分式方程和无理方程的解法

一、知识要点1．分式方程和无理方程的概念．2，分式方程和无理方程的解法，3．解分式方程和无理方程都必须检验．4检验的方法．二、解题指导例1解方程；（广西，1994年）（上海，1994年）（吉林，1994年）分析本例是考查分式方程的解法．解分式方程的指导思想是：通过去分母或换元，将分式方程转化为整式方程或较简单的分式方程．（1）去分母，得），即解此方程，得，经检验知是增解，原方程的解是（2）宜用换无法，设y=x2＋x，则原方程变形为y＋1一？一0，再去分母，得，’Wey—2一队”y解之得y；一1，y：—一又将y的值分别代人所设式，…     

第三类线性分式方程的简便解法

所谓线性分式方程,是指形如的微分方程,一般分三种类型加以考查。第一类,C1=C2=0,此时方程（1）是齐次方程,容易求解。第二类,C12＝C22≠0,且k。此时可用代换a2x＋b2y=u把方程（1）化为变量可分离方程,也不难求解。比较麻烦的是第三类,即的情形。对此,各种文献上介绍的方法都是一样的：先解代数线性方程组得到x＝a．y=β．再作变换则方程（1）就可化为新变量X、Y的方程这是齐次方程,求解后再作代换X=x－a,Y=y－β,即得原方程（1）的解。为什么会想到先解代数方程组（2）,再作变换（3）呢？一般教材中很少加以解释,令初学…     

用通分方法解一类分式方程

形如或可化成形如的分式方程，若a－b＝c－d，那么这类分式方程的求解，可采用方程左、右两边各自通分的方法．这样，容易找到解题的路径，将其巧妙、迅捷地解决．解通分，得解之，得X＝4经检验知X＝4为已知方程的解．解移项，得经检验知为已知方程的解例4解方程解拆项，得解之，得X＝7．经检验知x一7为已知方程的解．值得一提的是，当。一b学C－d时，形如或＿，，＿。、＿，，＿1111L。，。＿－‘—’一”””x士a王士bJ士XX土d”“”“一方程的求解，也可采用方程在、右两边各自通分的方法．只是，我们最后求解的整式方程不是一元一次…     

方程1/(x a) 1/(x b)=0的启示

众所周知，分式方程的解是均数的相反数．显然，如果c d=a b，那的解也是从而可推知的解也为因此得如下命题1如果a b=c d，且a、b、c、d互不相等，那么分式方程1/x a-1/x d=1/x c-1/x b的解是x=-a b c d/4.证明由1/x a-1/x d=1/x c-1/x b可得（若不然，则有与已知条件矛盾）利用这个结论，可简洁地解一些分式方程例1解方程解这个方程满足命题1的条件，所以方程的解是注利用命题1解分式方程不会产生增根，故验根这一步骤可略去．例2解方程：解原方程可变形为：由命题1，原方程的解为命题1中的x换成关于x的整式、分式、根式，也有类似结论．命…     

分式方程话检验

“解分式方程必须检验”，这是教材中和老师在教学时不断强调的问题．为什么要检验？又如何去检验呢？本文将作必要的疏导．在学习分式方程之前，我们学习了含有字母系数的方程的解法．例如：从方程中可知，去分母．得整理得因”为a尹b，所以x＝＝－——．”，、一”—”””·””一rt－b在上面的解法中，因为题目本身隐含着ah学0，故根据方程的同解原理2知，方程①与原方程同解；又根据同解原理1知，方程②与方程①同解；又因为a一b，所以a－b举0．因此再根。。、L。。。。、＾。。（awb）‘、，，。据方程的同解原理2知，X—－——为原…     

公式方程的特殊解法

特殊的分式方程若采用一般解法，就显得繁琐、笨拙．因此，特殊的分式方程通常用特殊的解法．一、巧用倒数关系（1992年吉林省中考题、1993年济南市中考题）分析方程左边的两个分式成倒数关系，右边的，恰好2与也成倒数关系．经检验，x1、x2、x3、x4都是原方程的根．二、拆项法即将方程中的某个分式化为部分分式．例2解方程：1994年山东省中考题）可化为部分分式，即人而求得a一3，b—一3·解原方程化为化简，得rrt——1··”·5一1－。，·’·X—一4·经检验，x—－4是原方程的根．三、局部换元法此法针对方程中的某个局部进行换元，代…     

增解问题与中考题

在中考题中，有关方程的增解问题，大致有下列两种情形：1．涉及剔除增储的问团；2．利用有关方程增解的特点用决问杨．下面就这两类问题来谈谈．一、涉及剔除增间的问囹分式方程，无理方程，在求解过程中的非同解变形；题目对方程解的限制等都可引起蜡解二增解必须剔除，方可得原题的解！剔除险的有效方法是检验．例1已知RtAIABC中，iC—90“，斜边长为5，两直角边的长分别是x’－（2。IL－l）。‘＋4（m－1）一0的根．则m的值等于（）（A）－1；（）4；（C）－4或1；（D）－1或4．（1995年宁夏中考试题）分析因两直角边的平方和可化…     

用“ε-δ”定义证明多项式函数极限

论证极限问题，一般对初学者都感到困难．而对较复杂的函数极限更棘手．本文通过用“ε－δ”极限定义推证多项式函数的极限，对研究和解决这类问题的学者以参考．先推证多项式函数的分解式：定理1设f（r）为n次实系数多项式，则f（x）－b总可表为L（x－a）P（x）＋C．其中L、C均为常数，，b为有限实数，P（x）为n－l次多项式．注1”为主观易还，不妨设f（x）是首项系数为1的三次多项式，至干n次情况，用同样方法，通过数学归纳法得证．证明设1s则则这里故定理得证．注2”当首项系数L不为1（L一0）时，可提出L，变成f（X）一Lf；（X）…     

对称在直线和圆锥曲线上的运用

数学是一门最基本的自然科学学科,而数学本身就是一门数学美学．特别是中学数学的对称性,给人以美的享受．下面针对直线和圆锥曲线的对称问题作以简单探讨．卫特殊点或线的对称特殊点或线是原点或X轴、Y轴．直线Y＝X及Y＝－X,其列称情况见了表：例1（1990年全国高考试题）如果直线y一ax＋2与直线y—3X－b关于直线y—X对称,那么（）（Aa。H,b。6（Ba＝ler,b＝6（C）a。3,b＝2（D）a＝3．b＝62——”——”－－3一解由曲线f（x．y）一O关于y—x对称的曲线方程＄Jf（y,x）一O可得解为（A）即：闭v——ax＋z二）x——“————…     

两道方程的巧解

解下列方程（x∈R）在解之前，先给出一个命题：设奇函数f（x）是严格单调增（减）函数，则方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程（a＋1）x＋b＝0同解.证明：∵f（-x）＝-f（X），且f（x）是严格单调函数∴方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程利用上述性质可以巧妙地解此类方程.解1.原方程变形为令f（x）＝X～3＋x，则易证f（x）在x∈R上是奇函数，且是严格单调增函数，则由上述命题知原方程f（x）＋f（5x＋3）＝0与6x＋3＝0同解，由此得，原方程的解为x＝-1/2.2.令x＋1＝t，则原方程可化为显然f（t）满足上述命题条件，从而此关于t的方程与3t＋1…     

应用分式方程增根解题

在解分式方程时,由于去分母将分式方程化成整式方程后,末知数的取值范围扩大了,因而容易出现增根．而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根,同时还使其最简公分母的值为零．根据分式方程的这一特性可巧解一些数学问题．现举例说明如下：一、求参数的值。。,,、。。,、,,。。。、。x－3m例1去分母解关于。的方程W＝H产生增根,则m的值是（）（A）2;（B）l;（C）－l;（D）以上答案都不对．（1993年天津市中考题）解由于原方程去分母产生增根,所以X－2一队：·X＝2．又原方程去分母,得。＝。－3…．m＝2－3＝－l．故应…     

1题5法8解

求二次函数解析式是初中代数的重要内容之一,也是中考命题的热点．本文通过一例的八种解法说明解这类题的五种一般的思路方法与技巧．题已知抛物线y＝。’＋ta＋c（a／0）的顶点为（－2,9）,且与X轴两交点间的距离为6,求抛物线的解析式．方法—一般法,即按照题意布列关于a。b、C的方程组,再解之．解1由已知,得解之,得a二一l,b＝－4,c＝5·故所求解析式为y＝－x‘－4x＋5·解2依题意得点评这里把顶点（－2,9）作为普通的点使用,所得方程③比方程②简单,为方程组的求解创造了有利条件．解3令西一b’－4ac,则仿解1得解得a＝－l…     

巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

例谈无理方程的解法

解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程（分式方程或整式方程）,转化的一般方法是把方程的两边乘方,去掉根号．对有些特殊类型的无理方程,如果依然采用一般乘方的方法处理     

分式方程话检验

同学们在解分式方程时，常常对所求得的解不加检验而出现增根问题．老师也一再强调解分式方程时验根必不可少，千叮咛万嘱咐，可同学们对这个问题并不真正理解．下面我们根据分式方程求解的过程来讨论这个问题．我们知道，解分式方程的基本思想是去分母将下程变形转化为整式方程求解．在去分母的过程中，随着方程未知数取值范围的扩大，就有可能出现增根．为确保分式方程的解准确无误，“驻林就成为必不可少的步骤．例如：方程两边同乘以（X－1），并整理得解此方程，得x1＝1，x2＝2．那么X1、X2都是原方程的解吗？我们将X1＝1、X2＝2代入…     

超越方程log_ax bx c=0的解法探讨

对数函数在理论上的重要性及应用的广泛性，早已有所肯定．在应用中提出了这样一类问题：求曲线y=loga~x与直线y=kx b的交点，即需解方程组于是问题归结为解形如logax bx c=0的超越方程．迄今为止，超越方程log_a~x bx c=0（b≠0）还没有一般解法，本文将讨论这类方程的初等解法及其根的个数判别式．一、定理定理设a、b、c、x都是实数，且x＞0，a＞0，a≠1，b≠0，则超越方程有根x＝a~a（a∈R）的充要条件是证必要性从略．充分性：从（2）式成立→（1）式有根a~a．反证法：假定x＝a~a不是（1）式的根，a~a不满足（1）式，有a ba~a c≠0即a~…     

三类抽象函数问题的处理策略

一、含抽象函数的不等式的解法解这类不等式，应充分利用函数的单调性，想方设法去掉“f”，构成不含“f”的不等式再求解．例１已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＜０）对于任意实数x恒有f（２＋x）＝f（２－x）成立．解不等式f（１－２x２）＞f（１＋２x－x２）．解析∵a＜０，∴f（x）的图象开口向下，其对称轴方程为x＝２，故f（x）在（－∞，２犦上单调递增，而在犤２，＋∞）上单调递减．∵１－２x２≤１＜２，１＋２x－x２＝２－（x－１）２≤２，∴（１－２x２）与（１＋２x－x２）的值在区间（－∞，２犦上．故原不等式可化为１－２x…     

增量方法解题功能浅说

对于两个实数a和b,若a＞b，则可令a=b t，其中t＞0称为增量。通过设置增量元素，利用增量代换来解答和处理问题的方法叫做增量方法。本文从增量方法的解题功能入手，介绍其在求解数学问题时的几种常见的巧妙运用，供大家参考．一、巧借增量设元，摆脱根号纠缠．某些无理方程或无理函数问题，可以通过设置增量元素，化无理式为有理式，从而摆脱根号纠缠，使得问题巧妙获解。例1解方程解之得经检验知x=1是原方程的解．例2求函数的值域．解由函数f（x）的定义域是4≤x≤5，所以x是4与一个增量之和，且这个增量在[0，1］上取值．二、巧借增量设…     

无理方程的几种特殊解法

一道无理方程,往往有多种解法,要使解题简便,可因方程的不同情况而异。下面对无理方程的几种特殊解法介绍如下：一、观察法左边两根互为倒数,右边分为互为倒数的两数,观察得出简单方程．检验知,X1,X2都是原方程的根．二、换元法借用新未知数可求解．则原方程化为U＋V＝1或V＝1－U．又U3＋V2＝（x－2）＋（3－x）＝1解得由解得X1＝2,经检验知,它们都是原方程的根．三、混合换元法新设未知数与已知方程中的未知数混合使用求解．例1．解方程SX’＋X—X八Z河一220．解：设y一、沈L刁,则原方程化为：y’＋X－Xy－l—0,即付一1…     

例说分式方程的应用

学习了分式方程之后，我们可以应用它来解决一些数学问题．现举例说明．无意义．（1992年浙江省初中数学联赛试题：解要使已知式子无意义，则X的取值应使已知式子的三个分母中任一个为零，知式子无意义．例2若方程的解是正数，的取值范围是．（1990年武汉市初二数学竞赛试题）解由已知方程，得依题设，a的取值应使x＞o且x羊2，解之．得a＜2且a一一4·故。的取值范围是a＜2且a单一4．（199年祖冲之杯初二数学邀请赛改编题）又已知等式可化为求a＋b的值．再已知等式可化为解之，得x—－2．．“．a＋b—一2．例5用甲、乙两泵合抽一池水，若单…