新教材编写的误区

北京师范大学出版的七年级数学教材下册第二章第四节《用尺规作线段和角》中，教材先创设了一个“作一个角等于已知角”的情境，引入了用木板截平行四边形的实例。这一实例安排在此处值得商榷。     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...     

角平分线 平行线=>等腰三角形

某些数学题目,表面上看它们的条件和结论各不相同,但认真加以分析,透过表面现象,挖掘本质属性,便会从中归纳出某些规律性的东西.当得到共性的结论后,便可以用这个共性结论去指导解决类似的题目.让我们先看下面一组题目:例1已知,如图△ABC中∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于D点,过D作BC的平行线交AB于E,交AC于F.求证:EF=EB FC.分析:此题是证明线段的和差问题,一般采用“截长法”或“补短法”,即在较长的线段上截取一条线段等于其中一短线段,证明余下的线段等于另一短线段;二是把两条短线段接补成一条线段,证明它等于长线段.这样把…     

平面图形及其位置关系单元检测题(二)

一、选择题1.下列说法中,正确的是().A.过一点能作已知直线的一条平行线B.过一点能作已知直线的一条垂线C.射线AB的端点是A和BD.点可以用一个大写字母表示,也可用小写字母表示2.如图1,直线a、b相交于点O,若∠1等于40°,则∠2等于().A.50°B.60°C.140°D.160°3.如图2,△ABC中,     

数学单元测试题（二）

︸C魂一、判断下列作圈语句是否正确1.延长射线OA2.作线段AB,使它等于已知线段a的3倍.3.过点C作线段AB的中垂线.4.过线段AB上一点M,作线段AB的中垂线.5.过直线l外一点A,作直线l的平行线.6.作△ABC的高AD,过D作月B的平行线,与AC或AC的延长线相交于点E.7.过△ABC的边刀C的中点M作艺A的平分线.二、续空.卜在几何里,把限定用_和_来画图,称为尺规作图.2.最基本、最常用的尺规作图,通常称为基本作图,学过的五种基本作图是(l)(2)(3)(4)(5)3.看图填空(1)如图1,作线段AB=_(2)如图2,作之BAC一 )争加A￡二esesjeseses一-一一一---、七…     

一道课本习题的“三变”

题目:已知如图,AB∥EF,求证:∠BCF=∠B+∠F 证明:过点AB.(下略)c画CD//AB。(下略) 说明:本题点C在两平行线之间,呈“内凹”型.常见的辅助线是过点C作AB的平行线.现就点C的位置变化及个数的变化作一些探讨.     

利用角平分线巧作辅助线

一些几何问题中常常出现有关角平分线的条件 ,能否恰当利用角平分线巧作辅助线 ,往往成为解题的关键 .下面举例说明如何利用角平分线作辅助线 .一、过角平分线上的一点作一边的平行线构造等腰三角形 .例 1　如图 1 ,在 ABC中 ,∠B、∠C的平分线交于I ,过I点平行于BC的直线分别交AB、AC于D和E .求证 :DE =BD +EC .证明　∵BI平分∠ABC ,∴∠ABI=∠IBC .又∵DE∥BC ,∴∠DIB =∠IBC ,∴∠DBI =∠DIB ,∴DI=DB .同理 :EI=EC ,∴DE =DB+EC .评注　本题根据角平分线的定义 ,过其上一点作角的一边的平行线 ,则又根据平…     

应用“平行线的性质与判定”的思路及方法

“平行线”是初一几何的重点兼难点。这部分知识的特点是公理、定理多 ,思路广 ,方法多。正是因为本单元的公理多、定理多 ,于是就为“平行线”的应用提供了多种思路与方法。一、“平行线的判定”的应用例 1.如图 ,已知∠ B ∠ BCD ∠ D=360°,求证 :∠ 1=∠ 2。思路 :要证明∠ 1=∠ 2 ,而∠ 1=∠ 5,所以需证明∠ 5=∠ 2 ,于是“AB∥ DE”是此题证明的关键。下面尝试使用平行线的各种判定方法解决此题。证法 1:(根据“平行公理的推论”证明 AB∥DE)过点 C作 CF∥ AB,则∠ B ∠ 3=180°(两直线平行 ,同旁内角互补 ) ,∵∠ B ∠ 3 ∠ …     

对于初中平面几何中心对称一个定理的证明的商榷

现行初级中学课本平面几何关于中心对称的定理的证明为: 定理如果作一条线段的两个端点关于一个已知点的对称点,那末: (1)连结这两个点的线段平行于已知线段,并且和已知线段相等。 (2)已知线段上任何一点的对称点,都在所作的线段上。求证(2) AB上任何一点的对称点都在所作的线段上。证明(2) 在AB上任取一点M,连结MO,并且延长MO交B′A′于M′。在ΔA′OM′和ΔAOM中∠2=∠1(平行线的内错角相等)。∠4=∠3(对顶角相等)OA′=OA;     

4.5尺规作图 视图与投影

1．下列语句正确的是（ ）．A．画直线AB=10cm B．画直线l的垂直平分线 C．画射线OB=3cm D．延长线段AB到点 C,使得BC=AB 2．如图1的尺规作图是作（ ）A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆 C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角     

错在哪里

题如图,在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM∠AC的概率.教学时,教师组织学生分小组对问题的解决方案进行交流、讨论。产生了如下两种结论:组1:在AB上截取AC’=AC,连接CC’,在∠ACB内作射线CM,看作是在线段AB上任取     

不同的图形 相同的结论——“M”型图和“U”型图角之间的关系

学习了平行线的内容后,我们经常会遇到以下两种图形:图形1"M"型如图1,AB∥CD,则∠E=∠A+∠C.图形2"U"型如图2,AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=360°.两种不同的图形,形成的三个角之间的关系也不相同(要说明三个角之间的关系也不困难,只需过点E作其中一条直线的平行线,然后利用平行线的性质即可说明).能不能将这两种     

一道平行线习题的五解种法

平行线性质定理的内容是两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.要正确运用这一定理,其前提是两直线平行,且被第三条直线所截,然后才能根据角的位置去判定运用,当前提条件不符合时,就要想办法创造条件.现举一例:如图:AB∥CD.求证:∠BED=∠B ∠D.证法一:如图1,过E作EF∥AB,则EF∥CD,则∠B=∠BEF,∠D=∠DEF,即∠BED=∠B ∠D.证法二:如图2,过E作EF∥AB,则EF∥CD,则∠BEF=180°-∠B,∠DEF=180°-∠D,∴∠BED=360°-(∠BEF ∠DEF)=∠B ∠D.即∠BED=∠B ∠D.证法三:如图3,延长DE交AB于F,则∠BFE=∠D,∠B…     

解两组趣题 找规律方法

请看以下两组与平行线有关的问题: 第一组题1 如图1,将矩形纸片任意剪两刀,得到的∠A ∠E ∠C等于多少度? 分析与解:矩形纸片中AB∥CD,但此条件难以直接用上,若过E作EF∥AB,则同时有EF∥CD,易得∠A ∠1=180°,∠2 ∠C=180°,两式相加,可得∠A ∠E ∠C=360°.     

截长补短法的应用

<正>在证明几条线段间的数量关系时,截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法,也是化难为易的基本方法.一、截长法1、要证明一段长线段等于两个小线段的和,用截长法在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等.例1如图1所示,AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD.     

三角形内角和定理导学

三角形内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°.学习这个定理要注意以下几个问题. 一、学会定理证明课本上已给出证明.此外,利用平行线和平角知识还可得到下列证法. 证法一如图1,在三角形的任一边上任取一点,如在AC边上取点D, 过点D作DE∥CB交AB于点E,又作DF∥AB交BC于点F.则∠C=     

平行线分线段成比例定理及应用

定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例．反之亦真． 上述定理中的对应线段是指一条直线被三条平行直线截得的线段与另一条直线被这三条平行直线截得的线段对应,对应线段成比例是指同一直线上两条线段的比（部分与部分之比或部分与整体之比）等于另一条直线上与它们对应的线段的比．     

解梯形题的“金钥匙”——变换法

处理平面几何中的梯形问题,若利用几何变换,把梯形问题转化为三角形问题和平行四边形问题,会使问题更简捷.现举例说明.一、平移变换1.平移一腰:即从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例1如图1,在梯形A BCD中,A B∥D C,∠C ∠D=270°,A D=8,BC=6,A B=3D C.求梯形的面积.解:如图1,将B C沿CD方向平移到M D,可得荀M BCD,则M D=BC=6,∠A D M=270°-∠C-∠CD M=270°-(∠C ∠CD M)=270°-180°=90°.所以A M=A D2 M D2姨=10.因为D C=13AB=12A M=5,所以A B=15.过点D作D N⊥AB于N,则D …     

空间Z形图

空间Z形图是一种基本的空间图形,它使两异面直线与交线、交角聚在一起,有利于找出其间的规律。为便于讨论,设CA、AB、BD是不共面的三条线段,如图所示;且AB=a、∠A=α、∠B=β,平面CAB与平面ABD所成的角为γ,异面直线AC、BD所成的角为φ,AC、BD间的距离为d。求异面直线间的距离如图一,过A在平面ABD内作BD的平行线l,过B在此平面内作AB的垂线与l交于D′,过B在平面ABC内作AB的垂线     

奇妙的“黄金分割”

德国数学家、天文学家开普勒曾经说过:“几何学中有两个宝藏:一是勾股定理,一是黄金分割.”他给黄金分割以很高的评价.什么叫黄金分割?公元前4世纪,古希腊数学家欧多克斯,曾研究过这样一个问题:“如何在线段AB上选出一个点C,使AB∶AC=AC∶CB?”这样的C点是存在的,它到A点的距离为AB的5√-12倍.这个C点,就叫做线段AB的黄金分割点.其中ACAB(或CBAC)的比值5√-12≈0.618叫做黄金比.除了课本上介绍的找线段AB的黄金分割点C的方法之外,还有其他方法.例如下面的作法:作∠DAB=36°,使AD=AB;连结DB;以D为圆心,DB为半径作弧,交AB于…