利用“三角形的三边关系”求线段最值

利用这一关系,可以探求线段的最值,举例如下： 例1 如图4,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF．连接CF交BD于点G．连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是______．     

关注正方形的探究问题

正方形的探究问题近年来在中考中屡见不鲜.这类问题以正方形为框架,将探究问题融入其中.解答时,要注意灵活利用正方形性质,借“全等三角形”之力.现举例介绍如下: 例1(梅州市中考题)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?     

反思题目通法 突出变换引领——一道中考试题的深层次思考

<正>笔者近来研究2021年南通中考数学第25题时,发现该题以最基本的图形变换——轴对称为背景,渐次生长,思路开阔,值得回味. 现特撰此文与大家交流.一、原题呈现如图1,正方形ABCD中,点E在边AD上(不与端点A,D重合),点A关于直线BE的对称点为点F,连结CF,设∠ABE=α.(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示);(2)如图1,过点C作CG⊥AF,垂足为G,连结DG.判断DG与CF的位置关系,并说明理由;     

关于一道正方形命题的拓广探究

命题1 如图1，点E、F分别是正方形ABCD的AD边、CD边上的两点。且DE=CF，连结BE、AF交于点Ｏ。问：BE与AF有何关系？（义务教育人教八年级几何下册第133页第10题）     

一道高考题的两种猜想

2012年全国普通高考(大纲版)文科第12题:正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=1/3.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(). A.8 B.6 C.4 D.3 解:如图1,如果第二次碰点为G,由△BEF∽△CGF得CG/BE=CF/BF,又BE=CF=2/3,BF=1/3,解得CG=4/3,DG=1/3.点G在CD的延长线上,点G不是第二次碰点,第二次碰点在AD上,设为 为△HGD∽△FGC,所以DH/CF=DG/CG,解得DH=1/6;设第三次碰点为I,根据对称性得DI=1/3,则CI=2/3,同理可得CJ=1/3,BJ=2/3,BK=4/3,AK=1/3,AL=1/6,AE=1/3,所以M与E重合,即P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞了6次.     

用坐标系解几何题

例1 如图1,已知正方形 ABCD的边长为5,E、F分别为边CD、AD的中点,BE、CF交于点P．求AP的长．分析从几何解题的角度出发,此题有多种解法．解法1 如图2,延长CF、 BA交于点Q．因为 F为AD的中点,     

2002年CMO试题解答

一、△ABC的三边长分别为a,b,c,b相似文献   

分类构图寻思路 多元求解提素养

<正>1试题呈现(深圳中考第22题)(1)如图1,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,联结BE。(1)若BE=BC,过C作CF⊥BE,垂足为F,求证:△ABE≌△FCB;(2)若S_矩形ABCD=20,则BE·CF=______。(2)如图2,在菱形ABCD中,cos A=1/3,过C作CE丄AB交AB的延长线于点E,过E作EF丄AD,垂足为F,若S_菱形ABCD=24,求EF·BC的值。     

有序析图 自然生长 凸显思维

<正>1试题呈现(重庆中考B卷第26题)在等边三角形ABC中,AD丄BC,垂足为D,E为线段AD上一动点(不与A,D重合),联结BE,CE。将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,联结AF。(1)如图1,求证:∠CBE=∠CAF。(2)如图2,联结BF交AC于点G,联结DG,EF,EF与DG所在直线交于点H。求证:EH=FH。(3)如图3,联结BF交AC于点G,联结DG,     

直观想象“破茧” 推理运算“成蝶”——对一道中考试题的深度分析

<正>一、试题呈现(2021·安徽第23题).如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连结BF.(1)求证：△ABF≌△EAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求BE∶CE的值.二、基于核心素养的试题评价1. 图形似曾相识,     

共顶点四边形旋转之不变量

<正>纵观各地中考试题,四边形旋转是几何压轴题的热点.下面向同学们介绍其中一个热点类型——共顶点四边形旋转模型.一、真题再现,感悟旋转例（2021·湖南·湘潭）在数学活动课中,小辉将两个正方形放置在直线l上.如图1,他连接AD,CF,经测量发现AD=CF.如图2,若将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,试判断AD与CF还相等吗,请说明你的理由.     

失误高频思教学

2009年中考数学模拟考试有这样的一道试题：如图,在△ABE中,BA=BE,C在BE上,D在AB上,且AD=AC=BC。（1）若∠B=40°,求∠BCD的大小;（2）过点C作CF∥AB交AE于点F,求证：CF=BD。     

数学问题与解答

761．已知日是锐角AABC的垂心，AD是BC边上的高，以AD为直径作圆分别交AB、AC于点E、F，EF分别交BH、CH于点M、N，求证：BE·CF=DM·DN．     

探索特殊平行四边形的条件问题

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形.近年来中考中,经常遇到探索—个四边形是矩形或是菱形或是正方形的条件问题.解答它们的关键在于灵活利用矩形的判定方法或菱形的判定方法或正方形的判定方法. 一、探索一个四边形是矩形的条件问题 ◆ 例1(2014年巴中市中考题)如右图,在四边形ABCD中,点H是BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E、F,连接BE、CF.     

运用全等三角形的知识解竞赛题

能够完全重合的两个三角形是全等三角形,它们的对应元素分别相等.应用这个性质解某些数学竞赛题,有时是很方便的.一、比较线段的大小例1如图,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,则().A.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CFFG,∴BE+…     

中考中的四边形新题赏析

一、与平行四边形有关的问题例1(2012福建南平)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,若点E,F分别在边BC,AD上,连接AE,CF,请再从下列三个备选条件中选择添加一个恰当的条件.使四边形AECF是平行四边形,并予以证明.备选条件:AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD.我选择添加的条件是:(注意:请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中,画出符合要求的示意图,并加以证明)解析添加的条件可以是BE=DF(答案不唯一).证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=DF,∴AF=CE,即AF=CE,AF∥CE.     

借助三角形的垂心解题

<正>如图1,CF,BE是ABC的高,其交点H是ABC的垂心,则AD必定垂直于BC.证明如图1,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连结AH并延长交BC于点D.∵CF⊥AB,BE⊥AC,∴四边形BFEC为圆内接四边形,四边形AFHE为圆内接四边形.     

关于三角形有关比例的两个定理及应用

定理1 △ABC中,AD是中线,F为AD上任一点、BF交AC于E,若AE(?)EC=m,则AF:FD=2m.证 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则AF:FD=AE:EG.∵ D为BC中点,∴AF/FD=AE/((1/2)EC),即AF:FD=2m.定理2 △ABC中,D为BC上一点,E为AC上的一点,AD、BE交于点F,若AE:EC=m,CD:DB=n,则AF:FD=m(1 n).证明 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则     

一道国家集训队选拔考试题的简证

题目　在锐角△ABC中 ,AD是∠BAC的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .( 2 0 0 3,IMO中国国家集训队选拔考试 )图 1证明 :如图1 ,作DG′⊥BE于G′ ,AM⊥BC于M ,连结FG′.记∠ABC =α ,∠ACB =β,则BM =AMcotα ,CM =AMcotβ.由已知得BF =DFcotα,CE =DEcotβ ,DE =DF ,AF =AE .故 BFCE=tanβtanα=BMCM.因此 ,BF·CM·AECE·BM·AF=1 .在△ABC中 ,由…     

梅氏定理在三维空间的推广

平面几何中,有一个关于点共线的著名定理: 梅氏(Menelaus)定理设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA所在直线上的点(不同于顶点),则D、E、F共线的充要条件是: AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在同一个平面内,有人已将它的必要性