30分钟智力冲浪

1.如图1,△ABC中,AB≠AC,△ADB与△AEC都是等边三角形(三边相等、三内角相等).那么,CD与BE是否相等?为什么?图1图22.已知,如图2,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,他们相交于点F,且BF=AC.在CE的延长线上取点G,使CG=AB.连接AF,AG.试说明AF⊥AG.3.已知,如图3,AD∥BC,DE∥BF,点E,F在AC上,AF=CE.你能说明AB与DC的位置关系吗?图3图4图54.已知,如图4,CF是正方形ABCD外角∠DCG的平分线,E是BC边上的一点,且AE⊥EF.你能说明AE与EF相等吗?(提示:正方形的四条边相等.设法找到分别以AE,EF为一边的两个三角形,并说明他…     

比例在几何证题中的应用

学习了《相似形》一章后，我们可以借助比例来证明很多类型的几何题．一、证明两线段相等例1如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于E，BM交CN于F．求证：CE＝CF．证明　由已知易得二、证明两角相等例2　已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C．证明　　延长BA、CD交于点E（如图2）．三、证明线段不等例3　在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于点F．求证：AE＜AF．证明　　过B作BG∥EF交AC延长线于G（如图3），则AG＞AC＝AB．四、证明线段和…     

三角形的一个特殊点集

众所周知,三角形有重心、垂心、内心、外心、旁心及费尔马点等特殊点,这里我们将介绍三角形的一个特殊点集。 定理1 以△ABC三边为底向形外（或形内）作三个相似等腰三角形ABD、BCE、CAF,则AE、BF、CD三线共点。（如图） 证明 分三种情况考虑,并设向形外作的三个相似等腰三角形的底角为α。 (1)当α趋于0时,则三个相似等腰三角形的顶点D、E、F分别趋于AB、BC、CA的中点,所以,当α=0时,D、E、F是AB、BC、CA的中点,由重心定理可知AE、BF、CD三线共点。 (2)当α趋于π/2时,则AD与BD、BE与CE、AF与CF趋于平行,则CD与AD、BD;BF与AF、CF;AE与BE、CE也各趋于平行。所以当α=π/2时,CD∥AD∥BD,BF∥AF∥CF,AE∥BE∥CE,(D、E、F为无穷远点)所以此时CD⊥AB、BF⊥AC、AE⊥BC,由垂心定理可知CD、BF、AE三线共点。     

三角形角平分线性质的证法及应用

本文介绍三角形角平分线性质的证法及在解题中的应用，供参考．一、三角形角平分线的性质及其证明在△ABC中，若AD是角平分线，则BD∶DC＝AB∶AC．在此，我们给出四种证法：（1）我们知道，证明线段成比例的基本途径是利用平行线分线段成比例定理或其推论和相似三角形，但给定图形中既无平行线又无相似三角形，因此，要证结论成立，需要添加辅助平行线，构成平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，或构成相似三角形．为此，作DE∥BA交AC于E（如图1），则（2）我们也可以这样作辅助平行线：作CE∥DA交BA的延长线于E（如图2）…     

全等三角形及其应用错解分类辨析

全等三角形及其应用因为涉及两个三角形的位置关系和数量关系,因此,解题时常会出错.就常见的错误,分类辨析如下."一、局部代替整体例1如图1,已知点A,E,F,D在同一直线上,且AE=DF,CE=BF,CE∥BF.试说明AB=CD.图1错解在△ABF和△DCE中,BF=CE,AE=DF.又CE∥BF,所以∠1=∠2.所以△ABF≌△DCE.所以AB=AD.辨析AE是AF的一部分,DF是DE的一部分,不能用局部相等来代替整体相等.正解在△ABF和△DCE中,BF=CE,因为AE=DF,EF=FE,所以AF=DE.又CE∥BF,所以∠1=∠2.所以△ABF≌△DCE.所以AB=CD.?二、虚假论据例2如图2,AC…     

应用“三线合一”定理证题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线。底边上的高互相重合．等腰三角形的这一性质称“三线合一”定理．这个定理可分解为三个定理：（1）在△ABC中,AB=AC．若AD是角平分线,则AD⊥BC且BD＝DC;（2）在△ABC中,AB＝AC．若AD是中线,则AD⊥BC且／DAB＝／DAC;（3）在△ABC中,AB＝AC．若AD是高,则BD＝DC且／DAB＝／DAC．由此可知,‘“三线合一”定理有三个基本功能：回．证明线段相等;2．证明两角相等;3．证明两条线段（或直线）互相垂直．下面举例说明“三线合一”定理在证题中的应用．侈IJI女日图1,在thA…     

有序析图 自然生长 凸显思维

<正>1试题呈现(重庆中考B卷第26题)在等边三角形ABC中,AD丄BC,垂足为D,E为线段AD上一动点(不与A,D重合),联结BE,CE。将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,联结AF。(1)如图1,求证:∠CBE=∠CAF。(2)如图2,联结BF交AC于点G,联结DG,EF,EF与DG所在直线交于点H。求证:EH=FH。(3)如图3,联结BF交AC于点G,联结DG,     

30分钟智力冲浪

1有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三边,可围成一个三角形.如果规定底边是11厘米长,你能围成个不同的三角形.2一个三角形的三边长分别是2,m,7,且m为偶数,则此三图1角形的周长是.3如图1,E、F在线段BC上,AB=DC,AE=DF,BF=CE.以下结论是否正确?请说明理由.(1)∠B=∠C;(2)AF∥DE.4如图2,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE于F,与过B所作的BC的垂线交于点D.(1)说明AE与CD是否相等,为什么?(2)若AC=16cm,求BD的长.5如图3,AB=AC,AD=A…     

化归法简解一道中考题

试题 如图1,AD是圆的直径.BC切圆于D,AB、AC与圆相交于点EF,那么显然有结论:AE·AB=AF·AC.(*) 在图1中,如果把直线BC向上平移,使它与圆相交于两点,而AB、AC与圆的交点仍分别是E和F,便得图2.在此条件下,结论(*)是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。     

2004年河北省中考压轴题解法探究

已知:如图1,等边三角形ABC的边长为6, 点D、E分别在AB、AC 上,且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1 个单位长的速度沿直线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t> 0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.     

线段垂直平分线性质的应用

垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线．它具有非常重要的性质：线段会在平分线上的点与这条线段两个端产、的R巨离相等．在解某些几何问题时，灵活应用这一性质，可简化解题过程，使其迅速获解．例1如图1，线段CD垂直平分AB，AB平分工CAD求证：AD／／BC．例2如图2，已知AD平分ZBAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连接AF求证：证明EF垂直平分AD，例3如图3，已知：求证。AC＝AD，证明连CD交直线AB于五BE是CD的垂直平分线．例4如图4，在△ABC中，求证：证明延长BC到D，使DC—BC，连AH．LACB—90”，AC是B…     

巧用“E”字型 妙解竞赛题

在各类初中数学教材或者教辅书中,常见如下题型:如图1,AB∥CD,AD、BC交于点F,E在线段AC上,若EF∥AB,则     

巧作外接圆 妙解几何题

圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线.在一些有关三角形和多边形的问题中,若能作出三角形或多边形的外接圆,并恰当利用圆的性质,可使解题过程简化. 一、题目中有过同一点的三条线段相等的条件时,一般可作辅助圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=a,BC=b,求BD的长.分析:题目中有过A点的三条线段AB、AC、AD相等的条件,可考虑过B、C、D三点作辅助圆.解:以A为圆心,a为半径作圆,延长BA交⊙A于E,连结DE.∵AB=AC=AD=a,∴B、C、D均在⊙A上.∵AB∥CD,∴DE=BC.∴DE=BC=b.又∵BE是⊙A的直径,∴由勾股定理,得…     

利用解三角形求线段长度

<正>解三角形,就是利用三角形的几个元素(三个角和三条边都是三角形的元素)求其他几个元素的过程,在解三角形时经常使用勾股定理、锐角三角函数、面积公式等定理与公式．下面分析几道解三角形求线段长度的例题,供同学们探究．例1如图1,在△ABC中,AB=AC=5,点D,E分别是线段BC,AC的中点,连接AD,点F在BC上,且BF=3,连接EF,如果AD=3,求EF的长．解析:为什么作:点E是AC的中点,D是BC的中点,AD=3?作法:作辅助线,如图1,过点E作EG⊥BC于点G,以此构建三角形中位线,然后解答．     

一道新颖独特的中考几何题

题目:已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH∥EG∥AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G.(1)如图1,如果点E、F在边AB上,那么EG FH=AC;(2)如图2,如果点E在边AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是;(3)如图3,如果点E在AB的反向延长线上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是.(4)对(1)(2)(3)三种情况的结论,请任选一个给予证明.此题是长沙市2005年中考数学试卷中的一道几何题,它考查了学生对一些基本图形(如三角形、梯形、平行四边形)性质的掌握情况.一、特点1.试题灵活、…     

用锐角三角函数证明几何题(初二、初三)

1．证两角相等例1 已知在等腰△ABC中,∠A=90°, 在AC上取AE=1/3AC,在AB 上取AD=2/3AB,求证∠ADE =∠EBC.(04年福建南平中考) 图1 证明如图1,设∠ADE=a,∠EBC= β,AE=BD=a,则 AD=EC=2a,AB=AC=3a, 作AP上BC,EF上BC,P、F分别为垂足, 则 EF∥AP, 所以 EF/AP=CE/CA=2/3,     

数学奥林匹克问题

本期问题初203设△ABC为任意三角形,AE、AF是∠A的两条三等分线(E、F在BC上).求证:EF·BC<3BE·CF.(李先品江苏省新沂市教师进修学校,221400)初204如图1,O是单位正方形ABCD图1的中心,点P在边BC上(P不与顶点B、C重合),直线DP交边AB的延长线于点Q,DP交对角线AC于点E,直线QO交边AD于点F.(1)比较AF+BP与AB的大小,请说明理由;(2)比较AF+BP与23AB的大小,请说明理由;(3)若EF∥AB,求CP的长度;(4)若EF∥OP,求CP的长度.(吴伟朝广州大学数学与信息科学学院,510006)高203试证明:存在无穷多个由1,2,3,4这四个数码构成的完全…     

巧用平行线型相似三角形

《几何》课本“相似形”一章中有一定理:“平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。”如图1、图2,为叙述方便起见,我们称这一类相似三角形为平行线型相似三角形。称基本图形图1为“A”字型,基本图形图2为“X”字型,不管哪种情况,都有 DE∥BC(?)ΔADE∽△ABC(?)AD/AB=DE/BC=AE/AC     

在三角形中证明线段相等

1．用全等三角形的性质 全等三角形的对应线段相等． 例1 如图1,点E、A、C在同一直线上,AB//CD,AB=CE,AC=CD．求证：BC=ED．     

相似形的定义、性质和判定(二)

一、知识要点1．相似三角形的定义、性质和判定．2．重心定理．3．应用相似三角形的判定、性质以及重心定理进行计算和论证．二、解题指导例1如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠DCA=∠ABC，AD=9cm，DB=3cm，求AC的长．（西安市，1993年）分析设AC=xcm，于是要求AC的长，只要根据已知条件和图形的性质列出关于X的方程即可．∠DCA=∠ABC，∠A公用，例2如图2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，BE交AD于G，且AD=9cm，BE=m，求S△ABC分析要求S。。。，只要求出BC的长、由题设易知，＊D一0已从而要…