巧用旋转 由静化动

<正>观看了山丽娜老师的直播课《旋转的再认识及应用》,受益匪浅.观察图中变量与不变量的关系,通过不变量构造旋转前后的两个图形,再根据旋转的性质解题,可以事半功倍．构建模型基本模型：正方形模型,如图1;等腰三角形“手拉手”模型,如图2．基本思想：转化思想,即通过旋转将条件分散的不规则图形转化为条件集中的规则图形．     

旋转的考点透视

旋转与日常生活的联系极为紧密.在中考中,主要考查旋转的概念及性质,中心对称图形的判断及中心对称图形性质的应用,利用旋转、平移、轴对称设计图案等. 考点一旋转的概念及性质 [考点解读]旋转的三要素:旋转中心、旋转角度、旋转方向.旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角;③旋转前后的图形全等. 例1 (2012年温州卷)分别以正方形的各边为直径向其内作半圆得到的图形如图1所示.将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数是_____度. 解:旋转中心是正方形对角线的交点,两条对角线的夹角为90°,旋转角的最小度数是90 °.故答案为:90.     

例谈图形的旋转在解题中的应用

旋转是图形的一种重要变换.在实际解题中,若我们能恰当地运用图形的旋转变换,往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果.请看下面几例.图1例1　如图1,将长方形ABCD绕点A逆时针旋转90°后得到新长方形AEFG,试求∠FAC的度数.解析　根据图形旋转的特征,可知∠ACD=∠GFA,又AE∥FG,所以∠GFA=∠FAE,所以∠FAE=∠ACD.在△ACD中,由∠ACD+∠CAD=90°,所以∠FAC=∠FAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD=90°.例2　如图2,分别以正方形ABCD的边AB,AD为直径画半圆,若正方形的边长为a,求阴影部分的面积.图2　　　　　　图3　　　　　　…     

利用正方形的对称性解题

正方形是一种比较特殊的图形,它不仅是特殊的矩形,又是特殊的菱形,身兼二者性质.在对称性方面也如此,既是轴对称图形,对称轴有4条;又是旋转对称图形,最小旋转角为90°,同时又是中心对称图形.利用它的对称性可较好地解题.例1已知:如图1,正方形ABCD边长为4,AC是其一条对角线,求图中阴影部分的面积.观察到每个阴影部分的面积都不容易求,注意到AC是正方形的一条对称轴,可将阴影部分的面积对称到一起,构成△ADC或△ABC,这时阴影部分面积=正方形面积的一半=4×4÷2=8.图1图2例2已知:如图2,在正方形ABCD中,P为对角线AC上一点,过P作PE⊥A…     

四个方面搞定旋转

旋转变换是图形变换的一种,在学习时很多同学感到没有抓手,不知学什么、怎样学.在这里从以下四个方面谈谈旋转变换和旋转变换在解证几何题中的运用.一、旋转变换的定义将平面图形绕这平面内一个定点P旋转一个定角α,这样的变换叫旋转变换,点P叫旋转中心,α叫旋转角.二、旋转变换的性质1.旋转前后图形全等,旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等;2.旋转变换的对应直线的夹角等于旋转角;3.旋转中心的对应点是自身.三、确定旋转中心和旋转角的基本方法旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能是把分散的条件相对集中,     

数学思维方法ABC——变换思想(4)

几何变换中还有应用广泛的旋转变换,通过旋转可使研究对象位置变动,达到相对集中、便于研究的目的.如图形本身具有旋转对称性,则有利于问题的研究. 例1 如图1 过正方形中心O的两条互相垂直的线l1,l2将正方形分成四部分     

共顶点四边形旋转之不变量

<正>纵观各地中考试题,四边形旋转是几何压轴题的热点.下面向同学们介绍其中一个热点类型——共顶点四边形旋转模型.一、真题再现,感悟旋转例（2021·湖南·湘潭）在数学活动课中,小辉将两个正方形放置在直线l上.如图1,他连接AD,CF,经测量发现AD=CF.如图2,若将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,试判断AD与CF还相等吗,请说明你的理由.     

说说旋转变换(初二、初三)

将平面图形F1绕定点M旋转一个定角a,得到图形F2,这就是旋转变换。在旋转变换下,旋转前后的图形全等,旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上。     

旋转的考点透视

正旋转与日常生活的联系极为紧密.在中考中,主要考查旋转的概念及性质,中心对称图形的判断及中心对称图形性质的应用,利用旋转、平移、轴对称设计图案等.考点一旋转的概念及性质【考点解读】旋转的三要素:旋转中心、旋转角度、旋转方向.旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角;③旋转前后的图形全等.例1(2012年温州卷)分别以正方形的各边为直径向其内作     

探究旋转变换 感受数学之美——2005年中考旋转变换试题一览

新课标中“旋转变换”,是保持两点间距离不变的变换。通过旋转变换后,往往能感受到图形变换的乐趣和价值。下面列举2005中考旋转变换试题几例, 供大家赏析。例1 (2005年南京市)在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如:正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合(如图),所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°。 (1)判断下列命题的真假(在相应的括号内填上“真”或“假”)。①等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°。( ) ②矩形是旋转对称图形,它有一个旋转角为     

完美正方 巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法

以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中,证明线段、角或面积之间的关系,此类题目常见于竞赛和中考题中,根据已知条件,通过仔细的观察和分析,充分利用正方形边角的性质,通过旋转平移等变换,找出全等三角形,巧妙构造基本图形,是解决这类问题的有效手段.1利用旋     

变一变 精彩现

<正>真题呈现引例（2022·江西）某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P=90°,∠F=60°）的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况.（已知正方形边长为2.）如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,     

旋转中的不变关系

<正>平面图形经过旋转,产生了相等的线段、相等的角和全等三角形,这是旋转的不变性.其中,对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角;旋转前后两个图形全等.可见,在旋转中无论旋转角度如何,一定存在已有的或隐蔽的全等三角形,从而可发现和证明某些线段和角始终不变的关系(数量和位置关系).因此,添加必要的辅助线是解题的关键.本文就如何添加辅助线,找到并利用题中的不变关系解题,谈谈几点认识.例1 已知正方形ABCD与正方形CE     

动中觅静寻突破 多重视角探本质——一道中考试题的解法探究与感悟

<正>当学生在解题过程中感觉无从下手时,若他们能从动态图形中抓住“瞬间”位置,并从中寻找到合理的图形特征及数量关系,便能快速找到解题的突破口.本文以2023年广东省中考数学第23题为例,探索如何巧用瞬间位置寻找解题的突破口,并在此基础上开展多解探究.一、试题呈现如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图2,将正方形OABC绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<45°),AB交直线y=x于点E,     

旋转的考点透视

旋转与日常生活联系密切.在中考中,与旋转有关的常考知识点主要有: 考点1 旋转的概念 [考点解读]图形旋转有三个要素:(1)旋转的中心(点);(2)旋转的方向;(3)旋转的角度.三者中有一个不确定,旋转的结果都可能不一样. 例1 (2012年南京卷)如图1,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE=CF,连接AE、BF.将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF,旋转角为α(0°＜α＜180°),则α=____.     

构造正方形(初二、初三)

由于正方形图形美,因此它具有其它图形难以替代的作用,若能适当挖掘题设中的条件,展开联想,构造出相应的正方形,将会使解过程简捷明快,生动有趣.例1 如图1.在等腰直角△ABC中,AB=1,∠A     

例谈有关正方形网格题的探索

正方形网格不但是一种有效的解题工具,也是一种很好的编题图形.应用网格的特点和隐含条件,可以编出一大批关于无理数、关于图形的,有丰富变化的,有实践性、应用性的题目.可以考查图形的平移和旋转、相似和位似、轴对称和中心对称等作图操作探究的功能;利用正方形网格还可以以格点在几何图     

探索旋转中一类有趣的相似问题

<正>图形的相似是初中数学教材中非常重要的内容,在中考数学中的也占有相当的比重.这里,例说旋转中一类有趣的相似问题.以下几个有趣的问题.一、基于特殊四边形的旋转1.问题探究已知正方形ABCD,把直角三角板的直角     

八年级数学测试题

一、填空题1 .把一个图形绕着某一点旋转°,如果它能与另一个图形 ,那么就说这两个图形关于这个点中心对称 ,这个点叫做.2 .关于中心对称的两个三角形是 ,两个全等三角形一定成中心对称吗 ?.3 .在你所学过的大写英文字母中 ,通过绕某点旋转 1 80°可以与自身重合的字母有,通过绕某点旋转 1 80°可以互相重合的字母有和 .4.正八边形绕其中心至少要旋转度才能与原图形重合 .5.把一个边长为a的正方形沿一边所在的直线方向平移a个单位而得的图形与原图形构成的图形是形 .6.把直角三角形绕着斜边的中点旋转度后与原图形组成长方形 .7.如图是同学…     

利用旋转变换,寻找求解正方形的解题途径

把图形F绕定点O按一定方向旋转一个角度θ而得到另一个图形F′的变换R称为旋转变换.特殊地θ=180°时,就得到关于O点的中心对称图形.在解题时,对于图形具有等边特征的几何题,常可通过旋转变换,使题设和结论中的相关元素相对集中到某一图形或重新组合成的图形之中,为沟通题设和结论、方便解题创设有利条件.有些正方形的问题,利用旋转变换求解相当方便.下面举例说明:例1　如图1,四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形,求∠AFB +∠ACB的值.解　将△HBF绕点H逆时针旋转90°,得△HSD ,则△HBS为等腰直角三角形,∠HBS =4 5°.由四边形A…