关于勾股弦数组某些性质的再证明

如果x、y、z方程x~2+y~2=z~2的一组正整数解,则我们把这组解叫做勾股弦数组,其中x、y叫勾股数,z叫弦数。在《数学通报》1979年第5期的“勾股数组的一个性质”一文中,曾证明命题1 任一组勾股弦数中,必有含因子3的数;必有含因子4的数;必有含因子的5的数。另在《数学通讯》1981年第6期的《答问几则》栏中,曾证明命题2 在任一组勾股弦数中,勾股数之积不能被12整除。鉴于上述二文的证明均较繁,本文拟对上述命题给出一个较为简捷的证明。不失一般性,可假定(x,y)=1,那么x、y必为一奇一偶,不妨设x为偶,则x、y、z必可写成如下形     

关于勾股弦数

文中探讨了自然数范围内的勾股数的结构,并给出了通项公式。     

勾股弦立方不等式的证明

命题:直角三角形弦的立方大于勾股立方和. 设勾,股,弦分别为a,b,。,则需证。,)as+b3。证1:’.’ aZ+bz)Zab,3a“b“>aZb“, :,3a‘b’+3a“b峨)Za’b“. .,. a6+3a4b2+3a2b4+bs )a”+Za“b“+b”, 即(aZ+bZ)“>(a3+b3)2,又c名=a“+b“, 亦即e3>a“+乙“. 证2:因e>a,e>b,故 cs=c(a忍+bZ) >a,aZ+b,62=a3+b”. 证3:如图,分别以a,b,c为棱作立方体.那么, bZ=岔e, aZ=ee- 而b3相似文献   

数学中的“勾股弦数”

三个自然数,如果其中两个自然数的平方和,恰等于第三个数的平方,这样的三个数叫做"勾股弦数"。     

从小结勾股弦数规律谈起

新的《数学课程标准》的基本理念是“人人都获得必须的数学，人人学有价值的数学”．伴随着新课程标准的实施，其基本理念对近年来中考数学命题的改革产生了重大的影响．综观近几年中考试题，在考查学生的基础知识和基本运算能力、基本技能的同时，加强了对学生的思维能力和空问观念的考查，注重联系社会实际和学生生活实际，突出考查学生观察研究及运用数学知识分析和解决问题的能力．     

奇妙的勾股数

"兴趣是最好的老师。""一个教师最大的本事就是让他的学生爱上他所教的学科"。为了让学生爱上数学,每位教师都绞尽脑汁,煞费苦心,培养学生兴趣的方法也多种多样,巧妙不同。利用数学综合实践活动这一平台,培养学生对数学的兴趣不失为一种好的途径。下面,笔者从两个方面举例介绍如何培养、激发学生的兴趣。     

勾股弦数的表法及一个性质

不定方程x~2+y~2=z~2 (1)的正整数解x=a,y=b,z=c,称为一组勾股弦数a、b、c. 《数学通报》1979年第5期,《勾股数组的一个性质》一文论证了一个有趣的性质: 勾股弦数a、b、c中,必有含因子3的数,必有含因子4的数,必有含因子5的数。     

勾股计算尺

勾股定理是:“在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。”它的数学公式为:a2+b2=c2。我根据勾股定理,设计制     

勾股多项式

在整数环Z中,通常把满足不定方程x~2+y~2=z~2的正整数解(x_0,y_0,z_0)叫做勾股数,我们可把这一问题引申到实数域R上的多项式环R[t]中进行讨论,相应地得到了有关勾股多项式的有趣结论。     

一个奇妙的连续数组

最近,印度数学家发现一组具有奇妙特性的连续自然数:从956起到968为止一共13个自然数。它们奇妙在哪里呢?揭密步骤如下: 1.先算出每个数的平方,例如956~2=913936。     

奇妙的“勾股数”

一、研究目的与意义通过推理、猜想、证明,找出满足勾股定理的自然数的规律,培养深入思考问题的习惯. 二、学习流程在初中时我学习了“勾股定理”后才知道古人总结的“勾三股四弦五”,到了高中学习三角函数时,老师又告诉我们一些规律:5~2+12~2=13~2、6~2+8~2=10~2.看着这几组数,我脑海中闪过一个疑问:这究竟是巧合还是规律?是不是每一个正整数都能找到与它对应的     

趣谈勾股定量

我国古人很早就发现了“勾三股四弦五”,当时把较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦,“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中,如果勾为3,股为4,那么弦为5,所以我国称反映勾、股、弦长度之间的数量关系的一个命题为勾股定理,西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。     

说古道今话勾股

2002年,世纪之交的中国将迎来第二十四届国际数学家大会,这是中国数学界的一件盛事! 首届国际数学家大会于1897年在瑞士苏黎世举行,此后除两次世界大战期间中断过,一般四年一届,会上邀请一批具有国际声望的数学家分别作1小时或45分的学术报告,并颁发菲尔兹奖(这是数学上的最高奖之一)。为迎接这次数学盛会,增进同学们对数学和数学家的了解,从本期开始,本刊将特辟“数学史话”栏目,陆续介绍数学和数学家的故事,相信同学们一定会得益匪浅。     

勾股容圆

“你知道勾股容圆吗?”一位初中生回答说:“不知道.但我喜欢勾股定理.”“你能证明勾股定理吗?”他想了想,怪不好意思地说:“不会.不过,这是老师的事.”……还基于其他原因,迫使我写《勾股容圆》这篇短文.     

学勾股,用勾股——学习勾股定理之我见

勾股定理是几何学中最著名的定理,也是世界上很多民族首先认识的数学定理.我国著名数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有人,我们可以发射一种关于勾     

谈勾股图

在初中数学教材.“勾股定理”一节中,运用勾股图(如下图)直观地证明了勾股定理:“在直角三角形中,两条直角边平方的和等于斜边的平方.用式子表示为a~2+b~2=c~2.”有的同志提出:勾股图中,最外层的正方形A_1B_1C_1D_1,其用意何在?下面就来介绍这个问题的概况.     

勾股不等式的应用

本文介绍的勾股不等式的证明很简单,它在应用中却很方便。命题若a≥0,b≥0,c≥0,且a~2+b~2=c~2,则 a+b≤2~(1/2)c (1) 当且仅当a=b时取等号。证明据题设,利用a~2+b~2≥2ab,得 (a+b)~2=a~2+b~2+2ab≤2(a~2+b~2)=2c~2 ∴ a+b≤2~(1/2)c 显然,当且仅当a=b时等号成立。(证毕) 当a,b,c均为正实数时,由a~2+b~2=c~2知a,b,c组成一个直角三角形的三边,故称(1)为勾股不等式。     

勾股逆定理的推广

用导数方法对勾股逆定理进行了推广，得到了如下结果：在△ABC中，若△a~x＋b~x＝c~x，其中x∈R－［0，1」，则1）当x∈（－∞，0）∪（1，2］时，Cmax＝；2）当x∈［2，＋∞）时，Cmin＝．此外，给出了上述结果的两个推论及其应用．     

勾股逆定理的推广

用导数方法对勾股逆定理进行了推广，得到了如下结果；在△ABC中，若a^x b^x=c^x。其中x∈R-[0,1]，则 1）当X∈(-∞，0)∪(1，2]时，Cmax=arccos（1-2^2/x-1)；2)当x∈[2，┫∞)时，Cmin=arccos(1-2^2/x-1)．此外，给出了上述结果的两个推论及其应用。