方程(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)=k的一种解法

本刊84年第一期曾译介苏联《数学教学》刊登的解法.本文给出方程 侧ax+b士订‘e劣+房=无(1)的另一解法.不妨设无护0.将等式 (a劣+b)一(e劣+d)=(a一c)x+(b一己)两边除以(1)的两边:、而丁不了干、而丁万丁_a一C 无b一‘ 垂(1)十(2),两边平方即得二次方程.(2)4(a劣+b)二(罕·朴竺书二).例1解 (3).解方程侧3x十1一了:+4=1.今3)’袱一;份飞、钟叭‘:=5·验知:=5是原方程的根. 例2.解方程召矛丁牙二及+侧万恋万丽不了二3。 解等式(护一:一2)一(x2一3:+5)=2‘一7两边除以原方程两边,再与原方程相加,平方整理: 8劣2一1 12一19二0。解得:x,=一1,x:=…     

用函数性质解一类方程

定理设f(x)为单调奇函数,则方程f(ax+b)+f(x)一O与方程(a二十b)十x一O同解. 证明由f(一二)~一f(x),则方程厂(ax十b)+f(x)一。可化为f(ax+b)~f(一x)‘又f(二)为单调函数,f为一一映射,故f(ax+b)一f(一x)成立的充要条件是ax+b-一x.证毕. (编者按:只是在实数范围内同解.) 例1.解方程 (x+6)工,91+x‘,,‘+Zx+6=0.‘._’解f(x)一x,‘+x为递增奇函数.故有(x十6)+x一O,原方程有唯一实根x-一3. 例2.解方程 (Zx+1)(z+丫(Zx+1),+3 +sx(2+了石压不万)一0. 解令t一3x,则原方程变为(亏+‘)(“+ +,(z+丫砰不压):考虑函数f(t)=t(2+奇函数,原方程化为了砰…     

不定方程x~2+y~2=z~2的一种解法

一、不定方程护+犷一扩① 的自然数解 (1)设二、x+a、x+b(b>a)为方程①的一组解(字母都表示自然数。下同),则有 ‘2+(x+a),~(x+占)2② 解②,得 x=(b一a)士研Zb(b一a)因为材2b(b一a)>b一a,x取正值,于是有为盯(无剩余质因数时q,一1),同理设。剩余质因数的积为嘴(无剩余质因数时qZ二l),则k尹0,q,尹0,qZ尹0 于是由⑤⑥,可得~匆犷~峨~匆lq2⑦b己d‘|les才万Ilt {‘一“一十v俪吐不(‘’{’一‘+“一占+呀2占‘乙一“, t二二x+b=Zb一a十丫Zb(b一a)从而(I)式可表为 !X一‘(q,+Zq】“2’(”}’一乏(“‘+“ql“2’ tz=k(Zq了+Zq,q:+城) (2)x、y…     

关于asinx+bcosx=c的若干应用

高中代数(甲种本)第二册31页给出了!eo,(B一中)!形如cls汪x十乙cosx二‘的三角方程的解法,训eosZ(8+甲)+sin’(夕+ !c!=护乎不矛,’引入辅助角乡, a.。斌夕COSU=一万一育一甲甲丫一5111口= 犷a一卜口“-eos’(8一中)=了不今‘· b、/夕’十b“,将左边化积为了a’+乙’sin(、+口),两边同除以了a’+b’得s三n扛+8)- C丫护落.宁’原方程有解的充要条件是!下r笋币}、1.。、一二。二一”‘~一‘、,,~}、/护+bz}一’ 下面指出该方程的一些应用‘ 一、视sizix,eosx为万,夕,ax+b夕=c(}刘簇1,{引(D作为二元一次方程,用于证明有关三角条许等式. 例…     

用构模法求y=((x-a)~2+b~2)~(1/2)±((x-c)~2+d~2)~(1/2)的最值

本文通过例子说明上述无理函数最值的几种构模法. 例求函数y石砚石不万百的最小值. 解法1:(构造解析几何模型) 少=丫(二一。)’+(O功了+万厂可耳~而万而不丫%2+4原式配成 二尸刀+尸刀卜 求y的最小值,只要求马尸召+尸D,的最小值.将尸召、山尸刀1所在的两个面展成一个平面(图3),可见当点尸在连线BD,上时,PB+PD,取A得最小值是BD:二了丽r丁丽不=3涯\尸\①井酌 该式表示x轴上的动点P(x,0)与两个定点A(0,2)、B(3,一l)的距离之和,即y刻PAI+l PBI.由图l可见,当动点尸在连线AB上,即X二!AB3时,y的最小值是=办饱+3,=3涯解法2:(构造立体九何=…     

错在哪里?

不一定都满足题意, 题:在△ABC中,已知B=雌5o,“=2亿了,S=3+召丁,求e、b、才、C。 解:,.’S=士a·。。inB=告侧万。,.’.士了万‘=3+斌丁…。=侧万+侧丁 又由余弦定理得 b,二a“+cZ一ZaeeosB=12+8+4侧了一(了了+亿丁)·士了丁=20+4亿丁一12一4亿了=8.’.b二2侧丁。 再由正弦定理得 2亿丁_2召了 sinB sinAA(或B)一般有两个,应加检验。 木题正确答案是:2了了。A=CO。。C=c二侧万+侧万.b=75。题:a是何实数时, 戈义一2_一一孟十一一‘十X一艺劣 2丫+口x(x一2)二o,只有一个实数根,并求出这个根。解:原方程化为:2x2一Zx+4+a x.(x一2)=0,.…     

函数f(x)=ax+b~(1/2)+d-cx~(1/2)值域的又一新求法

求形如 f (x) =ax + b + d -cx(a>0 ,c >0 ,dc>-ba)的函数值域的方法很多 ,本刊文 [1]利用“双换元法”给出一种求法 ,阅后深受启发 .本文再给出此类函数的一种新的求法 ,具有简单易行的特点 ,更易为广大中学生所理解和接受 ,现介绍如下 .1　结论及证明定理　设 f1 (x) =ax + b,f2 (x) =d -cx,则函数 f (x) =ax + b + d -cx(a >0 ,c >0 ,dc >-ba)的值域为[[f1 ( x) +f2 ( x) ] m in,f1 ( dc +f2 ( - ba) ] .以下定理的证明过程 ,即给出了求 f (x)值域的一种方法 .证明 :(1)证 f (x)≤f1 (dc) + f2 (-ba)设λ >0 ,则由基本不等式 ab≤a + b2 …     

y=~(1/2)ax ~(1/2)ax~2 bx c(a>0)一类函数的值域

文〔1〕通过反例(xx 丫妥万一0)指出;用y~x十试了二万牙干厄的定义域(一co,1」U〔2, 当x妻一b2a时,,>、(2二十音) ︶一、少 二‘。7一a 一︻.云口一卜︸产b一护/甲"一2~.一,2b多弓丫a弋一万一 乙a b、十-万少~一 乙co)及解得的x~vZ一2Zy一3建立不等式料毛当x<一b2a时,y>丫万(一1或料刃,求出此函数的值域M一(一,晋,日(晋, \)是错误的;并用图解法了即求直线系y~一x十y(y为参数)与双曲线y一丫牙二石不厄(y)0)存在交点的条件),得出此函数的正确值域M一〔1,普)。〔2,?)·本文先剖析上述错解的错误原因,然后用代数方法…     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

初中代数综合测试题(2)

一、填空题(舟小题2分,共30分)1.犷丁一l的相反数是.丫2 l的倒数是_2.丫4的平方根是,算术平方根是3.近似数2.0万精确到位,有个有效数字.4.若=二兰并O 5,则忿的值为5.已知示 1)2=25,。lj)=12,则‘什l)=,‘卜b=6.方程2(2卜3)=l一2、与方程歇、二2(x l)(a为常数)有相同的解,则‘、7.方程丫、 l=2的根是8.计算:(一(15)2 (一示厂=,.已知函数、二于’乙 I,‘气x=()ll.J.二.当v=0时._二 10.已知、与厂一、成正比,日一当。=一l时,.、6,则当,二18时,,的值为_ 11.如果方程尸一3x l=0的两根之积与方程3护功,一6=0的两根之和相等.则左的仇为12.若力一…     

芜湖市一九八零年初中数学竞赛题和参考答案

叙述并证明相交弦定理的逆定理。B3了一”一侧“2+““1.解2.已知(略) 3 X=+了一“+了阮’ l丫一b一侧一占厂命则戈=A+B, x,二(A+B)3=A”+B”+3AB(A+B),.’理3十B3二一b十召沪不石污 +(一b一侧石「而几平j=一2b护+3欧十2b的值。令‘=’了一乙+侧石艺斗百3 3AB= _3(一b+侧乙布护)(一石一亿占“+a“一‘3=一n/﹀记求解允3二故原式一2’a一3a(A十B)=一2乙一3欺,二一Zb一3a戈+3ax+Zb=0。与。cB,一‘“AOZ=‘一52=譬二, 如图,A(0、6)、B(3、7)、C(7、5) 护一、.’.S=6+14十6十是园弧八召口上的三点,分面积几c刀土OX,求阴影部 (12分)2…     

不定方程1/x~2 1/y~2=1/A~2的解法

._.‘_,_,一~一一1 .1本刊文Ll」,盯小花万性下十布~ ‘‘·7解法.现来讨论方程券十步一赤若仍用讨论方程告 告一贵的自然数解.的方法,讨论1一犷 方程券 设扩~数)方程为:一奈则有’矛 ,,,犷一A, 52(二、,为自然(下转37页)(上接21页) 1 A“ 尸 即AZ 11日一,万万一万一一不一不不 八“十S一21-二二二犷3 从而x值为: x~石不不7~石二不下户 但,只有当rs 尸构成完全平方数时,x值为自然数,可对A~sr的r和:,并非好找. 现给出另一种方法: 一L一一1._11、,,,、,,,。。 对方程人十’汽二众,设(x,y,A)一d(d为 .’J了J曰扩’犷A“’~“一’“’一’…     

对求根公式推导教法的改进

初中代数第三册教材中,对一元二次方程求根公式作配方法推导大致过程如下: 一元二次方程 axZ+bx+c=0(a井0)配方后化为 b、。又x十只-)“,~ 乙abZ一4ac 4az当bZ一4ac)0时,得一元二次方程 axZ+bx+c一O(a半0)求根公式的推导。大家不做除法,对这个方程配方。 生:(板演)a二2+b二+‘=O(a并0)两端乘以a,得 (ax)2+abx十ac一O夕一4 一一护︻4 + X a占一2 b.{歹二4益.丫夕二4及云X十石一土人J—一士—币~~。 乙口V 4a一任a-化为:(ax)2+2一ac,即 b、。又ax十石)“~ ‘bZ一4ac 一b士、亿互二~4舀云一4a2师:非常正确,下面讨论解的情况,首先考虑这种…     

方程(x/a)~(1/2)+(y/b)~(1/2)=1的讨论

众所测方程周知,方程二告+y告子于+了十一,,二。于(。>。)表示的曲线,是抛物线的一段.据此,可推a>O,b>0)(1)也表示抛物线的一段.好共+存十1>。,故方程川黝于(摇+了哥一1卜(再+了哥,)一”,又形变为2了翼一卜普一誉.两端平方(由于2丫器+(卜含一誉,-卜(了含一了韵’>。,它又等价于/~20~‘J1兰了一一黑芝{了二罗戈U畏尧;x乓之a.夕2_Zx_2夕山,一n节广.一;,万-—一—-一万-吕1—U D“aD(2)利用二元二次方程的不变量,0(封《b 可判断出(2)表示一条抛物线的一段.事实上,二联、。,由此可见(2)表示抛 a~V一1一ar一bl 一一1一abl一护1一b 一一1了1一…     

关于代数方程求解问题

本文讨论代数方程 a,x,+a。一lx“一1+…+a一x+ao=o的求解问题。(a。笋0)一、一次和二次方程方程:ax+b=O(a笋0)(1)叫一元一次方程。x一会日。方程()的根或解。也称数一影为方程ax+b白勺零值点 英国博物馆里收藏的,约三千六百多年前埃及的莱因特纸草书上,记下阿默士写的一串符号,相当于方程二(普十合+令+‘,=‘7算是世界上,有文字记载的最早的一次方程。 方程:ax“+bx+e=O(a祷0)(2)叫一元二次方程。 一b+了币2二飞石毛一Xl一—— 艺a一b一了一b:一4ac几艺一一Za叫做方程(2)的根或解。也称数点。一b+了一石了二丽于 2a一b一了b“一4ae2a为方…     

关于方程(ax~2+b)/(cx~2+d)=((-dx+b)/(cx-a))~(1/2)的一个定理

在发表文[1]时,编者按中提出了方法的适用范围、可靠性、步骤等尚可探讨.下述定理完满地回答了这一问题.定理方程(*)(ax~2+b)/((cx~2+d)=(-dx+b)/(cx-a))~(1/2)(a,b,c,d∈R,ad≠bc)与方程 (1)(ax~2+b)/(cx~2+d)=x(x≥0)和(Ⅱ){(a~2+cd)x~2+(ad-bc)x+d~2+ab=0,(ax~2+b)/cx~2+d≥0,a~2+cd≠0}等价.     

关于由f[f(x)]=x+1/x+2求f(x)的一个注脚

本lijl984年第4期《求函数解析式方法例说》一文指出了一个错误的例子:其次,为求符合条件(C)的另一函数,仿f。(x)=的结构,设厂(劝=b劣+c戈+a题:已知了〔厂(x)〕=(C),求f(劣).1 1l+工。十认甘(其中一“、‘为待定的常_玫)解’:仄f(幻〕二1+则f〔f(x)〕=b+c一abf(%)+a…f(工)==b+(c一ub)(戈+(a+b)(戈+u)+c 这个错误解答流衍校广。是借误的所用的反例是f(二)证明这个解答b+“一a宁=b一卜任一“o十a戈十a2丫+1X+3。到此,(c一ab)“不禁会想:这个反例是怎么找到的呢?还有没有别的反例呢?为此本人加上一个注脚。 /.c一ab\.u+b=灭b+。+b/十(。+6)*…     

2~k+2~k=2~(k+1)的应用

利用等式2k+2k=2K=1①可求形如xp+yq=zn（n,p）=1,（n,q）=1的不定方程的一组正整数解。例1、求方程y2＋x3＝z5的一组正整数解。解：…2、3的最小公倍数是6。既是6的整数倍又比5的整数倍小1的最小的k的值是24,即有224＋224＝225,(212)＋（28）3＝（25）5”y＝212’,x＝28,z＝z5即为要求的一组正整数解。例2、求方程z3＋x7＝y4的一组正整数解。解：3×7＝21,又3×21＝63＝64－1则有沙十3ee一岁,即（3z）’＋（3＊二（3”）‘”＝一户1二3’,歹一3‘’为要求的一组正整数解。例3、求方程＞十二二;的一组正整数解。U3M、Al＼jjq：l…     

数学练习题选(三)

求了1979一了不万而百百厄灰万丁丽而弓一了I可而十了丁不而万百而而不花丽了呈之值命x=了1979一了不石百万可砚而万丁丽而厄一了1979十了乏咬万石万百贾厄石石了二厄丽石厄,二2二2 x 1979一2杯19792一2x1979x20丽十2000“=2Xi979一2亿(而79一200石砰解则=3958一2义21”3916-而x<0,.’.x=一了感亏16.k为什么实数时,二次方程(妙一5左+6)x2十(3左一7)x+2二。的两根都是整数?解原方程可分解为〔(*一2)x+1〕〔(k一3)x十2夕=0..’.两根为x,= 12一掩’ 23一左.显然x飞今。,xZ斗。.由此得出2一1一=k一3一一里一, Xl当xl十l=士1,士2时,即x、=o,一2…     

新加坡数学试题选(1)

问题 1(a)将 8- 6x- x2表示为 a- (x+b) 2的形式并由此 (或者用其他方法 )求出 x为实数时函数 f(x) =8-6x- x2 的值域 .(b)若 f(x) =12 (2 x +2 -x)且 x>0 ,求 f-1 (x) .(c)解方程组 3x+7y=1 ,2 x2 +4y=3.问题 2(a)已知 sin(A+B) =2 sin(A- B) ,证明 tan A=3tan B.并由此求出当 A∈ (- π,π)时 ,方程 sin(A+30°)= 2 sin(A- 30°)的全部解 .(b)利用变量代换 y=8x,求满足方程 64x- 5(8x) +4=0的 x的精确值 .问题 3(a)某等比数列中 ,前 n项之和为 48,前 2 n项之和为 60 ,求这个数列的前 3n项之和 .(b)表达式 2 x3 +ax2 +bx+2能被 x+2整除…