x＝f~（－1）（y）与y＝f~（－1）（x）是同一函数吗

ｘ＝ｆ~（－１）（ｙ）与ｙ＝ｆ~（－１）（ｘ）是同一函数吗庆阳一中白惠敏函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）是否表示同一函数？部分学生往往搞不清楚。为此，在教学中可引导学生深入理解函数概念，进一步掌握“函数概念是从定义域Ａ到值域Ｂ的映射”，决定函数的...     

浅谈反函数教学

反函数概念既是中学数学的重要概念,又是教学中的难点之一。考察其原因不外乎以下几点：一是对反函数的概念搞不清楚;二是看不到反函数的应用;三是弄不清反函数的性质。 一、正确理解反函数物概念是学好反函数的关键 根据新编教材,反函数定义如下： 一般地,设函数ｙ＝ｆ（ｘ）,其定义域为Ａ、值域为Ｂ,我们从式子ｙ＝ｆ（ｘ）中解出ｘ,得到式子,ｘ在ｆ中都有唯一位和它对应,那么式子就表示自变量ｙ的函数,这样的函数,叫做函数的反函数,记作 对此定义的理解要注意下面几个方面： （１）式子表示的含义是ｙ为自变量,ｘ为ｙ的函…     

函数y=f(x)、x=f-1(y)和y=f-1(x)的本质关系

函数ｙ＝ｆ（ｘ）（设它有反函数）和它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,以及对换ｘ、ｙ之前的反函数形式ｘ＝ｆ－１（ｙ）这三者之间的关系,一直有很多同学含糊不清,本文简单归纳如下：１．从方程观点看,ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝ｆ－１（ｙ）是两个同解方程,而ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ...     

函数值域的求法

一、观察分析法通过对函数的解析式或对应法则的观察分析求值域．例１求函数ｙ＝３ｘ＋１（ｘ∈Ｒ）的值域解：∵ｘ∈Ｒ,由幂函数的性质知３ｘ∈Ｒ,∴函数ｙ＝３ｘ＋１的值域为Ｒ．二、求反函数的定义域如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域上存在反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）...     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

互为反函数的图象的交点问题

互为反函数的图象的交点问题贵州瓮安一中周承欢用方程组ｙ＝ｘ，ｙ＝ｆ（ｘ）｛求方程ｆ（ｘ）＝ｆ－１（ｘ）的解、求ｆ（ｘ）与ｆ－１（ｘ）图象的交点，为什么有时无解、有时漏解呢？这是因为互为反函数的两个函数的图象，有的不相交，而相交的其交点不一定都在直线ｙ...     

f^—1[g（x）]与f[g（x）]的反函数

已知　　　,函数ｙ＝ｇ（ｘ）的图象与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称,则ｇ（３）等于 甲解：　ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３／ｘ－１,且由已知得ｙ＝ｇ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）互为反函数, 故ｇ（３）＝１１／３。选（Ｄ）。 乙解：ｇ（ｘ）与ｆ－１（ｘ＋１）     

用分段函数的几个结论解竞赛题

本文利用分段函数的几个结论，智解第十一届“希望怀”全国数学邀请赛的有关试题． 结论１若分段函数Ｆ（Ｘ）＝ ｆ（Ｘ）（ｘ ≤ ａ）存在反函数，则它的反函数可表示为Ｆ－１（Ｘ）＝ ｇ－１（Ｘ）（ｇ（Ｘ）的值域）． 例１（高一第一试题） ｘ２（ｘ≤０）函数ｙ＝２－Ｘ－１的反函数是 ２－Ｘ－ｌ（ｘ ＞ ０） 用当Ｘ≤０时，ｙ＝Ｘ２的反函数为 ｙ＝－Ｘ（ｘ≥０）； 当Ｘ＞０时，ｙ＝２－Ｘ－１的反函数为 ｙ＝－ｌｏｇ２（ｘ＋１）（－１＜Ｘ ＜ ０）． 故原国数的反函数是 １一Ｊ工ｋ＞０〕． Ｉ－－ｌｏｏＺ（ｘ＋１）（１＜ｘ＜…     

函数的性质

函数是高中数学教学的主线内容,应用函数的性质和函数观点解题,体现了一种解题策略：即将静态的数学问题放到一个动态的过程中去考察,将局部的放置于整体的环境中来解决．一、基本性质１．函数图象的对称性（１）奇函数与偶函数．奇函数的图象关于坐标原点对称,对任意ｘ∈Ｄｘ,都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）成立;偶函数的图象关于ｙ轴对称,对任意ｘ∈Ｄｘ,都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）成立．容易得知：奇函数、偶函数的定义域Ｄｘ必然关于坐标原点对称．（２）原函数与其反函数．原函数与其反函数的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．若某一函数与…     

我讲不定式极限

我讲不定式极限张正杰首先分析两个函数商的极限．若函数ｆ（ｘ），ｇ（Ｘ）在Ｘ→Ｘｏ时分别以Ａ，Ｂ为极限，且Ｂ≠０则；若Ａ≠０，Ｂ＝０则；若Ａ＝０，Ｂ＝０，则就不能由商的运算来确定，而称这种形式的极限为“不定式极限”．（课题的导入，从教学内容的联系出发，...     

例说寻找原型解数学题

本文试用寻找原型的思想来解决一些与抽 象函数有关的周期问题，供参考． 例１已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ （ａ为常数，且ａ≠０），求证：函数 １－ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）是周期函数． 分析：观察式子的特点，易知函数ｆ（ｘ）的 原型是ｙ＝ｔｇｘ，且ｔｇ（ｘ＋）＝，而４ × ＝π正是函数ｙ＝ｔｇｘ的周期，故我们可以猜 测４ａ为函数ｆ（ｘ）的周期． 证明：ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］＝ １－ｆ（ｘ＋ａ） ｆ（ｘ＋４ａ）二ｆ［（ｘ＋２ａ）＋２ａ］＝ 即ｆ（ｘ＋４ａ）＝ｆ（ｘ），所以函数ｆ（ｘ）是周 期函数． 例２…     

求最值问题的几种常用方法

最值问题是中学数学的重要内容之一。它涉及的知识面宽，往往需要综合数学学科各分支知识，解题方法灵活，因而学生在解题时常感到困难。在此本文针对求最值问题，谈谈在初等教学中常用的几种方法。１利用反函数求最值当一个函数的值域较难求，它的反函数又存在时，可根据反函数的定义域就是原函数的值域这一性质求最值。例１求函数ｙ的最值，其中［０，２］。解函数的反函数存在，由ｙ＝，得ｘ＝［０，２］，２解之得０≤ｙ≤当ｘ＝０时，ｙｍｉｎ＝０，当ｘ＝２时，ｙｍａｘ＝。２利用判别式求最值对于函数ｆ（ｔ）＝中的（ｔ）、（ｔ）只…     

函数的定义域和反函数

不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(…     

对一道高考题的思考

１９９６年全国高考（１５）题：设ｆ（ｘ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）．当０≤ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（７－５）＝（　　）（Ａ）０－５，（Ｂ）－０－５，（Ｃ）１－５，（Ｄ）－１－５．此题解法较多，这里不赘述．引起笔者注意的是对条件ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）的两种变形．将ｘ以ｘ＋２代换得ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝－〔－ｆ（ｘ）〕＝ｆ（ｘ）．（１）若将ｘ以－ｘ代换可得ｆ（２－ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）．（２）（１）表明ｆ（ｘ）是周期函数；结合ｆ（ｘ）为奇函数得到的（２）…     

函数方程的几种解法

函数方程的几种解法李品贤中学阶段的函数方程的一般解法，有以下几种：一、解方程（组）法，也称为变量代替法。例１．设ｆ（Ｘ）是定义在Ｒ上的函数且满足：ｆ（２ｘ—３）＝ｘ２＋ｘ＋１，求ｆ（ｘ）。解：设ｔ＝２ｘ－３，则由ｆ（２ｘ—３）＝ｘ２＋ｘ＋１，得所求函...     

利用y=f（x）与y=f^—1（x）间的关系解题

函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于直线ｙ＝ｘ对称，这是学生都非常熟悉的一个性质，但对它们之间的其它性质却知之不详，或者知而不会用．本文试图通过实例来阐明它们的用法．函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）性质间的关系如下：１．定义域和值域的互换性．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域和值域分别为ｙ＝ｆ－１（ｘ）的值域和定义域．２．同单调性．ｙ＝ｆ（ｘ）在某个区间上是增（或减）函数，则ｙ＝ｆ－１（ｘ）在相应区间也是增（或减）函数．３＊．同为奇函数或同为非奇非偶函数．注意偶函数的定义域若不是｛０｝，则它不存…     

函数f（x）＝x＋1x的一个应用

函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的一个应用雷正才（湖南省娄底一中４１７０００）我们知道，利用函数的单调性可以比较有关数值的大小，因而利用函数的单调性可以证明有关不等式．下面举几例说明在不等式的证明中函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的应用．命题函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ在区间...     

配对原理(映射法计数)

(本讲适合高中 )1　知识与方法定义 1　设Ｘ和Ｙ是两个集合 (二者可以相同 ) ,如果对于每个ｘ∈Ｘ ,都有惟一确定的ｙ∈Ｙ与之对应 ,则称这个对应关系为Ｘ到Ｙ的映射 ,记为ｆ∶Ｘ→Ｙ .这时ｙ=ｆ(ｘ)∈Ｙ称为ｘ∈Ｘ的像 ,而ｘ称为ｙ的原像 .特别地 ,当Ｘ和Ｙ都是数集时 ,映射ｆ称为函数 .本讲主要介绍有限集上的映射及其性质 ,这在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广 ,是参赛者必不可少的预备知识 .这里 ,我们用 |Ａ|表示集Ａ的元数 .定义 2　设ｆ为从Ｘ到Ｙ的一个映射 .( 1 )如果对于任何ｘ1、ｘ2 ∈Ｘ ,ｘ1≠ｘ2 ,都有ｆ(ｘ1)≠ｆ(ｘ2 ) …     

对不定积分概念的进一步探索

一、问题的提出 高等数学教材中,把函数ｆ（ｘ）的全体原函数（如果存在的话）组成的函数族定义为函数ｆ（ｘ）的不定积分,记为∫ｆ（ｘ）ｄｘ。且若ｆ（ｘ）。连续,Ｆ＇（ｘ）＝ｆ（ｘ）。时,则∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋ｃ（ｃ为任意实常数） 以下记为：∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋ｃ　　ｃ∈ｋ（ｋ为实数集） 然而不定积分的概念到底是什么呢？ 首先,∫ｆ（ｘ）ｄｘ不是通常的初等函数。 例如： 再分部积分２＋ 上述等式按不定积分定义去解释是成立的,但若将它看成初等函数,则会引起谬误：０＝ １＝ ２＝… 因此不定积分不是初等…     

Gauss求积公式的误差分析

本文考虑利用Ｇａｕｓｓ求积公式Ｑｎ（ｆ），ｎ∈Ｎ来逼近定积分Ｉ（ｆ）＝ｗ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ。其中权函数ｗ（ｘ）＝Ｗ（ｘ）／ｐ（ｘ），ｐ（ｘ）＝（２ｂ＋１）ｘ２＋ｂ２，ｂ＞０和Ｗ（ｘ）＝（１－ｘ）α·（１＋ｘ）β＝，α，ｎ＞１。误差函数Ｒｎ（ｆ）＝Ｉ（ｆ）－Ｑｎ（ｆ），在某些解析函数空间是连续的。对于满足限制条件的权函数，我们得到了计算误差函数Ｒｎ（ｆ）的明显表达式。若α＝β＝和ｎ＞１时，若和α＝β＝和ｎ＞１时，若和α＝－β＝和ｎ＞２时，