2xy的推广不等式：x^m-by^m＋b＋x^m＋by^m-b≥x^m-ay^m＋a＋x^m＋ay^m-a（x,y∈R^＋,0≤a≤b,m∈R）.     

一道问题征解引发的两个重要不等式及若干推广

《中学数学教学》2010年第1期有一道问题征解：已知x、y、z〉0且x＋y＋z=1,求证：1/2≤ln（x^3＋y^3＋z^3）/ln（x^5＋y^5＋z^5）〈3/5.     

一道题目的错解分析

题目 已知P（x,y）是椭圆x^2/4＋y^2/9=1上的点,则2x—y的取值范围是___. 错解：因为P（x,y）是椭圆x^2/4＋y^2/9=1上的点,所以-2≤x≤2,-3≤y≤3,所以-4≤2x≤4,-3≤-y≤3,所以-7≤2x—y≤7．     

一个数学问题的简证

问题 对任意非负实数x,Y,z,证明：2/3（x＋y＋z）^2≤√（x^2＋y^2）（y^2＋z^2）＋√（y^2＋z^2）（z^2＋x^2）＋√（z^2＋x^2）（x^2＋y^2）.     

一道2009年Serbia国家集训队试题的推广

下面是2009年Serbia国家集训队试题的一道不等式试题：已知x,y,z〉0,且xy＋yz＋zx=x＋y＋z,证明：1/x^2＋y＋1＋1/y^2＋z＋1＋1/x^2＋x＋1≤1.     

整式的加减算理分析

例题 计算：3（2x^2-4y^2）-2（4x^2-5y^2） 解：原式=6x^2—12y^2-8x^2＋10y^2 ① =6x^2-8x^2-12y^2＋10y^2 ② =（6x^2-8x^2）-（12y^2-10y^2） ③ =（6—8）x^2-（12—10）y^2 ④ =-2x^2-2y^2。 ⑤ 算理分析： ①应用了去括号法则,实际上就是乘法的分配律; ②应用了加法交换律; ③应用了加法结合律; ④合并同类项; ⑤应用了有理数的加法法则．     

用距离说话

教材中有个很有启发性的探究性问题：点M0（x0,y0）在圆x^2＋y^2=r^2内的条件是什么？在圆x^2＋y^2=r^2外呢？     

用距离说话——从一道屡做屡错的小题谈起

教材中有个很有启发性的探究性问题：点M0（x0,y0）在圆x^2＋y^2=r^2内的条件是什么？在圆x^2＋y^2=r^2外呢？     

“果圆”的性质初探

2007年上海市秋季高考数学试卷中定义了如下的“果圆”概念： 定义1 半椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（x≥0）与半椭圆y^2/b^2/x^2/c^2=1（x≤0）组成的曲线称为“果圆”，其中a^2=b^2＋c^2,a〉0,b〉c〉0.     

一个猜想的证明及推广

文[1]由不等式：若0≤x，y，x1，y1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，则L2=√x^2＋y^2＋√x^2＋y1^2＋√x1^2＋y1^2≤2＋√2（1），猜想不等式：若0≤x，y，z，x1，y1，z1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，z＋z1=1.[第一段]     

多视角解答一道高考最值题

高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x^2＋y^2＋xy=1,则2x＋y的最大值是______, 难度系数0.78 利用重要不等式求最大值 解法1∵1=4x^2＋y^2＋xy≥2·2xy＋xy=5xy,∴xy≤1/5.     

一类高次Diophantine方程的求解

目的研究Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解问题.方法初等方法.结果设n是正整数,m=2^n,证明了当n〉1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）没有非零整数解（x,y）.指出当n=1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）是关于x,y的恒等式.结论彻底解决了Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解的问题.     

例谈因式分解三次九项式

本文给出如下三次九项式a1x^3＋a2x^2y＋a^3xy^2＋a4y^3＋a5x^2＋a6y^2＋a7x＋a8y＋a9因式分解一种有效的方法——局部待定系数法．其主要步骤如下：     

也谈对一道常见题的思考

文[1]对以下常见问题： 已知x^3＋y^3=2,且x,y∈R＋,求证x＋y≤2．分别给出了两种反证法与直接证法,同时给出了它的推广．     

从一道2013年北京大学“百年数学”体验营试题说起

问题（2013年北京大学“百年数学”科学体验营试题）已知x,y,z∈R^＋,X＋y＋z=3,求证： -x/x^3＋y^2＋z＋y/y^3＋z^2＋x＋z/z^3＋x^2＋y≤1. 最近笔者在教学中有幸与学生接触到上述问题,应该说该问题难度较大但是解法众多,笔者在此给出一种柯西不等式观点下的解法,希望对读者有所帮助．     

一道“希望杯”培训题的解法及推广

第20届希望杯高二培训题第76题：已知正数z,y,z满足{x^2＋y^2=36,x^2＋xz＋z^2=64,y^2＋√3yz＋z^2=100,求yz＋√3xz＋2xy的值。     

两条圆锥曲线的一种相互转化方法

引例（2012年高考辽宁卷）如图,椭圆C0：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0,a、b为常数）,动圆C1：x^2＋y^2=t1^2,     

关于圆x2+y2≤R2的格林函数

本文讨论了圆x^2＋y^2≤R^2的格林函数，并由此导出了圆的狄利克雷内问题的泊松公式。