一道竞赛题的简解

同一法是立体几何重要方法之一,除在证明时应用外,在求值题中也常用到. 例:已知四面体ABCD中,AB一a,CD-b,BC=。,AD=d,若aZ b,=:, d,,求异面直线AC与BD所成的角.图2(1 994年江苏省数学竞赛题) 解:如图,过A作AE土BD于E,过C作CF土BD于F,设BD一。,艺ADB~a,乙CDB~夕 则aZ=e忿 dZ一Zedcosa c,=eZ bz一Zebcos夕 相减得aZ一cZ=dZ一bZ一2。(deosa 一beos夕) 由a, b,=e, d,,.’.deosa=beos夕 即DE~DF,则E、F重合:.BD土平面ACE :.BD土AC,…AC与BD所成角为90。一37一一道竞赛题的简解@姜学勤$江苏如皋市白蒲中学!226511~~…     

一道竞赛题的简解

2001年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试第六题是这样的:     

一道竞赛题的简解

题 两辆汽车A与B,在t=0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进,如图1所示．汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛,求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率．已知声速为u,且当然有u〉uA、uB．     

一道印度竞赛题的简解

题目 设P为质数,且满足p≡3（mod 8）．求方程y^2=x^3-p^2x的全部整数解（x,y）．     

一道竞赛题的简解与推广

2003年全国初中数学联赛第二试A卷第三题是:     

一道竞赛题的简解及联想

《中学教研》(数学)1991第8期第9页上说到一道美国数学奥林匹克竞赛题: 确定下面方程组的实数解 x+y+z=3, ① x~2+y~2+z~2=3, ② x~3+y~3+z~3=3。③ 1.该文提供了七种解题思略,看了以后很受启发,我们这里提供一种解法,可称为平移法。令 x=1+a,y=1+b,z=1+c。④将④代入①得 a+b+c=0, ⑤复将④代入②并利用⑤     

一道竞赛题的简解与推广

题目 圆周上有12个点,其中有一个点涂了红色,还有一个点涂了蓝色,其余10个点没有涂色,以这些点为顶点的凸多边形中,其顶点包含了红点及蓝点的多边形称双色多边形;只包含红点(蓝点)的称红色(蓝色)多边形;不包含红点及蓝点的称无色多边形。 试问,以这12个点为顶点的所有凸多边形(边数可以从三角形到十二边形)中,双色多边形的个数与无色多边形的个数,哪一种     

一道普特南数学竞赛题的简解

文[1]中给出了如下一道普特南数学竞赛题： 如图1,设ABCDEF是半径为r的圆内接六边形,AB^-=CD^-=EF^-=r证明：BC^-,DE^-,FA^-的中点是一等边三角形的顶点．（第28届美国普特南数学竞赛题,1967）     

一道高考题的简解

题目　已知O( 0 ,0 ) ,B( 1,0 ) ,C(b ,c)是△OBC的三个顶点 (Ⅰ )写出△OBC的重心G ,外心F ,垂心H的坐标 ,并证明G ,F ,H三点共线 ;(Ⅱ )当直线FH与OB平行时 ,求顶点C的轨迹 .( 2 0 0 2年北京卷 (文理2 1) )解　 (Ⅰ )由△OBC三顶点坐标O( 0 ,0 ) ,B( 1,0 ) ,C(b ,c) (c≠ 0 )可得重心G( b +13,c3) ,外心F( 12 ,b2 +c2 -b2c ) ,垂心H(b ,b -b2c ) ,所以GF =( 1- 2b6 ,3b2 +c2 - 3b6c ) ,GH =( 2b - 13,3b - 3b2 -c23c ) =( - 2x1- 2b6 ,- 2x3b2 +c2 - 3b6c )所以GH =- 2 GF ,所以G ,F ,H三点共线 .(Ⅱ )解 :由 (Ⅰ )可得F…     

一道高考题的简解

题目已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;     

应用牛顿恒等式简解竞赛题

近年来各级各类竟赛问题中,有些求解问题、整除问题和实数的有关性质问题似乎与数列毫无联系,然而,只要认真分析,把握特征,构造数列,从而应用牛顿恒等式而获得简洁明快的证明或解法. 定理对数列{l_n},l_n=Ax_1~n+Bx_2~n,若x_1,x_2是方程x~2+ax+b=0的两根,则 L_n=-al_(n-1)-bl_(n-2).(＊) 这就是著名的牛顿恒等式.下面给出它的证明及其在解竞赛问题中的广泛应用. 证明:据韦达定理得: x_1+x_2=-a, x_1x_2=b,     

一道高考题的简解

<正>2013年高考数学山东卷第16题是一个新定义问题.在考查指数函数、对数函数性质的同时,也考查了分类与整合、化归与转化等多种数学思想的综合运用,具有一定的创新性和参考价值.题目定义"正对数":ln+x={0,0相似文献   

一道高考题的简解

2013年高考数学山东卷第16题是一个新定义问题．在考查指数函数、对数函数性质的同时,也考查了分类与整合、化归与转化等多种数学思想的综合运用,具有一定的创新性和参考价值．     

几道数学竞赛题的简解

《中等数学》2004年增刊内容翔实，很多题目的解法精妙，阅读后使我收获很大，但也有些题目的解法较繁，本文给出几道题的较简便的解法。     

几道数学竞赛题的简解

题1设a、b、c为正实数,且a2 b2 c2 abc=4.证明:3abc≤ab bc ac≤abc 2.(第30届美国数学奥林匹克)证明:由4=a2 b2 c2 abc≥abc 3(abc)32,即abc≤1可知ab ac bc≥3(abc)32≥3abc.由题设知,a、b、c中一定有且只有两个数或者都不大于1,或者都不小于1.不妨设这两个数为a、b.则c(a-1)     

一道赛题简解

题目 如图设D、E分别在△ABc的边AC和4B上,BD与CE交于F,AE—EB,AD/DC     

简解一道宁德市中考题

题目取10gCu—CuO混合物，向其中分五次加入稀硫酸，使之充分反应，每次所用的稀硫酸的质量及剩余固体的质量记于下表：     

简解一道IMO试题

第34届IMO第5题是一道函数方程问题,标准答案提供的解法为构造法,其思路来得突然,使人不易理解其构造的缘由。这里提供一种解法,思路显得自然,且解题过程简捷。     

一道高考压轴题的简解

问题（2011年高考数学试题（浙江卷）压轴题）设函数,（x）=（x-a）^2lnx,a∈R．