一道课本例题的“说题设计”

题目:人教版数学九年级下册课本第9页例3. [例3]画出函数y=-1/2(x+)2-1的图像,指出它的开口方向、对称轴及顶点.怎样移动抛物线y=-1/2x2就可以得到抛物线y=-1/2(x+1)2-1? 下面我将从审题分析、解题过程、总结提升、评价分析这四个方面逐一说明. 一、审题分析 (一)题目背景 1.题材背景:本题出自人教版数学九年级下册"26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像"第3课时的例3. 2.知识背景:本例题涉及的知识点有:①描点法画函数图像的步骤;②二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的图像、性质及图像间的相互关系.     

探求函数的奇偶性、对称性、周期性三者关系

背景资料　 2 0 0 1年全国卷高考试题 (第 2 2题 ) :设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,其图象关于直线x=1对称 ,对任意x1,x2 ∈ [0 ,12 ]都有 f(x1+x2 ) =f(x1)·f(x2 ) ,且 f( 1 ) =a >0 .( 1 )求 f( 12 )及f( 14) ;( 2 )证明f(x)是周期函数 ;( 3 )记an=f( 2n +12n) ,求limn→∞(lnan) .探求设想　对上面资料中的部分条件和结论删除 ,把其内容分成三个部分 :①f(x)是定义在R上的偶函数 ;②f(x)图象关于直线x =1对称 ;③ f(x)是以T =2为一个周期的周期函数 .我们可以这样设想 :把上面任两个条件组合能否推得第三个条件成立 ?显然由①② ③就…     

过抛物线上两点的直线方程及其应用

命题　若一直线与抛物线 C:y2 =2 px(p>0 )相交于 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )两点 ,则直线 AB的方程为 :2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 .证明　∵点 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )在抛物线 C:y2 =2 px上 ,∴ y21 =2 px1 ,y22 =2 px2 .作差得 :y21 - y22 =2 p(x1 - x2 ) ,当 x1 ≠ x2 时 ,k A B=y1 - y2x1 - x2 =2 py1 y2 ,∴直线 AB的方程为 :y- y1 =2 py1 y2(x- x1 ) ,即 2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 . 1当 x1 =x2 时 ,直线 AB为 :x=x1 ,此时y2 =- y1 ,故 1仍成立 .综上 ,命题成立 .特别地 :若 A(x1 ,y1 )与 B(x2 ,y2 )重合 ,即可得到过点 A…     

对一个定理的修正与推广

背景:在《数学教学通讯》2000年第七期求一类无理函数最值的新方法中有这么一个定理:若x1,x2,y1,y2∈R,则有x21 y12 x22 y22≥(x1 x2)2 (y1 y2)2(“=”当且仅当yx11=yx22取得)此定理不妥.“=”当且仅当yx11=xy22时取得是错误的,因为当且仅当为充要条件,即有yx11=x2y2x21 y12 x2     

利用f^—[f（x）]=x解决反函数问题

若函数 y=f ( x)存在反函数 y=f-1( x) ,则对于定义域中的任何一个 x都有 f-1[f( x) ]=x成立 .同样 f[f-1( x) ]=x也成立 .这种性质在处理反函数的有关问题中有着很多应用 .1　求值例 1、方程 log2 x x=3的根为 x1,方程 2 x x=3的根为 x2 ,求 x1 x2 的值 .分析 :直接求解比较困难 .由题可知 ,其中 y=log2 x 与y =2 x 互为反函数 ,利用反函数性质来处理 ,令 f ( x) =log2 x,则 f-1( x) =2 x.解 :f( x1) =3 -x1,1 f-1( x2 ) =3 -x2 2由 2两边同取 f ,得 f ( 3 -x2 ) =x2 .3另一方面 y=f ( x)是单调递增的 .比较 1 3当 x1>3 -x2 ,即 x1 x2 >3时…     

深“挖”概念 促进理解——以函数一章为例浅谈数学概念教与学

一、问题的产生与解决1.背景高一第一学期第一次月考数学试卷中的两道题:15.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,4],则函数y=f(2x-1)的定义域为____.18.已知f(x)是定义域在R上的奇函数,当x> 0时,f(x)=x 3+x+1,求f(x)的解析式.经统计,这两道题全年级的正答率分别为21.7%和35%。     

一道习题的解法及推广

题目:已知x1是方程x lgx=10的根,x2是方程x 10x=10的根,则x1 x2的值为().A.8B.10C.11D.12解法一:图像法.如右图,作出y=lgx,y=10x,y=10-x的图像,由对称性易知x1 x22=5,则x1 x2=10,选B.解法二:估值法.y10y=10xy=xy=lgxxy=10-x01x25x1101设(fx)=x 1gx,g(x)=x 10x,它们在各自的定义域内都是增函数.因为f(9)=9 lg9<10,(f10)=10 lg10=11>10,所以(f9)<(fx1)<(f10),910,则g(0)相似文献   

抛物线动弦的一个“动人”性质

抛物线有很多的性质 ,下面通过一组例题及其变题 ,来揭示抛物线动弦的“动人”性质 .例 1　直线 y =x -2与抛物线 y2 =2 x相交于点 A、B,求证 :OA⊥ OB.图 1解 :设点 A( x1 ,y1 ) ,点 B( x2 ,y2 )由 y =x -2y2 =2 x消去 y得 x2 -4 x +4 = 2 xx2 -6x +4 =0x1 +x2 =6,x1 x2= 4所以 y1 y2 =( x1 -2 ) ( x2 -2 ) =x1 x2 -2 ( x1 +x2 ) +4 =4-12 +4 =-4所以 k OA =y1 x1,k OB =y2x2所以 k OA .k OB =y1 x1.y2x2=-44=-1所以 OA⊥ OB.变题 1　设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 )在抛物线y2 =2 px ( p >0 )上 ,OA⊥ OB ( O为原点 )( 1)求证 :y1…     

经济数学基础期末复习指导

第 1章　函数1　例题解析例 1:设 f(x) =x +1,则 f(f(x) +1) =(　　 ) .　A x　　　　　　B x+1　C x+2 D x+3解 :由于 f(x) =x+1,得　　　　f(f(x) +1) =(f(x) +1) +1=f(x) +2将 f(x) =x+1代入 ,得　　　　f(f(x) +1) =(x+1) +2 =x+3例 2 :下列函数中 ,(　　 )不是基本初等函数 .　A y=(1e) x　　　　　B y=lnx2　C y=sinxcosx D y=3x5解 :因为y=lnx2 是由y=lnu ,u =x2 复合组成的 ,所以它不是基本初等函数 .例 3:设函数 f(x) =cosx ,x ≤ 00 ,x >0 ,则 (　　 ) .　A f(- π4 ) =f(π4 )　B f(0 ) =f(2π)　C f(0 ) =f(- 2π)　D f(π…     

闭区间上琴生不等式的拓展

琴生不等式是:若f(x)是区间L上的凸函数,ai∈L ,i=1 ,…,n ,则 ni=1f(ai)≤nf( 1n ni=1ai) .我们还有(以下把 ni=1记作 )定理　设f(x)是闭区间[a ,b]上的凸函数,ai∈[a ,b],i=1 ,…,n ,则f(ai)≥kf(b) (n -k -1 ) f(a) f(c) .①其中　k = ai-nab-a ,c= ai-kb -(n -k -1 )a .证明:任取x1、x2 ,使a 相似文献   

一元二次方程的两个性质及其应用

一元二次方程是初中数学学习的重点.本文给出一元二次方程的两个性质,并举例说明其应用,供同学们学习参考.一、性质性质1:在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中,若a+b+c=0,则x1=1,x2=ca. 证明:由a+b+c=0,得b=-a-c.将其代入原方程,得ax2+(-a-c)x+c=0,即(x-1)(ax-c)=0.因此,x1=1,x2=ca. 下面是一个类似的性质:性质2:在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中,若b=a+c,则x1=-1,x2=-ca.(证明略)二、应用举例例1解下列方程:(1)8x2+15x-23=0;(2)5x2+11x+6=0. 解:(1)∵8+15-23=0,∴x1=1,x2=-238.(2)∵11=5+6,∴x1=-1,x2=-6…     

与方程有关的阅读理解题归类点拨

阅读理解能力是初中数学课程追求的重要目标之一.本文特选了几例与方程有关的阅读理解题,供参考.一、阅读解题过程,总结思想方法例1阅读下面的材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2.原方程化为y2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x=±2;当y=4时,x2-1=4,∴x=±5.∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5.解答问题:(1)填空:在由方程得到①y2-5y+4=0的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想.(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,若设y=x2-x,则原方程可化为.解(1)换元:转化;(2)y2…     

一类对称不等式的导数证明

问题:(陕西省2007年高三教学质量检测题)(I)已知0相似文献   

一个指数函数不等式 五道高考数学压轴题

正2013年高考已落下帷幕,笔者于教学之余欣赏各地的数学试题,发现许多压轴试题的背景与不等式e 1x≥x+(或ln(1+x)x)有关,如能运用这个不等式,能有效解决这类问题.下面和大家一起欣赏由不等式e 1x≥x+为背景,命制的五道高考压轴题.例1(2013年高考新课标Ⅱ卷·理22)已知函数()e ln()x f x=-x+m,(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)0.分析(Ι)1()e x f x x m′=-+,f′(0)=0,m=1;1()e1x f x x′=-+∵,当x0时,     

解方程病例剖析

1.忽视方程的同解 例1 解方程:(x-1)(x-2)=x-1. 错解:两边除以(x-1),得 x-2=1,x=3. 评注:忽视了方程的同解,方程两边除以(x-1)就可能导致丢根x=1.为此,把原式整理成(x-1)(x-2-1)=0. ∴x_1=1,x_2=3为所求. 例2 解方程:(x a)/(x-b) (x b)/(x-a)=2. 错解:两边同乘以(x-b)(x-a),有 (x a)(x-a) (x b)(x-b) =2(x-a)(x-b), 即2(x-a)x=(a b)~2. ∴当a b≠0时,x=(a b)/2.     

第二部分 热点题型习题精练

探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k　即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6.　∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴…     

一道课本习题的变式与引申

新教材(试验修订本·必修)第一册(上)P107-3: 证明:(1)若f(x)=ax b,则f((x1 x2)/2)=f(x1) f(x2)/2;(2)若f(x)=x2=ax=b,则f((x1 x2)/2)≤f(x1) f(x2)/2.(1) 该题实际上揭示了函数的一条重要性质——凹凸性.函数的凹凸性是高等数学的研究内容,但对于一些基本函数的凹凸性也可以采用初等方法研究,因而成为高等数学与初等数学的结合点.多年来,以函数凹凸性为背景的试题在高考试卷中多次出现,题型新颖,区分度好,具有较好的选拔功能.     

从探究y=1/f(x)型函数的值域谈起

1.问题提出的背景很多与《全日制普通高级中学教科书(必修·第一册(上)》配套的资料上,都有这样一类题目:求函数y=1/x2-6x 1的值域. 大多数学生是这样回答的:因为x2-6x 1=(x-3)2-8≥-8, 所以1/x2-6x 1 ≤-1/8,即原函数的值域是{y|y≤-1/8}. 类似的错误经过反复讲评、订正,但收效甚微.于是决定以"探讨y=1/f(x)型函数的值域"为课题上一堂专题课.     

数列求和六法

一、反序相加法例1已知f(x)=4x4 x2,求f(1101) f(1021) … f(110010)的和.解设x y=1,则有f(x) f(y)=44x x2 44y y2=44x x2 41-x41-x 2=1.令S=f(1011) f(1021) … f(110010),则S=f(110010) … f(1021) f(1011).上述两式对应相加,得2S=1 1 … !#"#$1100个=100.∴S=50.二、错位相减法例2求和:Sn=1 3x 5x2 7x3 … (2n-1)xn-1.解当x=0时,Sn=1.当x=1时,Sn=1 3 5 7 … (2n-1)=n2.当x≠0且x≠1时,等式两边同时乘以x,得xSn=1·x 3x2 5x3 7x4 … (2n-1)xn.原式与上式作差,得(1-x)Sn=1 2x 2x2 2x3 2x4 … 2xn-1-(2n-1)xn.再利用等比数列的求和公式,…     

初三年级数学期末试题

一、选择题 (每题 4分 )1 .已知 :a + 2bb =23,那么 ab =(　　 )　　 (A) -43　 (B) 43　 (C) -34 　 (D) 342 .化简 :8ab2 (b <0 )的结果是 (　　 )　　 (A)b 8a　　　 (B) 2b 2a　　 (C) -b 8a (D) -2b 2a3.方程x+ 2 =-x的实数根为 (　　 )　　 (A)x1 =2 ,x2 =-1　　 (B)x1 =-2 ,x2 =1　　 (C)x=2　　 (D)x=-14.函数 y =-2x -1的自变量的取值范围是 (　　 )　　 (A)x≥ 12 　　 (B)x<12　　 (C)x≠ 12 (D)x≤ 125 .以 5 + 1、 5 -1为两根的一元二次方程是(　　 )　　 (A)x2 + 2 5x-4 =0　　 (B)x2 + 2 5x-4 =0　　 (C)x2 -2 5x + …