关于Klambauer不等式的加强

给出了Ｋｌａｍｂａｕｅｒ不等式：（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／４ｎ）〈ｅ〈（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／２ｎ）（ｎ＝１,２,．．．）的一个加强：（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／（１＋１／√１＋ａ）＾ｎ＋１／√１＋ａ）〈ｅ〈（１＋１／ｎ）ｎ（１＋１／２ｎ）（０≤ａ〈ｅ（３ｅ－８）／（４－ｅ）＾２,ｎ＝１,２,．．．）     

两个有趣的不等式

阅读文［１］例５－２７时,产生两个联想．命题１　π２６－１ｎ＜∑ｎｋ＝１１ｋ２＜π２６－１ｎ＋１（ｎ∈Ｎ）．证明：由∑∞ｋ＝１１ｋ２＝π２６,有π２６＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１ｋ２＜∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１（ｋ－１）ｋ＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋１ｎ,得　　π２６－１ｎ＜∑ｎｋ＝１１ｋ２．又　　π２６＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１ｋ２＞∑ｎｋ＝１１ｋ２＋∑∞ｋ＝ｎ＋１１ｋ（ｋ＋１）＝∑ｎｋ＝１１ｋ２＋１ｎ＋１,得　　∑ｎｋ＝１１ｋ２＜π２６－１ｎ＋１．综上得命题１成立．命题２　…     

关于∑cos^5A／2的上,下限

继「１」，「２」，探讨并解决ｎ＝５时，ΔＡＢＣ中∑ｃｏｓ＾ｎｂＡ／２的上、下限问题，建立新的几何不等式１＋√２／４〈∑ｃｏｓ＾５Ａ／２〈２，同时解决了ｎ＝７时的上限问题。     

非齐次线性方程组解的性质

提出并论证了ｎ元相容不定的非齐次性方程组无穷解集Ｑ的秩等于ｎ－ｒ＋１（ｒ为该方程组系数矩阵Ａ的秩）以及对于它的任意一个极大线性无关组α１，α２，αｎ－ｒ＋１，β＝ｎ－ｒ＋１∑ｉ＝１ｋαｉ为该方程组解的充要条件是ｎ－ｒ＋１∑ｉ＝１ｋｉ＝１从而进一步补充和完善了线性代数中对该方程组解集性质的研究。     

一类微分方程的解

对于微分方程（ｎ∑（ｉ＝０）αｉ△＾ｉ）φ＝０，其一般解的讨论可归结为方程（△－ａ＾２）＾ｍφ＝０的讨论，利用数学归纳法，可以得以方程（△－ａ＾２）＾ｍφ＝０的一般解的形式，进一步可以得到方程（ｎ）∑（ｉ＝０）ａｉ△＾ｉ）φ＝０的一般解的形式。     

多元统计中期望向量的非齐次线性容许估计

设ｙ１,ｙ２,…,ｙｎ独立同分布,ＥＹ１＝β,ＣｏｖＹ１＝Ｖ,这里βεＲ＾ｍ与Ｖ：ｍｘｍ〉０均未知,取损失函数为：Ｌ（ｄ,β）＝（ｄ－β）‘（ｄ－β）,估计类ζ＝／（ｎ）∑（ｉ＝１）Ｌ１Ｙｉ＋ｂ;Ｌｉ为ｍ阶实常方阵;ｉ＝１,２,…,ｎ,ｂεＲ＾ｍ／本文在损失Ｌ下给出了非齐次非齐次线估计在ζ中是β的容许估计的充要条件。     

四阶线性中立型方程的周期解

本文利用某些新技巧，研究了一类四阶线性中立型方程ｘ（４）（ｔ）＋４∑ｉ＝１ａｉｘ＾（４－ｉ）（ｔ）＋４∑ｊ＝０ｂｊｘ＾（４－ｊ）（ｔ－ｈｊ）＝ｆ（ｔ）的周期解问题，其中ａｉ，ｂｊ，ｈｊ≥０（ｉ＝１，２，３，４，ｊ＝０，１，２，３，４）是常数，ｆ（ｔ）是以２π为周期三阶连续可微函数，得到了若干新的充分判别条件。     

一种组合数计算的推广形式

若２是函数ｆ（ｘ）的周期,则有∑ｎ２［］ｉ＝０ｆ（ｘ＋ｉ）ｎ－ｉｉ＝１２［ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋１）］Ｆｎ＋１３［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋Ｉ）］ｓｉｎｎ＋１π３,其中数列｛Ｆｎ｝为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列。     

固定设计下半参数回归模型估计的随机加权逼近

考虑固定设计下的半参数回归模型：ｙｉ＝ｘｉβ＋ｇ（ｔｉ）＋ｅｉ,ｉ＝１,．．．,ｎ对利用一般非参数估计法结合最小二乘法得到的参数分量β和误差方差σ＾２的估计量βｎ和σｎ＾２,本文用随机加权法构造了βｎ和σ＾２ｎ的随机加权统计量Ｈβｎ和Ｈσｎ＾２,并证明了在给定原样本的条件下Ｈβｎ和Ｈσ＾２ｎ分别与√ｎ（βｎ－β）和μｎ（σ＾２ｎ＝σ＾２）有相同的渐近分布。     

变系数中立型差分方程的渐近性与振动性

讨论了中立型差分方程Δ（Ａｎ－Σ＾ｍｉ＝１ｃｉ（ｎ）Ａｎ－ｋｉ）＋Σ（ｓ，ｊ＝１）ｄｊ（ｎ）Ａｎ－ｌｊ＝０在条件Σ（ｍ，ｉ＝１）│（ｃｉ（ｎ）│〈１下的振动性与渐近性，获得方程振动的充分性判据，从而推广了文「１」，「３」的效果。     

用配方法解竞赛题

一、化简例１（第八届“祖冲之杯”竞赛题）已知０＜x＜１，化简（x－１x）２＋４√（x＋１x）２－４√．解：原式＝（x＋１x）２√－（x－１x）２√＝x＋１x－x－１x．∵０＜x＜１，∴x＋１x＞０，x－１x＜０，∴原式＝x＋１x＋x－１x＝２x．二、求值例２（２００２年全国初中数学竞赛）已知a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c１９９９x＋２００２，则多项式a２＋b２＋c２－ab－bc－ca的值为（）．（A）０；（B）１；（C）２；（D）３．解：因为a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c＝１９９９x＋２００２…     

n阶导数为0的函数的一个差分恒等式

本文证明了ｎ阶导函数为０的函数ｆ（ｘ）满足差分恒等式Σｎｉ＝０（－１）＾ｉＣ＾ｉｎｆ（ｘ０＋（ｎ－ｉ）ｈ）＝０，并将此结论应用于多项式，可得到一组组合恒等式，最后推广到多元函数的情形。     

广义Fibonacci数列的若干性质

广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的若干性质陕西教育学院徐长林众所周知，Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列｛Ｆｎ｝（其中Ｆ１＝Ｆ２＝１，当ｎ≥３时，Ｆｎ＝Ｆｎ－２＋Ｆｎ－１）有一个重要性质，即本文将Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的概念进行推广，给出广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列并讨...     

单位根在计算三角函数连乘积中的应用

首先给出单位根的一个重要性质：性质１设ｎ∈Ｎ且ｎ＞１,εｋ＝ｃｏｓ２ｋπｎ＋ｉｓｉｎ２ｋπｎ（ｋ＝,０,１,２…,ｎ－１）是ｎ次单位根,则有εｋ＝εｎ－ｋ．（１）证事实上,有εｋ＝ｃｏｓ２ｋπｎ－ｉｓｉｎ２ｋπｎ＝ｃｏｓ２（ｎ－ｋ）πｎ＋ｉｓｉｎ２（...     

关于Gaus-Seidel迭代法的一个收敛定理的注记

引言设ｎ阶线性代数方程组（迭代形式）为：Ｘ＝ＢＸ＋ｇ其中Ｂ＝（ｂｉｊ）ｎ×ｎ为迭代矩阵,若用Ｇａｕｓ－Ｓｅｉｄｅｌ迭代法,则迭代式为：Ｘ（ｍ）ｉ＝∑ｉ－１ｊ＝１ｂｉｊＸ（ｍ）ｊ＋∑ｎｊ＝ｉｂｉｊＸ（ｍ－１）ｊ＋ｇｉ（ｉ＝１,２,…,ｎ;ｍ＝１,２,…...     

周期函数的四种特殊类型及其应用

类型一若y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋k）＝－f（x），则函数y＝f（x）的周期为２k（k为非零常数）．证明∵f（x＋２k）＝f犤（x＋k）＋k犦＝－f（x＋k）＝f（x），∴函数y＝f（x）的周期为２k．例１定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x＋１）＝－f（x），且在区间犤－１，０犦上单调递增．比较f（２√）、f（２）、f（３）的大小．解析∵f（x＋１）＝－f（x），∴由类型一知f（x）的周期为２．又因为f（２√）＝f（－２＋２√），f（２）＝f（－２＋２）＝f（０），f（３）＝f（－４＋３）＝f（－１），且－１＜－２＋２√＜０，…     

一个不等式的加强与巧证

文〔１〕给出了不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的证明．文〔２〕给出了１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１３１４ｎ－１＋５３的证明．下面我们将给出不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的一个加强式，然后利用放缩法巧妙地给出它的证明．加强式　设Ｓｎ＝１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２，则Ｓｎ＜１１９７２，且ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＞１１６７２．证　１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２＝４９３６＋１４２＋１５２＋…＋１ｎ２＜４９３６＋１３×５＋１４×６＋…＋１（ｎ－１）（ｎ＋１）＝４９３６＋１２１３－１５＋１４－１６　＋…＋１ｎ－１－…     

对比值sinnx/sinx下界的改进

定理　设ｎ∈Ｎ,ｎ＞２,０＜ｎｘ＜π２,则ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＞ｎ＋３ｎ．（１）证明：ｎ＝３时,应用ｓｉｎ３ｘ＝３ｓｉｎｘ－４ｓｉｎ３ｘ,０＜ｘ＜π６,从而０＜ｓｉｎ２ｘ＜１４,即知（１）成立．设ｎ＝ｋ时,（１）成立,ｓｉｎ（ｋ＋１）ｘｓｉｎｘ＞ｋ＋１＋３ｋ＋１ｓｉｎ２（ｋ＋１）ｘ＞（ｋ＋１＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２（ｋ＋１）－ｓｉｎ２ｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘ１－ｃｏｓ（２ｋ＋２）ｘ－１＋ｃｏｓ２ｘ２＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ（ｋ＋２）ｘ·ｓｉｎｋｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉ…     

高考数学模拟试卷（一）

参考公式　三角函数和差化积公式　　ｓｉｎθ＋ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ　θ＋ψ／２　ｃｏｓ　θ－ψ／２；　ｓｉｎθ－ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ　θ＋ψ／２　ｓｉｎ　θ－ψ／２；　ｃｏｓθ＋ｃｏｓψ＝２ｃｏｓ　θ＋ψ／２　ｃｏｓ　θ－ψ／２；ｃｏｓθ－ｃｏｓψ＝－２ｓｉｎθ＋ψ／２　ｓｉｎ　θ－ψ／２．台体的侧面积公式　Ｓ＝１／２（Ｃ＋Ｃ＇）ｌ，其中Ｃ，Ｃ＇分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长台体的体积公式　Ｖ台体＝１／３（Ｓ＇＋√ＳＳ＇＋Ｓ）ｈ其中Ｓ＇，Ｓ分别表示上，下底面积，ｈ表示高。     

对一道不等式推广的简证

对一道不等式推广的简证庞耀辉（甘肃省窑街矿务局一中７３００８０）李再湘老师在文〔１〕中给出不等式：∑ｎｋ＝１ｘｋ＋１ｘｋ２≥ｎｎ＋１ｎ２ｘｋ＞０且∑ｎｋ＝１ｘｋ＝１的简证与推广：∑ｎｋ＝１ｘｋ＋１ｘｋｍ≥ｎＡｎ＋ｎＡｍ（ｘｋ＞０,∑ｎｋ＝１ｘｋ＝Ａ,...