一道几何题的若干变化

题目:如图1,已知在☉O中延长两弦AB、CD相交于圆外一点P,过P作PE∥AD与CB的延长线交于E点,过E点作☉O的切线ET,切点为T,求证:PE=ET.     

让图形动起来——对一道中考几何题的探究

题目(2005年包头市)如图1,☉O1与☉O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与☉O1交于点C,与☉O2交于点D。经过点B的直线EF与☉O1交于点E,与☉O2交于点F。(1)求证:CE∥DF; (2)在图1中,若CD和EF可以分别绕点A和点B转动,当点C与点E重合时(如图2),过点E作直线MN∥DF,试判断直线MN与☉O1的位置关系,并证明你的结论。     

采用套题复习平面几何

采用套题的方法进行平面几何总复习,可使基础知识的掌握与能力的提高有机的联系起来。一、由基本图形发展为复合图形的套题这是经常采用的类型,它是把简单的题目逐渐发展到较为复杂的综合题目。如 (1)已知:DE∥BC 求证:AD∶AB=DE∶BC (2)已知:DE∥BC 求证:DN∶BM=NE∶MC (3)已知:AD∥BC∥MN,MN过AC和BD的交点O。求证:OM=ON (4)已知:AD∥BC∥MN,MN交AC、BD于Q、P。求证:MP=NQ (5)已知:DE∥BC 求证:DN=NE,BM=MC (6)已知:AB为☉O直径,AD和BC切☉O于A、B,DC切☉O于E。EF⊥AB于F,交DB于P。求证:DB平分EF于P点。二、题设与结论互相转化的套题这类题目显示了题目的多样性和灵活性,能提     

2013罗马尼亚大师杯数学竞赛

第一天 1.任给正整数a,定义整数数列x1,x2,…,满足 x1=a,xn=2xn-1+1(n≥1). 若yn=2xn-1,试确定整数k的最大值,使得存在某个正整数(a)满足y1,y2,…,yk均为质数. 2.是否存在R→R上的函数对(g,h)满足如下性质:若对函数f:R→R使得对所有的x∈R,有 f(g(x))=g(f(x)), f(h(x))=h(f(x)),则f只能为恒同函数,即f(x)≡x? 3.已知四边形ABCD内接于☉O,直线AB与CD交于点P,AD与BC交于点Q,对角线AC与BD交于点R.若M是线段PQ的中点,K为线段MR与☉O的交点,证明:☉O与△KPQ的外接圆相切.     

一道课本习题的横纵联系

教材上的习题都是经过反复筛选后保留下来的。它们都有横纵两个方面的各种联系。在教学中,努力用好它们,无疑对巩固和深化双基都具有不可低估的作用。本文以几何二册第115页习题25第6题为例,试谈课本习题的横纵联系。习题 MN是☉O的切线,AB是☉O的直径。求证:点A、B—MN的距离的和等于☉O的直径。     

三角法证明几何题的点滴体会

所谓三角法,就是将几何问题转化为三角问题,运用三角函数的定义,三角恒等变换及正弦定理、余弦定理等来完成几何命题证明的方法。如何将几何问题转化为三角问题并运用三角知识来证明呢?让我们通过一些具体的例子来进行分析: 例1.已知AB为☉O的弦,过A、B分别引这圆的切线交于点C。P为☉O上任意一点,自P引AB、BC、CA的垂线,垂足依次为D、E、F。求证:PD~2=PE·PF。证明:连AP、BP,并设∠PAD=α,∠PBD=β     

由蝴蝶定理引发的思考

如图1,M是☉O的弦AB的中点,CD、EF是过M的两条弦,连结CF、DE分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.此即被誉为"欧氏几何中的奇葩"的蝴蝶定理.众多书刊介绍了它的各种证法以及推广,吸引着大批数学家和数学爱好者在闲暇之时对它进行研究.教学之余,笔者对它进行了一番思考,另辟蹊径,引出了几个意想不到的结论.     

第六届北方数学奥林匹克邀请赛

第一天一、(25分)已知数列{an}满足 a1=2,an=22nan-1+2n2n(n=2,3…).求通项an(n=1,2,…). (吴树勋供题) 二、(25分)已知PA、PB是☉O的切线,切点是分别是A、B、PCD是☉O的一条割线,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.     

关注基本图形 彰显数学素养

<正>一试题呈现（南京中考第24题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D,E在BC上，BD=CE．过A,D,E三点作☉O，连结AO并延长，交BC于点F.(1)求证AF⊥BC;(2)若AB=10,BC=12,BD=2，求☉O的半径长．     

二次函数问题中有关圆相切问题的研究

<正>二次函数与圆相切是中考数学试卷押中题中的主要题型,包括圆心在二次函数图象上的圆与坐标轴相切、以二次函数两点连接直线上动点为圆心的圆与坐标轴相切等,下面我们分析几道这样的问题．例1抛物线y=x2-5x+5上有一动点P,以P为圆心,1为半径作☉P,如果☉P与坐标轴相切,求圆心P的坐标．解析:此问题是典型的圆心在二次函数图象上的圆与坐标轴相切的情况,题目简单,但是经过分析发现,     

数学习题课“五步曲”

习题课是学生理解、掌握、巩固课本知识的有效手段,也是培养学生分析和解决问题的能力、提高学生解题技能技巧的重要途径.如何上好习题课?特别是初三毕业学期的复习习题课到底如何上才更科学、有效!结合自己上的一堂公开课“点、直线与圆的位置关系”,课例,谈谈自己的一些作法:“五步曲”第一步【课前小测导出基本目标】1.☉O的直径为10,圆心O到点A的距离为4,则     

例题与练习、习题联系之桥梁——图形运动

在“以本为本”成共识,“钻研教材”为时尚的今朝,深挖教材中例题与练习、习题之间的联系,是高效率复习课教学的途径之一.下面就九年义教材中一例题进行“图形运动”,看其与练习、习题之联系.例:如图1,☉O_1和☉O_2都经过 A、B 两点,经过点 A 的     

过非等腰锐角三角形顶点和垂心的圆的性质及应用(下)

(本讲适合高中) 1 知识介绍 设H为非等腰锐角△ABC的垂心,点H在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F;其外接圆记为☉0,M为边BC的中点,以BC为直径的圆记为☉M;直线MH与☉0交于点A1、A2(点M在A1与H之间);J为AH的中点,以AH为直径的圆记为☉J.     

莫忘“圆心是直径的中点”

<正>在与圆的有关计算和证明题中,经常会涉及到圆心.但是许多同学往往对圆心的认识和重视不够,很容易忽视"圆心是直径的中点"这一基本性质,导致解题陷入困境.下面列举两例.例1如图1,AB是☉O的直径,CD是弦,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,若AB=     

一道立体几何高考题的变式解析

原题(2006广东卷):如图1所示,AF、DE分别是☉O、☉O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是☉O的直径,AB=AC=6,OE∥AD.(I)求二面角B-AD-F的大小;(II)求直线BD与EF所成的角.D O1EzCOFGxBA图2本题是近几年高考立体几何考题中较有创意的一道考题.由平面几何简单图形构成立体几何体(组合体)是全新的问题设问情境,值得关注和期待.该题无论用传统综合法还是用空间向量法来求解,都能比较顺利地解决问题,解法自然,入口容易.在此,笔者对该题进行深入挖掘,研究其相关的一些变式问题,对同学们复习立体几何知识无疑是具有一定的借鉴作用.变式1求二面角E-AB-O的大小解析方法1我们知道,求二面角很重要的一种方法是利用三垂线定理,即先找到其中一个平面的一条垂线,然后作相关辅助线,如图2所示.如本题,我们可以过E点作EG⊥AB(其实G是AB的中点,为什么?),连接O、G,则∠EGO就是所要求的二面角E-AB-O;接下来只要到Rt△EGO中求出∠EGO的大小为arccos3s73.这是很多同学会采用的一种方法.方法2因为OE∥AD,所以OE与圆O所在的平面垂直,则△EAB在底...     

证明直线与圆相切的两种方法

证明直线与圆相切主要有以下两种方法: 一、根据切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知直线与圆有公共点时,常用此法．辅助线是连结公共点和圆心,只要设法证明直线与半径垂直即可．例1 (2004年江苏省淮安市中考题)已知:如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD 交△ABC的外接圆☉O于点     

一道课本例题的演变

人教版几何第三册 72页有这样一道例题 :如图 1 ,点O是∠EPF的平分线上的一点 ,以点O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D .求证 :AB =CD .证明　分别作OM ⊥AB ,ON⊥CD ,M、N为垂足 ,∴∠MPO =∠NPO ,∴OM =ON ,∴AB =CD .在这个例题中 ,如果把点P看作是运动的点 ,它与圆的位置关系就有三种 :①点P在圆外 ;②点P在圆上 ;③点P在圆内 .因此就可以得到这样一个题目 :点P与⊙O的位置关系有三种 :如图 2、3、4所示 .图中PC经过圆心 ,且∠APC =∠BPC .求证 :PA =PB .分析　本题中的三种位置关系体现了运动变化的观…     

勾画“隐圆” 破解最值

<正>1几个结论1.如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.2.如图2,P是⊙O内的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.3.如图3,当点P在圆上时,直线PO交⊙O于点     

问题点评教学案例

在学习《直线和圆的方程》一章内容时,学生作业中有这样一道习题:“已知直线l:2x-ay-3=0,☉E:(x-2)~2+y~2=1(E为圆心),直线l与☉E交于相异两点M,N,求△MEN面积的最大值”。此题     

举一反三 触类旁通———由2005年全国高考(江苏卷)第19题引发的思考

考题:如图1,圆O1和圆O1的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2PN,试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.评析:本题是求由一动点出发的两条线段长之比为一定值的点的轨迹.通过这两条线段的形成和比值的变化可引发下列思考:思考一:若将题中的PM:PN=2改变为PM:PN=λ(λ>0),其他条件不变,则P点的轨迹又将是什么?分析:以O1O2所在直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设P点坐标为(x,y),易得P点的轨迹方程为:(1-λ2)x2+(4+4λ2)x+(1-λ2)y2+3-3λ2=0.当λ=1时,P点的…