斯特瓦尔特定理及其应用

斯特瓦尔特(Stewart)定理一般人了解甚少,但它很有用,尤其是在求三角形的有关线段时,利用它特别方便。1.斯特瓦尔特定理及其推论     

斯特瓦尔特(Stew αrt)定理及其应用

在新颁发的初中数学竞赛大纲中,斯特瓦尔特定理(以下简称斯氏定理)被列为考试内容.它是三角形中的一个重要的定理.在近几年的初中数学竞赛中,与之相关的题目不少.熟练掌握灵活运用、斯氏定理能使     

斯特瓦尔特定理的一个应用

本文给出斯特瓦尔特定理的一一个应用,通过两道例题的解答,让读者体会该定理的应用技巧．     

余数定理和Hamilton—Cayley定理的推广

通过本文的论征,主要推广了余数定理和Hamilton—Cayley定理的结论,同时还揭示了Hamilton—Cayley定理与数α是一元多项式f(x)的根的充要性定理之间的联系,他们都是同一个定理的特殊情形。     

“三线定理”及Hadamard“三圆定理”新证

“三线定理”和Hadamard“三圆定理”是函数论中极为重要的两个定理,在很多文献中给予了证明,但其证明单一繁琐且不易接受,对三线定理一般要借助于Phragmen——Limdelōf定理(因此不少人称该定理为Phragmen——Limdelōf定理的推论),对Hadamard三圆定理要先构造函数φ(Z)=Z~λf(Z),然后利用最大模原理。本文分别给出这两个定理的两种证明,且证明较简洁。     

切线判定定理证明注记

现行初中数学课本《几何》第二册的5·7节中由直线和圆的位置关系的定理的(2)—圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切〔以下简称定理(2)〕,引出了切线的判定定理——经过     

Hamilton—Cayley定理的应用

一般线性代数的教科书或参考书中Hamilton—Cayley定理(以下简称H—C定理)都是作为矩阵的特征多项式的一个重要性质来给出的。本文想从以下三个方面略谈一下这个定理的应用。为此,先简述 H—C定理:设A是数域P上的一个n×n矩阵,E是n×n单位矩阵,f(x)=|xE-AJ|是A的特征多项式,则f(A)=0。     

几个重要定理的思考

本文在梅涅劳斯定理、塞瓦定理和笛沙格定理分别给出判断诸点共线或诸线共点准则的基础上。首先探讨了塞瓦定理与笛沙格定理的一致性;接着分析研究了塞瓦定理和梅涅劳斯定理的统一性,并给出这两个定理的对立统一形式——[M—C]定理。又进一步揭示了[M—C]定理与射影几何中的帕斯卡定理和他成对偶的布列昂雄定理(包括退化的情形)之间的内在联系,从而形成了这些重要定理的完整体系。     

柯西定理的新表述和新证明

从1825年柯西定理创始,到1971年迪克松给出了同调形式的柯西定理一个简短的证明为止,柯西定理经历了由原始形式—精密形式—同伦形式—同调形式等不断深化的近一百五十年的漫长的历史。柯西定理的原始形式是1825年由柯西(A.L.Cauchy)本人给出的。到了1884年—1900年,     

对“微积分基本定理”的认识和理解

微积分基本定理(又称牛顿一莱布尼兹公式)是微积分中最重要的定理,它是由英国数学家牛顿(1642—1727)和德国数学家莱布尼兹(1646—1716)在十七世纪首先发现的,被命名为牛顿一莱布尼兹公式。它的出现标志着微积分的完成,成为数学发展史上的一个里程碑。定理命名中的“基本”二字,已表明了它在微积分中的地位,因此,对每个学习微积分的人来说。都应该对建立微积分基本定理的历史有所了结,进一步加对定理的认识和理解。本就此问题作一些相应的介绍。     

关于第二积分中值定理的中值ζ的研究

本文对Riemann积分第二中值定理的中值ξ进行了探讨,使之属于一个开区间。文章给出了Riemann—Stieltjes积分第一中值定理: 中的ξ(中值)是属于开区间(a,b)的。本文将证明Riemann积分第二中值定理中的ξ(中值)也有这个结论。     

微积分基本定理浅谈

微积分基本定理通常叙述为: 若f(x)在[a,b]上连续,则 〈1〉Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,即Φ’(x)=f(x)x∈[a,b]; 〈2〉若F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函数,则 integral from n=a to b(f(x)dx=F(b)-F(a)) (称为牛顿—菜布尼兹公式) 此定理就其对微积分的重要性来讲,称之为基本     

微积分基本定理及其应用

1　微积分基本定理的内容。定理一 :若函数ｆ(ｘ)在区间 [ａ ,ｂ]上连续 ,则变上限的积分函数Φ(ｘ) =ｘａｆ(ｔ)ｄｔ在 [ａ ,ｂ]上可导 ,且Φ′(ｘ) =ｆ(ｘ) (ａ≤ｘ≤ｂ)定理二 :若函数ｆ(ｘ)在区间 [ａ ,ｂ]上连续 ,又函数Ｆ(ｘ)为ｆ(ｘ)在 [ａ ,ｂ]上的一个原函数 ,则ｂａｆ(ｘ)ｄｘ=Ｆ(ｘ) ｂａ=Ｆ(ｂ) -Ｆ(ａ)证明 :(略 )现在的教材中多只将定理二称为微积分基本定理 ,其实严格地应将定理一、二合称微积分基本定理。此外 ,微积分基本定理还有另一种表述形式 ,本文不作叙述。2　微积分基本定理的重要意义。2 .1　定理把导数、微分、不…     

Cauchy—Schwarz定理的一种新证明

在线性代数中Cauchy—Schwarz定理是这样的:设x,y∈C~a(复空间)则恒有||(x,y)||≤||x||||y||.等号只有在x和y线性相关时成立。(1—2)众所周知,该定理可以借助内积的非负性或Hermite齐式正定和半正定的充要条件证得,这里作者打算介绍偶得的一种新证法。     

关于Liouville定理的讨论

Liouville定理是复变函数论中一个重要定理,在讲好Cauchy积分定理和Cauchy积分公式两个基本定理后即可得到。该定理的叙述和证明如下: Liouville定理 设f(z)为整函数(即为对Z的所有有限值为正则的函数),若f(Z)有界(设界为M),则f(Z)必为常数。     

一个定理证明的完善

在刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》〔Ⅰ〕(以下简称《讲义》)§2.4中,定理7(柯西收敛准则)充分性的证明是不够完善的,从理论上讲是有缺陷的.鉴于《讲义》发行面广,既作为高等师范本科与专科的教材,又作为高等理科院校的函授教材及高等教育自学用书,特别是从1987年起又被选作卫星电视教育、中学教师培训教材,故指出其缺陷,完善其证明是很有必要的。现将定理7及充分性证明摘录如下.定理7(柯西收敛准则)极限(?)(x)存在的必要充分条件是.对任意ε>0,总存在δ>0,对任意 x′与 x″,当0<|x′—a|<δ与0<|x″～a|<δ时,有|f(x′)—f(x″)|<ε证明充分性已知对任意ε>0,总存在δ>0,对任意 x′与 x″,当0<|x′—a|<δ与0<|x″～a|<δ时,有|f(x′)—f(x″)|<ε.     

微分中值定理的教学体会

微分学中,费尔马(Fermat)定理、罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理因为都涉及导数在给定区间内的一个中间值,因此把这些定理叫做微分学中值定理。它们是微分学的理论基础。 费尔马定理 若函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0,δ)内有极值,且在点x_0可导,则f(x_0)=0,它的几何意义是如果曲线y=f(x)在点x_0处具有极值且有切线,则切线必为水平的。由费尔马定理可以导出下面的罗尔定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=0。     

塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,     

中值定理在高等数学解题中的应用

微分中值定理是微分学中非常重要的定理,它包括罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。其中,拉格朗日(Lagrange)中值定理是核心,罗尔(Rolle)中值定理是其特殊情况,柯西(Cauchy)中值定理是其推广,它们共同组成了微分学的理论基础,在微分学中占有很重要的地位,是数学研究中的重要工具之一,微分学的很多重要应用都建立在这个基础上,并且应用也越来越广泛。     

浅谈微分中值定理的教学

微分中值定理是微分学的基本定理。数学分析教材通常以罗尔(Rolle)定理为基础,通过引进适当的满足罗尔定理的辅助函数,便能证得拉格朗日(lagrange)定理与柯西(Cauchy)定理。然而教学中学生总感到引进罗尔定理太突然,证明拉格朗日定理与柯西定理的辅助函数很难想到,不易掌握。为了克服上述困难,笔者在讲授微分中值定理时,采用下述处理方法,以供参考。一、引子如果函数y=f(x)在某点x可微,则在变量有一个微小改变△x时,引起的函数的改变量△y有一个与△x成正比的线性主部△y=f(x+△x)-f(x)=f′(x)△x+o(△x)。这