赛题再探

分析《数理天地》2012年第一期刊登了本题的两种解法,方法巧妙,实用性强,笔者在拜读过程注意到该题的特别结构,类似于等差数列,以此人手,引入“公差”,此类问题即可轻松解决．     

两道赛题的统一加强

2004年美国数学奥林匹克题5是:设a,b,c为正实数,证明(a~5-a~2 3)·(b~5-b~2 3)(c~5-c~2 3)≥(a b c)~3.(1)为了证明(1)式,其标准答案将其加强为(a~3 2)(b~3 2)(c~3十2)≥(a b c)~3.(2)由(2)式左边的结构,联想到2004年亚太地区数学奥林匹克题5:     

再究赛题

题目如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连结AC与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

构造函数解赛题

1．构造一次函数 例1 设x,y,z∈（0,1）,求证： x（1-y）＋y（1-z）＋z（1-x）〈1．     

构造函数解赛题

例1如果cos5θ-sin5θ〈7（sin3θ-cos3θ）,θ∈[0,2π）那么θ的取值范围是——．     

运动学赛题新解

例1在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、L2和L3,     

赛题推广

2013年浙江省高中数学竞赛试题第18题：     

赛题研究

题目如图1,⊙O1、⊙O2在⊙O内滚动且始终保持与⊙O内切,切点分别为P、Q,MN是⊙O1和⊙O2的外公切线．已知⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R．求证：MN2/PQ2为定值．     

一道几何赛题的另证

本刊2013年第4期“一道几何赛题的多种证法”一文运用几何构造给出了第（2）问的四种证法．这里再给出另外两种不同证法,供读者参考．     

与正方形有关的赛题四则

例5如图6,有长为24米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形鸡场．     

一道不等式赛题的多种证法

题目 设3/2≤x≤5,证明：不等式 2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.     

赛题简解

类似“已知函数f（x）的最值求参数值”这类题都可以转化为恒成立问题,但切记等号可取．     

用配方法解赛题

例1函数f（x,y）=x^2＋2xy＋3y^2-4x-8y＋3的最小值是——．（第9届希望杯高二培训题）     

赛题另解

题1 如图1,在⊙O的内接四边形ABCD中,对角线AC、BD互相垂直,弧(ADC)的中点为M,过M、O、D三点的圆与DA、DC分别交于点E、F.证明:BE=BF.[1]。     

赛题别解

题目Suppose real numbers x and ysatisfy 2x^2 - 2xy q- y^2 = 1, then the valuerange for a： q- 2y is（ ）（A） [- 5,5].     

构造一元二次办程解赛题

例1已知a,b,c∈R^＋,且满足abc（a＋b＋c）=1．     

四法证明河北赛题

以上的解法的运算量较大,容易出错．     

赛题的别证与推广

比较原证第一步来得突然,一般较难发现,并且这一证法似乎仅适用于本题,很难能在证明的过程中又有新的发现．而别证则显示出“通性通法”的特点,如综合思考原题及别证的全过程,容易发现原结论的一个推广．     

＂变式＂与赛题

已知x,y都是正数,则在不等式x＋y≥2√xy两边同乘以√xy,得（x＋y）√xy≥2xy,对此式两边再同除以2（x＋y）,即得到一个不等式xy/x＋y≤√xy/2,     

一道赛题中正方形边卡术法初探

例如图1,点P是正方形ABCD对角线AC上一点,连接BP,