第一届美国数学邀请赛试题

美国于今年首次举办了数学邀请赛(AIME),在美国中学生数学竞赛(试题见本刊第4期)中取得95分以上的中学生才有资格参加这种比赛。 试题共15个,每题的答案均为小于999的正整数。每题1分,满分为15分,答错不给分。考试时间为150分钟。下面是这届比赛的试题。     

第一届美国数学邀请赛试题及答案

继1983年3月1日第34届美国中学数学竞赛之后,上海赛区的76名中学生,又以通信方式参加了1983年3月22日的第一届美国数学邀请赛。这次邀请赛的考试时间为2.5小时,考题共15个。每题1分,满分为15分,答错不给分。每题的答案均为小于999的正整数。现将第一届美国数学邀请赛的试题及答案刊登如下:     

从一道美国数学邀请赛试题谈起

z=佃 焉_—生厂(1) 佃 焉_兰一91 何巧磊矿佃 警,矿佃十罢,矿佩 兰,矿佃 罢,(2) l z:/西 9A.(由(1)得) L z 4 由于z1、z2、z3、z4、z地位平等(轮换对称),我们猜想:它们都相等. 事实上,由(2)知它们同号(比如,若z,<0,则z<0,X。<0,…). 其次1 1 、i—i』,1 1\i一五J,1 1\i—i J,i1)÷).①②③④⑤于是,由 z。>z:9 zz璺X3z,旦z。<％这不可能. 若假定z。z:同样不可能. 故zl=z2. 于是,推出 z1。X2。X3。X4。z· 由(2)的第1。式z:、/r两 9A,有 z。一~/‘丙z一91=0. (3) 设a、口是式(3)的(即式(1)的)二根,则 a …     

第十一届美国数学竞赛试题及解答

第11届美国数学竞赛于1982年5月4日举行。下面是这届竞赛的试题及我们所拟的一份解答。限于水平,不妥之处,祈请读者指正。 1.一次集会有1982个人参加,其中任意的四个人中至少有一个人认识其余的三个人。问在这次集会上,认识全体到会者的人至少有多少位? 解我们证明认识全体到会者的人至少有1979名。换句话说,至多有三个人不认识全体到会者。采用反证法。假设至少有四个人不认识全体到会者。A为其中之一,A不认识B。这时,除A、B两人外,还有C不认识全体到会者。假如C不认识D,并且D不是A、B,那么在A、B、C、D这四个人中,每一个都不全认识其余的三个人,与已知矛盾。因此C不认识的人一定是A或B。这时,除A、B、C、三个人外,还有D不认识全体到会者。根据刚才对C的同样的推理,D所不认识的人一定是A、     

第二届美国数学邀请赛试题及参考解答

1.如果a_1,a_2,a_3,…是等差数列,公差是1,a_1+a_2+a_3+…+a_(98)=137。求a_2+a_4+a_6,+…+a_(98)之值。解注意:a_2=a_1+1,a_4=a_3+1,…,a_(98)=a_(97)+1。由a_1+a_2+a_3…+a_(98)=137,两边同加49得 (a_1+1)+a_2+(a_3+1)+a_4+…+(a_(97)+1)+a_(98)=186, 即 2(a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=186。∴ a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=93。 2.n是具有下述性质的最小整数:它是15的倍数,而且每一位数字都是0或8。求n/15。     

第2届美国数学邀请赛试题及答案

第2届美国数学邀请赛于1984年3月20日举行。上海市有110位中学生参加了这次竞赛,竞赛共有15个试题,每题1分,满分为15分.评分结果,得分在10分以上者有48人,其中有3人获得了13分,有13人获得了12分.现将试题及答案刊登于下,供读者参考.原试题的第3题附有图形,本刊已于略去,相应地在文字叙述上增加了一个注释。     

第十二届美国数学邀请赛试题及答案(AIME)

1.递增加数列3,15,24,48,…由既是3的正倍数又是比一个完全平方数小1的那些整数组成.这数列的第1994项除以1000的余数是多少?     

第十届美国数学竞赛试题及解答

美国第十届数学竞赛于今年五月举行。下面是竞赛题和解答。 1.已知一角大小为180°/n,其中n为不能被3整除的正整数。证明:这个角可以用欧几里得的作图工具(圆规与直尺)三等分。解:因为n是不能被3整除的正整数,所以n=3K±1。如果n=3K+1,由于180°/3-K×180°/n=180°/3n(n-3K)=180°/3n,且180°/n为已知角,所以K×180°/n可用圆规与直尺作出,显然180°/3=60°可用圆规直尺作出,所以180°/3n可作。也就是说,这时180°/n可以用圆规直尺三等分。如果 n=3K-1,那么由于 K×180°/n-180°/3=180°/3n(3K-n)=180°/3n     

第10届美国数学邀请赛(AIME)试题及解答

1.既约分数的分母为30,求小于10的所有这样的正有理数的和. 2.一个最少为两位数的十进制正整数,它的每一位数总比其右边位置上的数小,我们把这样的正整数叫做“上升数”.求上升数有多少个? 3.把一个球员赢球的场数除以他参赛的总场数叫做他的赢球率.一个球员在第一阶段的比赛中赢球率为0.5,第二阶段他比赛     

第九届美国数学邀请赛(AIME)试题及简解

1.已知 xy x y=71,x~2y xy~2=880.x,y 为正整数,求 x~2 y~2.2.矩形 ABCD 中,(?)=4,(?)=3,点 A=P_0,P_1,…,P_(168)=B 把 AB 边分为168个相等的小段,点 C=Q_0,Q_1,…,Q_(168)=B 把 CB 边分成168个相等的小段,做     

第十届美国数学邀请赛(AIME)试题及答案

美国数学邀请赛(AIME)始于1983年,在此之前,美国中学生数学竞赛(AHSME)是作为美国数学奥林匹克(USAMO)的资格赛。由于AHSME采用的是选择题,虽有不少优点,但也有其局限性。为了更好地选拔和培养学生,在AHSME和USAMO之间就产生了AIME。凡在AHSME中得分不低于100分的学生都被邀请参加。 AIME的试题由美国数学协会命题,试题为15个填空题,每题1分,满分为15分。每题的答案均为0～999(包括0和999)之间的整数,考试时间为3小时,AIME的试题新颖别致,涉及的知识范围较广,有许多值得学习和借鉴的地方。今年的AIME于4月2日举行,上海有一千多名学生被邀请参加,结果格致中学潘毅明,交大附中张觉,上海中学葛建庆三人获得了满分15分。     

第8届美国数学邀请赛(AIME)试题及简解

1.递增数列2,3,S,6,7,10,11,一包含所有既不是平方数又不是立方数吞,正整数,试求此数列的第,00项.2.求{汽:(52十6侧初于一(5:一。了孔)令.弓。P,是正巧包形,P:是正、边形(,):规则汀掉所有把子:(1)西先选择将要有一个靶子被打扮的一列;(2)然后在被选中的一列中打掉最下面价一个段被打掉的靶子.那么打掉这8个靶子共有多少种顺序?。一个均匀、、创硬可布投彩,‘工0衫之,令}为:的每一个内角都是p,的每一个内试求:录大值.P,且明一招3)仲︸/{\角4.解方程: 一一一上 1尤“一10x一29 2 刃2一10x一石9“O劣2一10x一4弓 5.:是满足下列条件的最小帅正…     

第四届美国数学邀请赛试题(AIME)

今年3月18日,上海赛区有154名中学生,参加了第四届美国数学邀请赛.竞赛试题共有15个,答对一题得1分,满分为15分.并规定在3小时内完成.竞赛结果,上海市大同中学张浩、上海中学丘隆冬(女)、向明中学吴思皓、光明中学郭峰获得15分;有10名获得14分;11名获得13分;20名获得12分.现将这次竞赛的试题及答案公布如下:     

第11届美国数学邀请赛(AIME)试题

今年四月上海地区一千多名中学生应邀参加第11届美国数学邀请赛(AIME),经阅卷评定,上海赛区有四名学生获满分(15分),他们是王海栋(华东师大二附中高一)、黄静(格致中学高二女)、张亮(市西中学高二)、韩志刚(复旦附中高三)。我们还统计了参赛学校前三名学生的成绩和(满分为45分),排在最前的三所学校是复旦附中(41分)、华东师大二附中(41分)、上海中学(40分)。     

第5届美国数学邀请赛(AIME)试题

1、一个非负整数的有序对(m,n)称为“简单的”.如果在做 m n 的加法时用不着进位,m n 称为有序对(m,n)的和.求和为1492的“简单的”非负整数有序对的个数.2、一点在半径为19,中心为(-2,-10,5)的球面上,另一点在半径为87,中心为(12,8,-16)的球面上,两点间最大可能的距离是多少?     

第12届美国数学邀请赛试题(AIME)

1.递增数列3,15,24,48,…,由既是3的正倍数又是比一个完全平方数小1的那些整数组成,这数列的第1994项除以1000的余数是多少? 2.一个圆的直径PQ的长为10,它内切一个半径为20的圆于P点,正方形ABCD的顶点A和B在大圆上,CD与小圆在Q点相切,且小圆在ABCD之外,AB的长可写成m n~(1/2)的形成,其中m和n是整数,求m n.     

第11届美国数学邀请赛(AIME)试题

1.在4000至7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数? 2.在一次竞选中,一个候选人到国家各处去游说,我们假设整个国家在一个平面上,第一天他向东,第二天向北,第三天向西,第四天向南,第五天向东,…,等等。如果他第n天行走n~2/2公里,那么第40天结束     

第八届美国数学邀请赛试题(AIME)

(时l’q:1990年下午1:30一4:30)1.递减数列2,3,5,6,7,10,n,…包含所有既不是平方数又不是立方数的正整数,试求此数列的第500项. 332.求值(52+6了瓦劝“+(52一6了北)“.3 .P,是正T边形,尸:是正S边形(:):乡3),试求S的最大值.且p,的每一个内角都是尸2的每一个内角的丝一’584.解方程尸二i。斑二至g+ 1xZ一10x一45 2xZ一10x一69一5.:是满足下列条件的正整数中最小的数 ①:是75的倍数;②:恰有75个正整数因子(包括1及本身).试求共. J口 6.某生物学家想要计算湖中鱼的数目,在5月1日他随机地捞出60条鱼并给它们做了标记,然后放回湖中,在9月1日他…