一道全国联赛试题的简证与探究

笔者近日在竞赛教学中遇到如下赛题:问题(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设a,b,c为正实数,且d+6+c=1,求证:(a~2+b~2+c~2)(a/b+c+b/a+c+c/a+b)≥1/2本文在此将先给出上述问题的简洁证明,然后探讨与著名不等式(Nesbitt不等式)相关的不等式链,现与读者共享11问题的简洁证明为方便,我们先介绍著名Nesbitt不等式:若     

从函数角度看等式基本性质的推广及运用

我们知道,等式的三个基本性质是:(1)若a=b,则a±c=b±c;(2)若a=b,则ac=bc;(3)若a=b,c≠0,则a/c=b/c.事实上,从函数角度看,我们可以把等式的基本性质推广为:若函数y=f(x)是区间D上的单调函数,且a,b∈ D,则a=b(=)f(a)=f(b).即,对单调函数而言,考查自变量的相等关系,可以转化为考查函数值相等,反之亦然.正是这种转化,体现了等式基本性质的推广价值,构成了部分题目解决过程的关键,下面就其运用举例说明.     

“两边夹不等式”的推广及趣例

大家都熟知等比定理:若a/b=c/d,则a/b= a c/b d=c/d．若将条件中的等式改为不等式,如a/bad,则a/b< a c/b d相似文献   

一个加强无理不等式的推广

笔者在拙文[1]中证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R ,n≥2, 则有∑n 1√(a/b c)n≥n 1/n 1√n(1) 等式成立当且仅当n=2且a=b=c.     

浅谈"两边夹不等式"

大家都熟知等比定理：若a/b=c/d，则a/b=（a＋c）/（b＋d）=c/d若将条件中的等式改为不等式，如a/b〈c/d，那么结论如何呢？已知a、b,c,d都是正数，且bc〉ad，则a/b〈（a＋c）/（b＋d）〈c/d．这是课本上的一道练习题（高中数学第二册（上）（人教版）第14页练习第5题），教学中若不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了．笔者在高三复习的后期回归教材的教学时。将此题抛给了学生，收到了意想不到的效果。     

先假设 后检验

在下面等式的3个方框里,填上相同的正整数,使等式成立。12 □ 4 1□ 6 1□=2134这道填空题按一般思路是很难迅速得出结果的,怎么办?我们不妨采取“先假设后检验”的方法。可以这样去想:已知3个分数的和是1243,于是先假设:13=a b c(a、b、c均为正整数),那么,1243=2a4 2b4 2c4。如果a、b、c都能整除24,通过约分,就可使分子都等于1。24的约数有8个,分别是1、2、3、4、6、8、12、24。从这8个约数中选出3个,使其和等于13,只有3种可能:2 3 8=13,1 4 8=13和3 4 6=13。首先看1324=224 234 284=112 81 31,很明显,无论□中填什么相同的正整数,2 1□ 4 …     

构造一元二次方程解题的常用方法

<正>某些非一元二次方程的问题,如果能抓住特征,那么可以通过构造一元二次方程来解决,例说如下.一、利用已知等式构造一元二次方程例1若a,b,c为实数,且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,求证:a=b=c.证明由已知等式,可构造关于c的一元二次方程c2-(a+b)c+(a2+b2-ab)=0.∵c为实数,∴Δ=[-(a+b)]2-4(a2+b2-ab)     

平几中不对称等式的证题思路

平面几何中,形如a=b c、a/b=c~m/d~n和m·n=a·b c·d的不对称等式的证明,需要一定的技巧,初中学生往往感到比较困难,本文的目的在于探索证明这三类问题的一般思路。     

IMO-36第二试题的推广

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,     

一个著名几何不等式的推广

第 3届国际中学生数学竞赛有一个几何题是这样叙述的 :设 a,b,c为△ ABC的三边之长 ,S为面积 .求证 :a2 b2 c2≥ 43 S,当且仅当 a =b=c取“=”.这就是著名的 Weisenbock不等式 .本文运用等周定理和幂平均不等式来推广Weisenbock不等式 .命题 1　设△ ABC三边之长分别为 a,b     

平面几何中“a~n/b~n=c/d”型等式的一种证法

把等式a~n/b~n=c/d写成a/b·a/b…a/b=c/d即可知,它成立的一个充分条件是存在线段d_1,d_2,…,d_(n-1),使得 a/b=c/d_1=d_1/d_2=…=d_(n-1)/d。例1.过△ABC的顶点A作其外接圆的切     

“比值法”在解题中的应用

“等比定理”的证明方法是:因为所给连等条件a/b=c/d=e/f=…实质就是a/b,c/d,e/f,…这些比的比值相等,所以可设这个比值为k,就可以将连等条件变成a=bk,c=dk,e=fk,…等多个等式加以运用,可使问题顺利解决.这种解题方法可称为“比值法”,其应用颇为广泛.     

构造一等式证明一类不等式

我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为（a/（b＋c））、（b/（c＋a））、（c/（a＋b））（其中a、b、c〉0）的一类对称不等式,若令x=（a/（b＋c））,y=（b/（c＋a））,z=（c/（a＋b））（x、y、z〉0）,则x、y、z满足等式（x/（x＋1））＋（x/（y＋1））＋（z/（z＋1））=1（）（1/（x＋1））＋（1/（y＋1））＋（1/（z＋1））=2（）xy＋yz＋zx＋2xyz=1（以下记此三式依次为①、②、③式）,这样,利用这几个恒等式.     

比例法

在数学知识中,如果数与数之间满足a/b=c/d,那么ad=bc.如果ad=bc,那么a/bc/d,这是比例的基本性质;如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d,或a/(b±a)=c/(d±c)这就是合分比性质.在物理学中,有许多规律都是描述物理量之间的比例关系,因而上述     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的证法及推广

现行教材中三元基本不等式 :“若 a,b,c∈R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,当且仅当 a =b =c时 ,等式成立 .”是用因式分解方法证明 ,但分解需要一定技巧 .笔者在教学中了解 ,学生除了欣赏很难掌握 .笔者从学生已有的知识出发 ,通过证明一般的情况 ,导出三元基本不等式的证明 .要证上述“若 a,b,c∈ R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,不等式成立 .”学生已有的知识是 :若 a∈ R+ ,a≥ a成立 ,(a∈ R也成立 )若 a,b∈ R+ ,a2 + b2 =2 ab成立 ,当且仅当 a =b时 ,等式成立 .(a,b∈ R也成立 ) ,自然联想 :a,b,c,d∈ R+ ,a4 + b4 + c4 +d4≥ 4abcd是否成…     

Klamkin不等式逆向的一个改进

设a,b,c是△ABC的三边边长,则有如下 Klamkin不等式:a/b+b/c+c/a≥1/3(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (1)文[1]给出了Klamkin不等式的如下逆向形     

关于Petrovic不等式的探究

1 Petrovic不等式与已有结论1916年,M.Petrovic给出了如下一个三角形不等式[i]设△ABC的三边长分别为a,b,c,则1/3≤(a~2 b~2 c~2)/((a b c)~2)<1/2.①当且仅当a=b=c时     

分类讨论法在解题中的应用

在涉及需要分类求解(或求证)的数学题时,须用到分类讨论的方法．下面通过剖析错解,介绍正确的解法,让同学们领悟其中的解题规律和思想方法．例1 已知a+b/c=a+c/b=b+c/a=k,求k值．分析本题须用比例和等式的性质来求解,其关键是深刻理解比例和     

三角形中与角有关的几个等式

三角形中有很多与角相关的等式,例如正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,余弦定理a²=b²+c²-2bccosA.由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,三角形的三条边可化成三个角的正弦.于是研究三角形三个角的三角函数之间的等式关系就显得非常必要.本文通过探究得到了三角形中与角有关的几个等式.     

一个结论的证明及应用

如果1/a 1/b 1/c=1/(a b c),则a,b,c三个数中必有两个互为相反数.分析要证明这一结论,只需证明a,b,c三数中必有两个数之和为0即可.证明由1/a 1/b 1/c=1/(a b c) (a b c)(bc ac ab)-abc=0 (a b)(a c)(b c)=0 a b=0或b c=0,或a c=0,即a,b,c三个数中必有两个互为相反数.下面介绍这一结论的具体应用.