新教材一道习题的多种求解方法

人民教育出版社新编普通高级中学课本 (试验修订本·必修 )第二册 (下Ｂ)习题 9· 8中有这样一道题目 :已知正方体ＡＢＣＤ—Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为 1,求直线ＤＡ′与ＡＣ的距离 .这是一道求异面直线距离问题的典型题目 ,本文将给出七种求解方法 ,以供参考 .1　定义法先找到或作出两异面直线的公垂线段 ,然后求出其长 .分析　题目中没有直接给出两异面直线的公垂线 ,需先作出 .如图 1,注意到对角线ＢＤ′与ＡＣ及Ａ′Ｄ均垂直 ,取Ａ′Ｄ上点Ｍ ,ＡＣ上点Ｎ ,连ＭＮ ,设ＭＮ∥ＢＤ′,则ＭＮ即为两异面直线的公垂线段 .因为ＭＮ与ＢＤ′所…     

注意中点的作用

众所周知 ,在平面几何中 ,如遇条件中有中点 ,那么中线、中位线、平行线是重要辅助线 .在立体几何的学习中 ,我们要善于借鉴平面几何中作辅助线的一般规律 ,善于从中点入手考虑问题 .一、利用中点 ,创造平行关系利用中点 ,巧妙地得到平行关系 ,是求异面直线所成的角的有效途径 .例 1　如图 1 ,棱长为1的正方体ＡＣ1 中 ,Ｏ是ＡＢＣＤ的中心 .求异面直线Ａ1 Ｏ与ＢＤ1 所成角的余弦值 .解　取ＤＤ1 中点Ｅ ,连结ＯＥ、Ａ1 Ｅ ,则ＥＯ ∥Ｄ1 Ｂ ,∠Ａ1 ＯＥ为异面直线Ａ1 Ｏ与ＢＤ1 所成角 .在 Ａ1 ＯＥ中 ,ＯＥ =12 ＢＤ1 =32 ,Ａ1 Ｏ= 62 ,…     

在空间直角坐标系中解立体几何题

高中教材 (Ｂ)引入了空间向量坐标运算 ,使得空间立体几何的平行、垂直、角、距离等问题的解决避免了繁琐的定性分析 ,通过建立空间直角坐标系进行定量计算 ,使问题得到了大大的简化 .一、求夹角问题例 1　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )如图 1 ,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1 ,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 .点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ( 0 <ａ<2 ) .( 1 )求ＭＮ的长 ;( 2 )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ?( 3 )当ＭＮ最小时 ,求面ＭＮＡ与面ＭＮＢ所成二面角α的大小 .解　 ( 1 )以Ｂ为坐标原点 ,分别…     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 2 3 .　已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4.　如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .…     

两异面直线距离的求法

对于两异面直线的距离 ,尽管教学大纲上仅要求会利用给出的公垂线段计算距离 ,但新教材第二册 (下 )第 5页习题 9.8第 4题仍出现未给出公垂线段要求两异面直线距离的问题 .笔者以此题为例说明求两异面直线距离的几种方法 .原题为 :已知正方体ＡＢＣＤ -Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为 1,求直线ＤＡ′与ＡＣ的距离 .解法 1　 (直接法 ,直接作出公垂线段 )如图 1,连结ＢＤ′,则由三垂线定理知ＢＤ′⊥ＡＣ ,ＢＤ′⊥ＤＡ′,ＢＤ′是ＤＡ′与ＡＣ的公垂线 .连结ＢＤ ,交ＡＣ于点Ｏ .取ＤＤ′的中点Ｍ ,连结ＡＭ ,ＯＭ ,则ＯＭ ∥ＢＤ′ .设ＡＭ交Ｄ…     

利用截长补短加倍折半法证线段的和差倍分

对于线段的和差倍分在几何论证中视为简单的一类 ,但方法选得不当其证明常带来困难 ,这里介绍利用截长补短 ,加倍折半法转化为证明线段的相等 ,特举例说明。例 1　在梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ∥ＤＣ ,ＡＤ⊥ＡＢ ,∠ＢＣＤ平分线ＣＭ过ＡＤ的中点Ｍ ,求证 :ＡＢ +ＣＤ =ＢＣ。图 (1 )证一 :如图 (1 )在ＣＢ上截取ＣＮ =ＣＤ ,连结ＭＮ ,则△ＣＤＭ≌△ＣＮＭ ,∴∠ 3 =∠ＤＭＮ =ＭＤ =ＭＡ ,连结ＭＢ则Ｒｔ△ＢＭＮ≌Ｒｔ△ＢＭＡ∴ＮＢ =ＡＢ即ＡＢ +ＣＤ =ＣＮ +ＮＢ =ＢＣ图 (2 )这里用的截长法。证二 :如图 (2 )延长ＢＡ ,ＣＭ交于Ｎ∵ＡＢ…     

用转化思想求异面直线的距离

求异面直线的距离 ,就是要确定它们的公垂线段 ,然后再利用解三角形来完成 .但在有些情况下公垂线段难以确定 ,此时若能运用化归思想对问题进行适当转化 ,不仅可以简化运算 ,而且思路也非常简捷、明快 .下面就几种常用的转化方法举例说明 .1　转化为线面距离若ｍ、ｎ是两条异面直线 ,当ｍ 平面α且ｎ∥平面α时 ,直线ｎ与平面α间的距离也就是异面直线ｍ与ｎ之距离 .　　　　　图 1例 1　Ｓ为直角梯形ＡＢＣＤ所在平面外一点 ,∠ＤＡＢ=∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＣ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =ａ ,ＡＤ =2ａ .(1)求异面直线ＳＣ与ＡＢ间的距离 ;…     

2002年湖南省高中数学奥林匹克

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 (　　 ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ　 (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ　 (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 (　　 )…     

“直线平面简单几何体”综合模拟题

一、选择题 :1.设ａ、ｂ是两条互不垂直的异面直线 ,过ａ、ｂ分别作平面α、β ,对于 4种情况 :①ｂ∥α ,②ｂ⊥α ,③α∥β ,④α⊥β ,可能存在的有 (　　 ) .Ａ .1种　　Ｂ .2种　　Ｃ .3种　　Ｄ .4种2 .一个四边形 ,当两邻边可置于两轴上时 ,其斜二测直观图是一个底角为 4 5° ,腰和上底的长均为 1的等腰梯形 ,那么原四边形的面积是 (　　 ) .Ａ .2 + 2　　Ｂ .1+ 2　　Ｃ .2 + 22 　　Ｄ .1+ 223.已知两异面直线ａ、ｂ所成角为 5 0° ,直线ｌ与直线ａ、ｂ所成角均为α ,则α的取值范围是 (　　 ) .Ａ .[2 5° ,5 0°]　　Ｂ .[5 0°…     

从一道高考题谈起

20 0 2年全国高考数学试卷 (理 )第 1 8题如下 :图 1如图 1 ,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1 ,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 ,点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ(0<ａ<2 ) ,(Ⅰ )求ＭＮ的长 ;(Ⅱ )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ;(Ⅲ )当ＭＮ长最小时 ,求面ＭＮＡ与面ＭＮＢ所成的二面角α的大小 .解略 .这是一道立体几何题 ,但考查的并不纯是线面位置关系的推理判断 ,还考查了二次函数的最值、余弦定理等代数知识 ,可以说是以立体图形为载体考查了代数知识 ,是一道学科内的综合题 ,这充分体现了课程改革的…     

异面直线所成角之作法

异面直线所成角之作法金昌市一中曹宗哲端点搭桥求几何体中异面直线所成的角，往往可选择异面直线中一条线段的端点，通过它作另一条线段的平行线，易得所求之角。例１。在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，求ＡＣ与ＢＣ１所成的角。如图（１），只要选择线...     

异面直线所成角的一种求法

立体几何中 ,两异面直线所成角的计算问题 ,历来是高考的重点 ,也是学生学习的难点 .从教学中发现 ,把异面直线所成的角 (空间角 )通过平移转化成相交直线所成的角 (平面角 ) ,这是解决问题的关键 ,学生往往感到比较困难 ,有的即使已转化成平面角仍然求不出 .对于这个问题 ,除了用常规方法 (即把空间角转化成平面角 ,再解三角形 )外 ,还可以用其它方法 ,本文介绍一种利用异面直线中一条异面直线及其射影与另一条异面直线之间所成角的关系 ,求异面直线所成角的方法 .先看下面的结论 :设ＯＡ是平面Ｍ的一斜线 ,ＯＡ在平面Ｍ内的射影是ＯＢ ,Ｏ…     

一道高考数学题的推广

下面是 2 0 0 2年的一道高考题 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 4点是否共圆 ?第 ( 1 )小题 .应用作差法和中点坐标公式易求得直线ＡＢ的斜率ｋ=1 ,方程为ｘ -ｙ+1 =0 .第 ( 2 )小题 ,解法很多 ,为简化解题过程 ,可绕过求交点 ,直接建立圆的方程 ,证明 4点在这个圆上 .∵ＣＤ ⊥ＡＢ ,且过点Ｎ( 1 ,2 ) ,∴ＣＤ的方程为ｘ +ｙ-3 =0把直线ＡＢ、ＣＤ看成二次曲线 (ｘ-ｙ+1 ) (ｘ +ｙ-3 ) =0 ,这样…     

两条异面直线间距离的求法

两条异面直线间距离的求法景泰县二中王金喜定义法根据两条异面直线间距离的定义，先做出两条异面直线的公垂线段，然后再求出公垂线段的长度，即为所求，例１．在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ──Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，求异面直线ＤＢ′与Ａ′Ｃ′间的距离。解：如图（１），...     

一道几何例题的变式训练

原题　如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .(初中《几何》第三册第 14 4页例 4)图 1　　　　　　　　图 2　　变式 1　如图 2 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外离 ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 ,连心线Ｏ1 Ｏ2 分别交⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于点Ｍ、Ｎ ,ＢＭ、ＣＮ的延长线相交于点Ａ .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明　过点Ｍ、Ｎ分别作⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的切线 ,交ＢＣ于Ｄ、Ｅ ,作ＡＯ⊥Ｏ1 Ｏ2 ,交ＢＣ于Ｏ .则ＭＤ =ＢＤ ,ＮＥ =ＣＥ ,ＭＤ∥ＡＯ∥ＮＥ .∵　 ＢＯＡＯ=ＢＤＭＤ=1,∴　Ａ…     

立体几何中作辅助图形的几种主要思考方法

在解立体几何题时 ,很多题都需要作辅助图形(线、面或体 ) ,这个问题是困扰学生的一个难点 .为此 ,笔者特写此文 ,以近些年的高考题为例 ,谈谈几种常用的分析、思考问题的方法 ,以供参考 .1　根据定义或图形的性质作图涉及与空间角、距离、射影等有关的问题时 ,可根据相关定义 ,结合作为知识载体的几何体的性质作图 .例 1　 (1997年全国高考题 )在正方体ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,Ｅ、Ｆ分别是ＢＢ1、ＣＤ的中点 ,求ＡＥ与Ｄ1Ｆ所成的角 .分析　本题要求两异面直线ＡＥ与Ｄ1Ｆ所成的角 ,可按异面直线所成角的定义 ,把Ｄ1Ｆ和ＡＥ平移到同一…     

高二数学单元测试(空间直线和平面)

一、选择题1.两条异面直线在同一平面内的射影一定不是 (　　 )　 (Ａ)两条相交直线　 (Ｂ)两条平行直线　 (Ｃ)重合直线　 (Ｄ)以上结论都不正确2 .直线ｌ1 、ｌ2 互相平行的一个充分条件是 (　　 )　 (Ａ)ｌ1 、ｌ2 都平行于同一平面　 (Ｂ)ｌ1 、ｌ2 都垂直于同一平面　 (Ｃ)ｌ1 、ｌ2 分别在两个平行平面内　 (Ｄ)ｌ1 平行于ｌ2 所在的平面3 .空间四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＣ⊥ＢＤ ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点 ,则四边形ＡＢＣＤ为 (　　 )　 (Ａ)平行四边形　　 (Ｂ)菱形　 (Ｃ)矩形 (Ｄ)不能确定4.若直线ａ不平…     

2003年文科全国高考第17题的解答补充

为讨论方便 ,引述原题如下 :已知正四棱柱ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 ,ＡＢ =1,ＡＡ1 =2 ,点Ｅ为ＣＣ1 中点 ,点Ｆ为ＢＤ1 的中点 (如图 1) .( 1)证明ＥＦ为ＢＤ与ＣＣ1 的公垂线 ;( 2 )求点Ｄ1 到面ＢＤＥ的距离 .该题形式简洁 ,方法多样 ,难度适当 ,是一道理想的高考数学试题 ,全国统一标准答案中已给出了 :( 1)的两种解法 ;( 2 )的一种解法 ,现将其余解法补充如下 .1　利用线面关系求解 ,称为传统法 .图 1　　　　　　　图 2证明 ( 1)　方法一 :取ＢＤ中点Ｍ ,连ＣＭ ,ＦＭ(如图 2 ) .因为Ｆ为ＢＤ1 中点 ,所以ＦＭ平行并等于 12 Ｄ1 Ｄ …     

一道高考试题的演绎与深化

1　题目与解法研究2 0 0 1年高考题 19(文 2 0 )题 :设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,证明直线ＡＣ经过原过Ｏ .　　　　　图 1证 1　如图 1,记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为Ｅ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 ,于是有ＡＤ ∥ＥＦ∥ＢＣ .连结ＡＣ与ＥＦ相交于点Ｎ ,则｜ＥＮ｜｜ＡＤ｜ =｜ＣＮ｜｜ＡＣ｜ =｜ＢＦ｜｜ＡＢ｜,｜ＮＦ｜｜ＢＣ｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.根据抛物线的几何性质有｜ＡＦ｜=｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=｜ＢＣ｜ ,所以｜ＥＮ｜=｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜…     

求异面直线所成的角

按异面直线所成角的定义,求异面直线所成角的关键是如何通过平移直线,使其相交.本文结合实例,介绍几种平移策略. 一、构造三角形中位线进行平移例1 如图1,在正四面体ABCD中,E、F分别是棱BC、AD的中点,求AE与CF所成角的大小.