中心对称与旋转——数学竞赛辅导系列讲座（14）

如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后,它和另一个图形重合,那么称这两个图形关于这个定点成中心对称,这个定点叫做对称中心.中心对称保持图形全等.把一个图形绕着一个定点按一定方向旋转一个角度而得到另一个图形,这种变换叫做旋转变换,这个定点叫做旋转中心.旋转变换保持图形全等.中心对称和旋转是几何变换中的基本变换,对给定的图形(或其中的一部分),可以通过旋转,改变位置后重新组合,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系,找到不变量,进而揭示条件与结论之间的内在联系,发现证题途径.例1如图1,如果四边形CDEF绕某点P旋转以后与正…     

阴影面积问题中的常用思想方法

数学思想方法是数学的灵魂,是解决问题的金钥匙,学生只有掌握了这把金钥匙,才有条件打开数学科学宝库的大门·不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的,在解此类问题时,运用正确的思想方法,注意观察和分析图形、分解和组合图形,可以化难为易·现介绍几种常用的思想方法·一、转化思想此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形,再利用规则图形的面积公式,计算出所求的不规则图形的面积,这是计算不规则图形面积问题的最常用方法·例1(2005年辽宁省)如图1,…     

精彩变换 放飞思想——浅谈初中数学变式练习

<正>初中几何探究题是中考重点与难点,题型涉及证明与计算,其中证明题多是以三角形相似为载体,证明线段的位置或者数量关系,解决此类问题的关键是将复杂的图形分解成与结论有关的基本图形,然后通过添加辅助线的形式再构建模型,通过数形结合、方程思想、转化思想进行证明．     

图形变换巧解题

最基本的图形变换有平移、对称与旋转．这三种变换只改变图形位置,未改变大小,称为全等变换．利用图形的全等变换解题,思路流畅能避繁就简,使解题过程简洁明了．如图1,把△ABC沿直线BC平行移动BC线段的长度,得到△ECD,这就是平移;如图     

让梯形回到平行四边形

同学们都知道,平行四边形是中心对称图形．过对称中心（对角线的交点）的直线如果不经过顶点,可将平行四边形分成两个全等的梯形（如图1）．反过来,如图2,把梯形ABCD绕腰CD（或AB）的中点O旋转180&#176;（顺时针方向、逆时针方向皆可）,可得到梯形EFDC．这时四边形ABEF即为平行四边形．利用这一性质,可以把一个梯形问题（尤其是有腰的中点的条件的问题）转化为平行四边形的问题来处理。     

巧用对称 探究最值

<正>最值问题一直是很多同学既陌生又熟悉的问题,其应用场景多变、图形形式多变、理解角度多变.孟老师的这节课从基本图形入手,让学生真正掌握解决此类问题的方法,体会转化思想的魅力.模型构建“两定一动”基本模型,如图1(1),点A,B为定点,点P为动点;“一定两动”基本模型,如图1(2),点P为定点,点A,B为动点;“两定两动”基本模型,如图1(3),点M,N为定点,点P,Q为动点.     

“变”中找“不变” 转化单位“1”——自编教材《转化单位“1”》教学例谈

<正>【教学过程】一、回忆策略,唤醒“转化”师：同学们,我们学习了很多解决问题的策略：从条件想起、从问题想起、列表策略、画图策略、列举策略、转化策略、假设策略（课件相应演示每个例题图）。五年级下学期学习的转化策略,你还记得吗？生：通过平移、旋转等方法,把不规则图形转化成规则图形。     

动态几何中的函数问题

近几年动态几何命题的趋势是：运动对象从动点型→动线型→动图型;运动形式从平移→旋转→对称→位似→折叠;蕴涵的函数关系从一次函数→二次函数→分段函数．从知识整合的角度来看不仅有几何代数的数形结合,还有几何坐标的解析整合,较好地渗透了分类讨论,数形结合．转化等数学思想方法,有较强的综合性．本文主要探讨如何解决动态几何中的函数问题．其基本策略：把握图形的运动规律,寻求图形运动的一般与特殊位置关系,在“动”中探求“静”的本质,在“静”中去探“动”的规律．解决问题时在“动”中建立变量之间的函数关系,在“静”中利用函数关系解决几何问题．     

旋转变换 柳暗花明

旋转是数学中的重要思想方法,在中考的舞台上,总少不了它的身影。特别是当条件中出现等腰三角形、正三角形、正方形等基本图形时．常考虑通过图形的旋转构造全等三角形．以集中条件,求得问题的解决。下面我们就来探究一下旋转的奥秘。     

“旋”而未定 “转”而得解——以“巧用旋转，探究线段数量关系”专题复习课为例

<正>图形的旋转是重要的图形变换,由于旋转不改变图形的形状和大小,只是位置关系发生变化,旋转转移了边和角,使图中的条件重新组合,构造了新的图形,在新的图形中发现新的数量关系,位置关系,从而使复杂的问题变得简单了,有些百思不解的题目也可能豁然开朗了!一、认知模型问题1 在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上且(1)如图1,若∠BAC=90°,求证:BD2+CE2=DE2.(2)如图2,若∠BAC=60°,     

“解直角三角形”中的数学思想

“解直角三角形”一章中,最常用的思想方法是数形结合。在解决问题时,先要根据题意画出图形,再借助于图形的直观性,分析有关边角关系,进而进行计算。事实上,除数形结合的思想方法外,转化思想、方程思想在本章中也有较广泛的应用。一、转化思想所谓用转化思想解题,就是把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决。 1．将斜三角形的问题转化为解直角三角形问题例1如图,在△ABC中, AB=5,AC=7,∠B=60°,求BC的长。     

探索动态变化问题

动态问题的解题方法主要有：1．“化动为静”,了解图形的运动变化过程,画出变化中的不同图形,并逐一研究;从动点、动线到动形,从移动、折叠到旋转,从运动变化（动）中寻求图形间（静）的位置关系．2．用动态思想,“动中求静”,抓住运动变化中的“不变量”、“不变图形”等为“向导”,以不变应万变,     

由中考看几何教学中的“基本图形”

几何中的“基本图形”是由一个或两个简单图形组成的图形,是构成复杂图形的基本元素,由它的变化可演变成不同的图形变式,如果再赋予它不同的背景就构造出不同的题目． 如图1,这是几何中一个常见的基本图形．     

巧用等面积求解图形转化问题

<正>对于不易直接求得的四边形或者三角形的面积，赖老师根据“平行线间距离处处相等”进行图形的等面积转化，“不易求”即刻变成“直接求”.模型构建等积变换基本模型：如图1,AB//CD,3对面积分别相等的图形是：△ACD和△BCD，△CAB和△DAB，△ACE和△BDE.     

“图形的旋转”教学实录与评析

教学实录 一、直观感知。寻找特征 师：同学们看,这是一个很普通的三角形,但是我能很快把它变换成漂亮的图案,想看看吗？ 师：（指图2和图3）谁发现了这两个漂亮的图案是怎样得到的？ 生：旋转。 师：说得再具体点,按什么方向旋转得到的？ 生：图2是顺时针旋转,图3是逆时针旋转。 师：再观察观察,这两个图案是由哪个基本图形旋转得到的？     

初中数学空间能力的培养

一、初中数学新课程标准中对于空间观念能力的要求 初中数学新课标中对于培养空间观念能力的描述主要体现在：能由实物的形状想像出几何图形,由几何图形想像出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,     

利用运动思想研究几何问题

平移、旋转、翻折是几何图形的三种基本运动．近年来图形运动的题型在各地中考、模拟考试题中频频“亮相”,考查学生对数学知识本质的理解,以及利用图形运动思想解决问题的能力．图形的运动在试题中以各种形式呈现出来,通常以动、静结合的几何图形为载体,融入几何、代数的相关知识．其实,这些运动型的综合问题万变不离其宗,要能够利用运动变化的观点,去认识、研究几何图形,学会辩证地看待图形的运动与静止,从中寻找变量与不变量,从而发现规律,揭示问题的本质．本文就如何利用运动的思想研究几何问题作粗浅的分析．     

旋转与作图

一、明确作图的三个条件 作比较简单的旋转图时,应具备三个条件：1.原图形;2.旋转中心;3.旋转方向和旋转角度.     

第5章走进图形世界——深悟概念 巧妙解题

基地学校：江苏省丰县初级中学领衔名师：渠英 【思维导图】【名师箴言】我们要学会用数学的眼光看世界．在丰富多彩的图形世界里,我们能见到许多熟悉的基本图形,感受图形的平移、翻折、旋转等变化,也发现“图形世界”是由基本图形构成的。可以利用基本图形的这些变化设计出符合要求的图形．——渠英     

“空间与图形”教学的几点做法

＂空间与图形＂是《数学课程标准》中安排的重点学习内容之一,其核心目的是发展学生的空间观念。《数学课程标准》明确指出空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系,等等。