一个递推公式的应用

若 a、b、x、y 均为非零实数,S_n=x·a~n+y·b~n,n=0,1,2,……,则有S_n=(a+b)S_(n-1)-abS_(n-2)(n≥2)(1)证明:左=S_n=x·a~n+y·n~n=(x·a~(n-1)+y·b~(n-1)(a+b)-a·y·b~(n-1)-6     

二项式定理的推广及应用探索

<正>通过学习我们知道:1.(a+b)~2=a~2+2ab+b~22.(a+b)~3=a~3+3a~2b+3ab~2+b~33.(a+b)~n=a~n+C_n~1a~(n-1)b+C_n~2a~(n-2)b~2+…C_n~(n-1)ab~(n-1)+b~n这是二项式定理,在学习中我发现,关于(a+b)~n的展开式也可以给出如下证明:(a+b)~n是n个(a+b)相乘,属于多项式乘多项式的问题,每个(a+b)在相乘     

2007年全国高考数学试题品评与展望

十二、以"极限"为背景例12 (重庆)设正数a、b满足(?)(x~2 ax-b)=4,则(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=( ).A.0 B.1/4 C.1/2 D.1解析:由(?)(x~2 ax-b)=4,得4 2a-b=4,即b=2a.∴(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=(?)(a~(n 1) 2~(n-1)a~n)/(a~(n-1) 2~(n 1)a~n)=(?)(1/(2~(n 1)) 1/4·1/a)/(1/(2~(n 1)·1/a~2) 1/a)=1/4.点评本题新颖之处在于将函数极限和数列极限相结合,打破了以往此类问题单一考查的命题模式.     

指数概念推广以后应注意什么?

指数概念从正整数指数推广到有理数指数,是深入学习指数运算的需要.本文拟从三个方面谈谈指数概念推广以后应注意些什么. 一、注意正确理解概念 1.明确指数概念推广的背景及意义正整数指数幂有五条运算性质:(1)a~n·a~n=a~(m+n);(2)a~m÷a~n=a~(m-n)(a≠0,m>n);(3)(a~m)~n=a~(mn);(4)(ab)~n=a~n·b~n;(5)(a/b)~n=a~n/b~n(b     

Jacobsthal不等式的变式及其应用

Jacobsthal不等式（见文[1]）设a,b〉0,则na~（n-1）b≤（n-1）a~n＋b~n,仅当a=b时等号成立.只要将上述不等式的左右两边同时除以（n-1）b~n,再移项得（a/b）~n≥n/（n-1）（a/b）~（n-1）-     

两个递推式及其应用

本文介绍递推式:f(n)=a~n b~n=(a b)f(n-1)-abf(n-2),(n≥2,n∈N)和f(n)= a~n b~n c~n=(a b c)f(n-1)-(ab bc ca)f(n-2) abcf(n-3)(n≥3,n∈N)及其应用。     

应用迭代关系证明等式

对于与自然教n有关的等式的证明问题,如果能够利用其特征建立一个迭代关系式,则问题可迅速获得解决。由下面几个例子,可以略见迭代法之一斑。 [例1] 已知:a b c=0,求证:(a~2 b~2 c~2)~2=2(a~4 b~4 c~4) 证明:设f(n)=a~n b~n c~n,ab bc ca=-p abc=q,为a、b、c为根的三次方程为x~3-px-q=0 由上可得(a~n b~n c~n)-p(a~(n-2) b~(n-     

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为a、b是一元二次方程x~3-(a b)x ab=0的两个根,设S_0=a~0 b~0,S_1=a b, S_2=a~2 b~2,S_2-(a b)S_1 abS_0=0 S_3=a~3 b~3,S_3-(a b)S_2 abS_0=0 S_n=a~n b~n,S_n-(a b)S_(n-1) abS_(n-2)=0 所以当n≥2时,有递推式,S_n-(a b)S_(n-1) abS_(n-2)=0 (*) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程一样用途较大,下举数例说明。例1 若m~2=m 1,n~2=n 1,且m≠n,则m~5 n~5=____(江苏省第四届初中数学竞赛试题)     

巧用二项式定理

由二项式定理:(a+b)~n=C_n~0a~n+C_n~1a~(n-1)b+…+C_n~nb~n,(a-b)~n=C_n~0a~n-C_n~1a~(n-1)b+…+(-1)~nC_n~nb~n相加可得 (a+b)~n+(a-b)~n =2(C_n~ca~n+C_n~2a~(n-2)b~2+C_n~4a~(n-4)b~4+…)。(*)合理利用(*)式,可解答几类难度较大的问题。     

(1+2)~n展开式的组合原理

现行高三数学中学到了二项式定理:(a+b)~n=C_n~0a~n+a_n~1a~(n-1)b+C_n~2a~(n-2)b~2+……+C_n~nb~n。若令a=1,b=1,代入上式,就得到(1+1)~n=C_n~0+C_n~1+C_n~2+……+C_n~n,这是全组合公式,即从n个元素中一个也不取,取一个、取二个、……、取n个元素的组合总数,那么(1+2)~n的展开式的组合原理是什么呢?或者说,它的数学模型是什么?下面我们先看一个具体问题。     

代数不等式的证明与技巧

代数不等式是中学中的一个重要内容,由于它本身具有完美的形式及证明的灵活性,往往可以考察学生的分析能力和应变能力,在这里仅介绍一些证明不等式常用的方法和变形技巧。 一,比较法; 要证明一个不等式A>B可以作一个差证明A—B>0;当B>0时,可以作一个商A/B>1证明 例:已知:a,b∈R~ ,n∈N,求证:(a b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1)) 证明:(a b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1)) =a~(n 1) a~nb ab~n b~(n 1)-2a~(n 1)-2b~(n 1) =ab~n ba~n-a~(n 1)-n~(n 1) =a(b~n-a~n) b(a~n-b~n) =(a—b)(b~n-a~n) Ⅰ)当a>b>0时,b~n-a~n<0,a-b>0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅱ)当b>a>0时,b~n-a~n>0,a-b<0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅲ当a=b>>0时,b~n-a~n=0,a-b=0 (b~n-a~n)(a-b)=0 综上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,有(a-b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1))≤0 (a—b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1))     

关于一道题错解的讨论

本刊1992年第1期《用函数的凹凸性证明不等式竞赛题》中的例1解答有误,现摘录如下: 例1 设n为自然数,a、b为正实数,且满足a+b=2,则1/1+a~2/+1/1+b~2的最小值是 (1990年全国高中数学联赛试题) 解:设f(x)=1/1+x~2,容易证明f(x)在R~+上是凹函数,由性质得 1/2[f(a)+f(b)]≥f(a+b/2)=f(1).(＊)即 1/2(1/1+a~n+1/1+b~n)≥1/2, 1/1+a~n+1/1+b~n≥1/2,当a=b=1时等号成立. ∴1/1+a~n+1/1+b~n的最小值是1. 上面所得的结果是对的,但解法却是错的,其实,对n≥2,f(x)=1/1+x~R并非R~+上的凹函数.因通过计算可得     

应用一个简单的变换巧解国内外竞赛题

众所周知,对于任意的实数a、b,总存在实数s、t,使得a=s t,b=s-t。有趣的是:运用这个简单的变换,竟可解决许多难度较大的国内外竞赛题。例1 (湖南省1988年中学生数学夏令营试题)已知a、b是任意的正实数,求证:(a~n a~(n/1)b … ab(n-1) b~n)/(n/1)≥((a b)/2)~n。对于本题的证明,笔者所见到的资料都是用数学归纳法,且第二步难度较大,下面给出的证明新颖简捷,通俗易懂。     

略谈组合恒等式的证明

组合恒等式证明问题,一般难度较大,学生往往不易掌握。下面就来谈谈组合恒等式证明的几种方法。 1.置换法。在公式(a+b)~n=C_n~0a~n+C_n~1a~(n-1)b+C_n~2a~(n-2)b~2+…+C_n~ra~(n-r)b~r+…+C_n~nb~n中,适当地选择某个数来置换a和b,原恒等式即可得证。例1.求证:①2~n-C_n~12~(n-1)+C_n~22~(n-2)+…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)2+(-1)~n=1; ②3~n-C_n~13~(n-1)+C_n~23~(n-2)+…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)3+(-1)~n=2~n。     

一个加强不等式的另一个简单初等证明

许多刊物出现这样一个不等式:若a b=1,a>0,b>0则3/2<1/(1 a~n) 1/(1 b~n)≤(2~n 1)/(2~n 1).曹学锋,汪飞老师在《数学通讯》2004(21)上给出了上式的高维形式:若x_1 x_2 …x_m=1,x_1,x_2…,x_m>0,则(m 1)/m<1/(1 x_1~n) 1/(1 x_2~n)… 1/(1 x_m~n)≤(m~(n 1))/(?)(其中m≥2,n≥2且m∈N,n∈R).     

平面几何中“a~n/b~n=c/d”型等式的一种证法

把等式a~n/b~n=c/d写成a/b·a/b…a/b=c/d即可知,它成立的一个充分条件是存在线段d_1,d_2,…,d_(n-1),使得 a/b=c/d_1=d_1/d_2=…=d_(n-1)/d。例1.过△ABC的顶点A作其外接圆的切     

二项式定理的一个证明

大家熟知的牛顿二项式定理是指下面的公式:(a+b)~n=c_n~0a~n+c_n~1a~(n-1)b+c_n~2a~(n-2)b~2+…+c_n~nb~n,(n∈N) (1)式(1)的右边的式子叫(a+b)~n的二项展开式,在教科书上,公式(1)的证明通常是采用数学归纳法,在本文中,我们将给二项式定理一种新的、有趣的证法,这种证法依赖于函数方程的解。     

对数的一个性质及其运用

对数里有下面这祥一个性质: “若对数式log_ab=c恒成立,一般地有log_(a~n)~(b~n)=c,这里的n∈R,且n≠0”。 [证明] log_ab=c(?)b=a~c■b~n=(a~n)~c 在n≠0时,两边同取以a~n为底的对数, 则有: log_(a~n)~(b~n)=c,n∈R且n≠0 运用上述性质,可解决一些较为复架的对数问题,现举几例如下。 [例1] 已知log_8(x~2+1)~3-log_2xy+log_(2~(1/2))·(y~2+4)/~(1/2)=3 试确定x,y之值 (85年常州初中数学竞赛题) 分析:初中数学竞赛一般不要求换底公式,上述问题即使用换底公式,也颇费周折,若联想到上述性质,则解法较为简捷。     

第29届IMO试题6的推广

第29届IMO试题6是一道难度较大的命题.本文的目的是给出这道题的一个推广,其解法与试题6是完全不同的. 试题6 正整数α与b使得αb 1整除α~2 b~2,求证α~2 b~2/αb 1是某个正整数的平方。试题6的推广设α,b,n都是正整数,n≥2,若 (αb)~(n-1) 1|α~n b~n (1)则A_n=α~n b~n/ (αb)~(n-1) 1是某个正整数的n次方.(其中α|b表示α整除b)     

巧用对称性证不等式

一、不等思等,产生灵感例1 若a,b,c均为正数,且a b c=abc,则a~n b~n c~n(n＞1,n∈N)的最小值是()(A)3((3~n)~(1/3~n))(B)3(C)9~(1/3)(D)3((3~n)~(1/3~n))[注释]:当我们第一遍读完全题以后,有点儿惘然不知所措。已知条件与结论中的四个选项难以挂起来。仔细观察,题中a,b,c所处位置是对称的,正是对称性这一隐含条件的刺激,可大胆地猜想:当a=b=c时,即3a=a~3,a=3~(1/3)时,取得最小值,且最小值为3(1~(1/3))~n=3 3((3~n)~(1/3~n)),马上可选(A)。