利用方程的两根之比解题——由一道课本习题所想到的

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之比为2:3,求证:6b²=25ac,证明:设方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂则x₁/x₂+x₂+x₁=2/3/2=（13）/6由一元二次方程根与系数的关系知: x₁+x₂=-b/a x₁·x₂=c/a     

中考题链接 根与系数的关系

根与系数的关系是指:如果x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根,则有x₁+x₂=-b/a、x₁·x₂=c/a,它在一元二次方程的解题中有着重要的作用.在中考中多以填空、选择、解答题的形式出现,考查的频率较高,也常与几何、二次函数等     

系数和为0的一元二次方程

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0. 运用这个结论可解决不少的问题.请看: 例1 解方程:4x2-5x+ 1=0. 分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4. 温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根.     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系,又称韦达定理.根与系数的关系在解题中有着广泛的应用.     

巧用二次函数与一元二次方程关系解题

<正>我们知道,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.在求解相关问题时,它们之间的这种关系如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.下面举例说明.一、判断二次函数图象与x轴的交点情况     

二次函数交点式的应用

如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点A（x₁,0）、B（x₂,0）,那么二次函数的解析式可写成y=a（x-x₁）（x- x₂）的形式,其中a是待定系数,这就是二次函数的交点式（或零点式）.下面举例说明这个形式在解题中的应用.     

竞赛题中一元二次方程根与系数的关系应用举例

我们知道,一元二次方程的根与系数存在这样的关系:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.根与系数的关系对于解决有关一元二次方程问题非常重要,且在竞赛题中"大显身手".     

根与系数关系作用大

在一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)中,若两根为x1、x2,则x1+x2=-b/4,x1·x2=c/a,根与系数的这种关系又称为韦达定理.它的逆定理同样成立,即当x1+x2=b/a,x1·x2=c/a时,那么x1、x2是ax2 +bx +c=0(a≠0)的两根. 一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛. 一、确定符合条件的方程 例1 (2012年烟台卷)下列一元二次方程两实数根的和为-4的是().     

根与系数的关系的应用

设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我     

椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技巧

<正>在以下解答题第(2)问证明椭圆曲线中某一个量为定值时,同学们比较熟悉的解决策略是:联立直线与椭圆曲线的方程,消元得到ax~2+bx+c=0(或ay~2+by+c=0),再运用韦达定理进行“整体代换”,就能够把该量化简为由x₁,x₂(或y₁,y₂)组成的一切对称式,如:x₁+x₂,x₁x₂,x₁~2+x₂~2,|x₁-x₂|,1/x₁+1/x₂等,代换后表达式中不再出现x₁,x₂(或y₁,y₂)的其他形式,则利用韦达定理可求得该量的值.     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2 +bx +c =0有两个实数根x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系.这两个关系式的应用十分广泛.     

根与系数关系的应用

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.这就是一元二次方程的根与系数的关系,又称"韦达定理".由韦达定理可得:     

从中考题看韦达定理的应用

我们知道,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a. 上述一元二次方程根与系数的关系,称为韦达定理.其应用极为广泛.本文以中考题为例说明它的一些应用.     

韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数之间存在着下列关系:如果ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a.这就是有的参考书所讲的“韦达定理”.     

二次函数的对称点式的求法应用

用待定系数法求二次函数解析式时,根据条件特点通常选用一般式y=ax²+bx+c或顶点式y=a（x-h）²+k或两根式y=a（x-x₁）（x-x₂）.当条件中有抛物线上的两个对称点（x₁,m）、（x₂,m）时,可设解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）+m.这就是二次函数的对称点式,易知,当m =0时,对称点式就变成为两根式.     

一类不等式解集的确定

1问题的提出最近在审一本书稿时,发现其中有这么一道例题:若不等式ax²+bx+c>0的解集是{x|12+bx+a>0的解集.作者给出的解法如下:解由题意知a<0,又x₁=1,x₂=2是方程ax²+bx+c=0的根,所以有     

一元二次方程根与系数的关系归类解析

初中教材的根与系数的关系定理是初中代数中最重要的定理之一,应用非常广泛.在学习和应用上述定理时要注意以下几点: 1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系,在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0). 2.运用根与系数的关系定理的前提是方程有实数根.     

特别的方程,特别的根

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有性质: (1)若a+b+c=0,则方程的两根为x_1=1,x_2=c/a;反之,若一根为1,则a+b+c=0。     

根与系数的关系的应用

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.现以2012年各地中考试题为例,说明根与系数的关系的应用. 一、已知一元二次方程,求两根关系式的值 例1 (2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2/x1+x1/x2的值为____.