费马点

数学上称到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点．它是这样确定的:如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对三边张角均为120°的点,是三角形的费马点．     

换个角度看费马点

费马定理是指:在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.(1)若△ABC的3个内角均小于120°,则这个三角形的费马点与三个顶点的连线正好平分其所在的周角.(2)若△ABC有一内角不小于120°,则此钝角的顶点就是这个三角形的费马点.     

“费马点”与中考试题

费尔马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点．     

一道“费尔马点”姊妹题的探究

费尔马点——就是在三角形内或边界上到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 其结论是：若三角形顶角不超过120°,则“费尔马点”就是对各边的张角都是120°的点．若三角形一个顶角等于或大于120°,则“费尔马点”就是最大的内角的顶点．     

最经济的路线(高一、高二、高三)

有这样一个问题: 三个乡村合办一所小学,大家共同出资.为了节约经费,希望修筑的从三个乡村到小学的道路的总长最短,那么这所小学的地址应选在哪里呢? 据历史考证,真正解决这个问题的人是数学家施坦纳.设三个乡村分别用A、B、C三点表示, 所求的点P称为△ABC的费马点.费马点的确定分两种情况: (1)若三角形的最大内角小于120°,则费马点P位于三角形内部,且该点与三角形三个顶点     

加权费马点及其性质

加权费马点与费马点既有相似点也有不同点.相似点是确定加权费马点的方法,以三角形的每一条边为底边,向外作以三边比为权重比的相似三角形,对应点连线交于一点,就是加权费马点;不同点是加权费马点在三角形内的条件,当原三角形的某个内角与权重比三角形对应的内角之和(共有三对)都小于180°时,加权费马点在三角形内,当其中一对角的和大于180°时,加权费马点在相应角的顶点上.     

"费马点"数学模型在中考中的应用

法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论: 结论1 三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.     

“费马点”数学模型在中考中的应用

<正>法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论:结论1三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.结论2三角形有一个角大于或等于120°时,费马点是钝角的顶点.中考主要考查结论1的应用,一般不涉及结论2.     

平面几何中的两个极值点及其应用

现行高中数学竞赛大钢,把费马点和三角形的重心列为两个重要的极值点,可见它们在数学竞赛中的地位非同小可.本讲对这两个极值点作一介绍,并举例说明它们的一些应用,供参考. 一、基础知识 1.费马点 在△ABC所在的平面内,使FA FB FC为最小的点F称之为费马点. 命题1 在△ABC,若max{A,B,C}<120°,那么与三边张角都等于120°的点F为费马点;若max{A,B,C}≥120°,那么最大内角的顶点为费马点. 证明该命题的基本思路是:任取异于F的点F′,证明FA FB FC≤F′A F′B F′C.可用旋转变换.也可用面积方法,这在一般的竞赛教材中都可以看到,不再赘述. ’ 说明:命题1曾被陕西省和前苏联选作竞赛题. 2.三角形的重心     

漫谈多边形内角和定理的证明

课本上证明多边形内角和定理的方法是：在ｎ边形内任取一点Ｏ,连结Ｏ与各个顶点的线段,把ｎ边形分成ｎ个三角形．这ｎ个三角形的内角和等于ｎ·１８０°,以Ｏ为公共顶点的ｎ个角的和是２×１８０°,所以ｎ边形的内角和是ｎ·１８０°－２ｘ１８０°＝（ｎ－２）·１８０°．如果让所取的Ｏ点随意变动位置,可得到如下几种证法．１．点Ｏ在一边上如图１,连结Ｏ与各顶点的线段,把ｎ边形分成（ｎ－１）个三角形,这（ｎ－１）个三角形的内角和为（ｎ－１）·１８０°,但以Ｏ为公共顶点的（ｎ－１）个角的和是一个平角,这个平角不属于ｎ…     

关于三角形两个特殊点的一类不等式

文[1]给出了ΔABC 特殊点(外心、内心、重心)与三角形三个顶点 A、B、C 所构成的三个小三角形的外接圆半径与ΔABC 外接圆半径之间的若干不等式,本文补充给出三角形的勃罗卡点、费马点的几个类似不等式,供参考.命题1 设 F 为ΔABC(最大内角小于120°)的费马点,ΔBFC、△CFA、△AFB 及ΔABC 的外接圆半径分别为 R_1、R_2、R_3、R,则     

常见“费马点”问题的分类探究

<正>几何最值问题种类繁多且形式多样,是近几年重庆乃至全国中考中的热点.其中"费马点"问题研究的是,在三角形内部存在一个到其三个顶点的距离之和最小的点,此点和为费马点.而对于初中数学中常见的"费马点"问题,并没有过多地使用其结论,而是利用研究"费马点"问题的方法,其实质就是通过旋转变换,构造三线段共线,利用"两点之间,线段最短"解决最值问题.本文将分类讨论各角不超过120°三角形的"费马点"问题,与大家分享交流.一、常见"费马点"问题     

关于费尔马点的又一个不等式

如果点F到△ABC三个顶点的距离之和为最小,则点F称为费尔马点。 我们已经知道,当△ABC最大内角小于120°时,F在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。 关于费尔马点,文[1]给出了: 定理1 设F是△ABC的费尔马点,点     

三角板与角的有关计算

三角板是同学们学习数学不可缺少的工具,我们使用的三角板是两个特殊的直角三角形．其中一个是等腰三角形,它的三个内角分别是45°,45°,90°;另一个三角形的三个内角分别是30°,60°,90°．学习了直角三角形的有关概念和三角形内角和定理后,将一副三角板拼在一起,构成某一图形,进行角度计算,不仅能提高我们的计算能力,而且有助于培养我们的动手操作能力和空间想象能力．现举例如下．     

三角板与角的有关计算

一副三角板是同学们学习数学不可缺少的工具。我们使用的三角板是两个特殊的直角三角形．其中一个是等腰三角形,它的三个内角分别是45°,45°,90°;另一个三角形的三个内角分别是30°,60°,90°．学习了直角三角形的有关概念和三角形内角和定理后,将一副三角板拼在一起,构成某一图形,进行角度计算,不仅能提高我们的计算能力,而且有助于培养我们的动手操作能力及空间想象能力．现举例如下：     

费马点与威森波克及匹多不等式

定理1 设△ABC内角不大于120°,则 a~2 b~2 c~2=4 3~(1/2)△ (x-y)~2 (y-z)~2 (x-z)~2,(1)其中a,b,c和△分别为△ABC的边和面积,x,y,z为△ABC的费马点到顶点A、B、C的距离。     

三角形的一个“十二点圆”

三角形的许多奇妙的性质中,有一个脍炙人口的“九点圆”,本文介绍三角形的一个“十二点圆”。命题不等边、非直角的三角形中,其三个顶点;垂心关于三边的三个对称点;三个内角的内、外角平分线与内角对边的中垂线的交点计十二点共圆。     

探求三点确定三角形的几何作图法

以不在同一直线上的三点为顶点,自然可以作出一个三角形．实际是三角形的三个顶点．本文讨论的问题是,如果三点不作为三角形的顶点,而是与三角形有关的其它一些特殊点,是否也能确定三角形？所谓“确定”是指：已知该三点的位置,可以作出相应的三角形来．三角形中的特殊点很多,本文例举若干种情形,对如何由这些特殊点作出相应的三角形作一些探讨．     

凸n边形带数的Fermat问题的初等证明

<正> 本文中,凸n边形内Fermat(费马)点是指形内到此n边形各顶点的距离之和为最小的点;带数的Fermat点是指形内到此n边形各顶点的距离分别与一组正数a_1,a_2,…,a_n乘积的和为最小的点。之所以这样相称的原因是法国数学家Fermat最先研究这个问题,不过他只研究了三角形的情形。即:在各顶点均小于120°的三角形内存在唯一的到各顶点距离之和为最小的点,这一点就是形内对此三角形各边的张角分别为120°的点。对一般凸n边形,有相应的命题。     

一番觉悟,一番长进

最近听了一节数学课,教学内容是"三角形的内角和". 执教教师先领着学生简要复习了平行线性质、定理的相关知识要点,随后提出了一个问题:"我们曾把三角形纸片的两个角剪下来,拼在第三个角顶点处,由此得出三角形内角和为180°,但这只是个试验,也会有误差,还不足以说明所有三角形都具有同样的性质.现在,我们能否利用已学知识来证明它呢?"