对一道例题的一点看法

对于二元函数极限,通常采用二种定义:定义1:设P_0(X_0,y_0)为函数f(X,y)的定义域D的一个聚点,任给ε>0,存在δ>0,使得当P(X,y)∈U_(?)~0(P_0,δ)∩D时都有f(X,y)∈U(A,ε),则称A为f(X、y)当P→P_0时的极限,记作lim f(X,y)=A.(X,y)→(X_0,y_0)华东师大编《数学分析》(下册)81年版及菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》(一卷二分册)59年版,采用这个定义。这定义是用“聚点”来定义的。     

谈二元函数极限的计算

设二元函数f(x,y),P_o(x_o,y_o)为定义域D中一个聚点,A是一个确定的实数。若对Aε>0,Eδ>0,当p(x,y)∈v~0(p_o,δ)D时,有|f(x,y)-A|<ε,则称A是f(x,y)在P_o点的(二重)极限。记作lim f(x,y)=A或lim f(x,y)=A.(x,y)→(x_o,y_o) x→x_o y→y_o 例如,讨论xy~2/x~2+y~4在(0,0)点的极限。 设f(x,y)= xy~2/x~2+y~4,令y=0,则f(x,0)=0,(x≠0)即当P(x,y)沿x轴趋于(0,0)点时,f(x,y)→0,     

教学中求二重极限应注重的若干方法

一、二重极限 　　定义:设函数发f(x,y)在区域D内有意义,P0(x0,y0)是D的内点,如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于D内且适合不等式0＜|P0P|=(x-x0)2 (y-y0)2＜δ的一切点p(x,y),都有|f(x,y)-A|＜δ成立,则称常数A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0的二重极限,记作limy→y0x→x0 f(x,y)=A或f(x,y)→A(x→x0,y→y0)……     

浅谈复合函数极限

复合函数极限问题在数学教学中经常遇到。复合函数极限当外层函数y=f(x)在u=α处不连续的情况下，limfx→r0[ψx)]=limf u→α(u)=A是否成立。     

函数的不连续点(高三)

本文介绍函数的不连续点的类型及判别方法.1.函数y=f(x)在点x=x0处连续的定义定义如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义,而且limf(x)=f(x0),那么函     

关于二元函数极限的定义

近几年我们使用四川大学编写的《高等数学》教材(以下简称川大教材),在使用中我们发现该书二元函数极限定义与书中某些求极限题目不配合,因而给学生学习造成混乱,学生作题错误较多。关于二元函数极限的定义就我们看到的教材有三种定义,下面分别以定义1、2、3形式摘抄如下,进行分析比较并提出我们的看法。一、二元函数极限的定义定义1:“设函数 z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的附近有定义(在P_0点函数可以没有定义,因为我们研究极限并不考虑在该点的函数值)……。如果对于任意给定的正数ε,都存在     

从函数的两个变化趋势初断极限的存在

高等数学中极限定义是基本概念之一,极限理论是数学分析的基础,是研究函数的重要工具。数学分析的教科书上对极限概念作出了精确而严密的定义,并且利用不少篇幅解决极限存在的证明和计算极限值的方法。从函数极限定义可见,不等式|x一x_0|<ε(任意小ε>0),|f(X)一A|<δ(任意小δ>0),是从量的角度刻划极限是否存在,同时描述了两个变量的变化趋势。初学者要能很好掌握这个概念有一定困难,有一个深刻理解、熟悉熟练、应用掌握的过程。对于非数学专业学生,尤其经济类专业学生,不要求在理论上进一步探讨,只重极限的计算和应用。教学中为了帮助学生能较快的建立起极限概念,在思考函数极限时可分两步进行,旨在分散难点。根据自变量的变化趋势和受制解析规律的函数值的变化趋势分析问题,可初断函数极限是否存在;然后是确证极限存在或计算极限值。这里只谈教学中如何引导学生从函数的两个变化趋势值初断函数极限是否存在,建立极限概念。 首先讨论如何初断整标函数的极限(数列的极限)。 函数f(n)的自变量n只能取正整数值时,称函数f(n)为整标函数。将整标函数f(n)的函数值依自变量增大的次序排列出来:     

微分法在解方程中的应用

<正> 考虑方程F(x)+εφ(x)=0 (1)若当ε=0时方程F(x)=0的根容易求得。并且当方程(1)在ε≠0时的根存在,那么这个根就是ε的函数,令x=f(ε)。若该函数在ε=0处解折,则可展成泰勒级数。     

由条件f(ωx+ψ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的f(x)是定义在A上的函数,对于任何一个x∈A,都有f(ωx+ψ)=f(x)(其中ω、ψ为常数).众所周知,在上式中当ω=1、ψ≠0时,f(x)是T=ψ的周期函数;当ω=-1时f(x)的图像关于直线x=-ψ/2对称;当ω=0时f(x)是常值函数y=f(ψ).那么,当ω≠±1、0时f(x)又是如何的函数呢?     

浅谈极限概念的建立

本文首先通过数列的一些实例说明当自变量n(取正整数)不断增大时有些数列无限接近于某一个数;有些数列不与某个数无限接近;而有些数列和两个数无限接近….我们把数列与某个数无限接近的这个数称为数列当自变量n取正整数无限增大过程中的极限.并举例说明无限接近的意义,就是说要多么接近都行,只不过数列与某数接近的程度越高,而需要的项数一般来说就越大,为了精确描述它用ε描述数列与某数的接近情况,N描述的是自变量n的变化趋势,从而得出了ε—N定义,并附以几何说明,只有详细分析了数列极限的定义以后.对于自变量趋于无限大时函数的极限,只不过是将自变量n(取正整数)换成X(取一切实数)而已.从而得出ε—X定义.类似地得出函数f(x)当x无限变小时的极限定义.当自变量X无限接近某个数x_0时函数f(x)与某数A无限接近时的极限定义,只要注意用δ>0来描述x与x_0的接近情况,ε>0来描述函数与某数的接近情况,从而得出ε—δ定义.     

“归结原则”教学浅见

在函数极限理论中,有如下的一个定理: 设f(x)在x_0的某空心邻域∪°(x_0)有定义,则极限lim(x→x_0)f(x)=A存在的充分必要条件是:对任何以x_0为极限,且含于∪°(x_0)的数列{xn},都有 lim(n→∞)f(x_n)=A     

一类由Hadamard乘积定义的函数子类

设p为正整数,A(p)表示单位圆盘内形如,f(z)=Zp 8∑k=p 1akzk的解析函数全体,对给定的复常数λ≠-p及f(z)∈A(p),用Jλf(z)=hλ*f(z)定义算子Jλ,其中hλ(z)=8∑k=pp λ/k λzk,得出当Jλf(z)∈R(p)(a)(0≤α＜p)时,必存在r0,使得在|z|＜r0内,f(z)∈Rn(p)(β),其中0≤β＜P.     

略谈按定义证明极限的教学

<正> 按“ε—N”定义证明数列{a_n}的极限为A,一般从解不等式|a_n-A|<ε入手,若能分解出n,得一个不等式n>f(ε),取f(ε)的整数部分为N,则由数列极限定义证得lima_n=a_0如果从|a_n-A|<ε中不易分解出n,可以设法先把|a_n-A|适当大,使放|a_n-A|≤g(n),此处g(n)必须仍为无穷小量,g(n)<ε比|a_n-A|<ε容易分解出n,从而得出N(ε)。证明lima_n=A的关键是证明N(ε)是否存在,这又是证明的难点,学生不易掌握,因n→∞此,一定数量的例题与练习,对学生是必要的,证题中一些常见的错误提醒学生注意也是有益的。我们先通过简单的例子,说明如何化简|a_n-A|,以求出N来。     

对多元函数极限的二个问题探讨

多元函数的极限与—元函数的极限相比有着很大的差别，—元函数极限存在的充要条件是f（x—0）＝f（x—0），而多元函数完全没有这个性质．我们知道limf（P）存在的先要条件是P点不论以什么方式趋于点，极限都存在且相同．这样我们就很容易知道，多元函数极限与二次极限之间有着很大差别，并且求多元函数的极限是一件很复杂的事情。下面我举例对上述两个问题加以讨论。一、二元函数极限与二次极限之间的区别设）为二元函数的极限．为二元函位的二次极限。它们之间存在的区别通过例子来叙述。例1设函数f（x，y）的表达式如图1所示。很明显0…     

Schwarz引理在复变函数教学中的应用

<正> Schwarz引理是解析函数的重要性质,它对共形映照理论的建立,起了一定的作用,在解析函数的其它理论中,应用也很广。我们知道,Schwarz引理的经典形式是:“若园盘|z|<|内的解析函数W=f(z)满足条件;f(0)=0,且当|z|<Ⅰ时,|f(z)|<Ⅰ,则在|z|<Ⅰ内,必有|f(z)|≤|z|。若对于某一点z_0(0<|z0|<Ⅰ)有|f(z_0)=|z_0|,则f(z)=e~(10)z(|z|<Ⅰ)。这里θ是实数。”     

关于函数的左右极限的使用

一、在极限运算中的使用函数f(x)当x→x_o(或x→∞)时有极限A,是说x以任何方式趋于x_o(或∞)时,函数f(x)都趋于某一个常数A。即对于某些类型的函数,求其极限,必需使用左、右极限方法来解决。 1.对于分段函数,求其两段交界处的     

如何求商的极限

形如f(x)g(x)型的极限问题是情况最多的一种极限问题,解决方法也是多种多样,十分灵活,所以初学者往往会感到无从下手,本文就此分几种情形加以概括总结,以便于初学者的学习。1.分子、分母极限存在且分母极限不为0limf(x)=A,limg(x)=B≠0,则limf(x)g(x)=lliimmfg((xx))=AB(由商的     

关于特殊二元函数极限的讨论

由一元函数f(x)在点x0的极限存在，很容易地得出特殊二元函数F(x，y)=f(x)在点(x0，y0)的二重极限也存在。但若limx→x0f(x)=A,f(x)在x0有意义，且f(x0)≠A，则二重极限linx→x0,y→y0f(x)不存在。     

无穷积分的收敛与被积函数极限之间关系的探讨

文章讨论无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→+∞时的极限情况。方法:利用函数f(x)在[a,+∞)上一致连续的一些性质、结论和一些新颖的实例。结果:给出了无穷积分∫_a(+∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→+∞时的极限情况。方法:利用函数f(x)在[a,+∞)上一致连续的一些性质、结论和一些新颖的实例。结果:给出了无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx的被积函数极限limf(x)x→+∞的一些条件及其证明。结论:若无穷积分∫_a(+∞)f(x)dx的被积函数极限limf(x)x→+∞的一些条件及其证明。结论:若无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx收敛时被积函数极限为零,必须附加一定的条件才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是有差别的。     

用定义法证明数列极限存在应注意的问题

极限是高等数学中的重要概念。掌握用定义法证明极限存在是加深理解极限概念所必须的。一些自考学员在运用定义法证明极限存在时常常感到较为困难。本文以数列极限为例 ,来说明运用定义法证明数列极限存在应该注意的问题。大家都知道 ,用定义法证明数列极限存在的关键是 :对 ε >0 ,都能找到Ｎ (ε)的存在 ,使当ｎ >Ｎ时 ,有 |ｘｎ-ａ|<ε成立。对一些极简单的数列 ,我们可以用直接解不等式 |ｘｎ-ａ|<ε的方法找到Ｎ(ε)的存在。例 1:证明 :ｌｉｍｎ→∞(- 1) ｎ 1ｎ =0证 :对 ε>0 ,解不等式 (- 1) ｎ 1ｎ - 0 <ε ,由 (- 1) ｎ 1…