一道习题的错解及反思

有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗?     

如何由sinα+cosα的值判断α的范围

在直角坐标系xoy中,各象限的角平分线连同轴、y轴共八条射线,它们把直角坐标系分成八个区域,在各射线上标上相应的sinα+cosα的值,就可以很方便地判断出α的范围。如上图建立坐标系,设sinα+cosα=x,且α∈〔02π〕,A(1,1).〔结论1〕若1相似文献   

常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

│a·b│≤│a│·│b│在解题中的应用

向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的…     

对一道三角函数题的思考

一、问题的提出 看这样一个数学问题:若sinαcosβ=1/2,求cosαsinβ的取值范围. 一个典型的错误解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2. 它的错误原因在于找到的约束条件不全面,仅考虑了-1≤sin(α+β)≤1.许多参考书上给出的正确的解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2, 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(1-cosαsinβ) ∈[-1,1].     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

利用函数单调性解一类三角函数式取值范围问题

文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1　已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解　由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12…     

一道三角题的证法探究

【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此…     

三角问题的向量解法

对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】　若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c…     

一个正切不等式及其应用

定理　已知0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,若α+β<π2 ,则tanαtanβ≤tan2 α+β2 ;(1)若α+β>π2 ,则tanαtanβ≥tan2 α+β2 . (2 )当且仅当α=β时,上述两式取等号.证明　tanαtanβ-tan2 α+β2=sinαsinβcosαcosβ- 1-cos(α+β)1+cos(α+β)=cos(α- β)cos(α+β) -cos(α+β)cosαcosβ[1+cos(α+β) ]=- cos(α+β) [1-cos(α- β) ]cosαcosβ[1+cos(α+β) ].∵0 <α<π2 ,0 <β<π2 .∴cosα>0 ,cosβ>0 ,1+cos(α+β) >0 ,1-cos(α- β)≥0 ,从而可知,当α+β<π2 时,tanαtanβ-tan2 α+β2 ≤0 ,即(1)成立;当α+β>π2 时,tan…     

高一数学综合检测

一、选择题1.设sinα=-35,cosα=54,那么下列的点在角α的终边上的是().A.(-3,4)B.(-4,3)C.(4,-3)D.(3,4)2.下列四组函数f(x)与g(x),表示同一个函数的是().A.f(x)=sinx,g(x)=xsxinxB.f(x)=sinx,g(x)=1-cos2xC.f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2xD.f(x)=1,g(x)=tanxcotx3.tanx+tany=0是tan(x+y)=0的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到y=sin2x-π3的图象,只需将y=sin2x的图象().A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π5.若α、β∈0,π2,则().A.cos(α+β)>cosα+cosβB.cos(α+β)>s…     

用构造法解三角题

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…     

一类不等式证明中的“对称配偶法”

本文对一类具有“对称”性的不等式给出一种可行的证明方法——“配偶法”,先看几个实例: 例1:若α、β、γ∈(0,π),求证:sinα+sinβ+sinγ≤3sin(α+β+γ/3) 证:对任意的x、y∈(0,π)有: sinx+siny=2sin(x+y/2)·cos(x-y/2)≤2sin(x+y/2)(∵sin(x+y/2)>0) 所证不等式左边共三项,今配一项sin(α+β+γ/3),即成偶数项。     

一个含参不等式问题错解剖析

问题:已知不等式1-x2≥x t的解集是,求实数t的取值范围.错解:1-x2≥x t的解集是等价于1-x21-x1-x有解,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,设x=cosθQ∈[0,π],则t>sinθ-cosθ=2sin(θ-4π).因为θ∈[0,π],所以(θ-4π)∈[-4π,34π],2sin(θ-4π)∈[-1,2]·所以t>-1为所求·     

配方法的应用

一、化简、求值例1化简26√2√+3√+5√.解:原式=2·2√·3√2√+3√+5√=(2√+3√)2-(5√)22√+3√+5√=(2√+3√+5√)(2√+3√-5√)2√+3√+5√=2√+3√-5√.例2若x4+1x4=2,求x+1x的值.解:由x4+1x4=2,配方,得(x2+1x2)2=4,所以x2+1x2=2.再配方,得(x+1x)2=4,所以x+1x=±2.二、分解因式例3分解因式x4+4.解:原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).□郭安才三、解方程(组)例4解方程2x2+3y2-4xy-6y+9=0.解:原方程可变形为2(x-y)2+(y-3)2=0,∵2(x-y)2≥0,(y-3)2≥0,∴只有x-y=0,y-3=0时,原方程成立.解得x=3,y=3.故原方程的解是x=3,…     

2002高考（天津）试题别解

题目已知cos(α+π/4)=3/5,2/π≤α＜3/2π求cod(2α+π/4) 解法1由cos(α+π/4)=3/5,可得cosα-sinα=3√2/5…(1)再由sin2α+cos2α-1,得:2cos2α-6√2/5cosα-7/25-0,解得cosα=-√2/10或7√2/10,又π/2≤α＜3/2π,所以cosα=-√2/10,sinα=-7√2/10,所以cos2α=cos2α-sin2α=-24/25,sin2α=7/25所以cos(2α+π/4)=√2/2(cos2α-sin2α)=-31√2/50.     

关于三角函数和向量的测试题

一、选择题(每小题4分,共48分)1.下列函数值是负值的是()A.sin4B.tan8C.sin(-987°)D.cos(-18π10)2.若sin(π+A)=-12,则cos(3π2-A)的值为()A.-12B.12C.-3姨2D.3姨23.若｜cosx｜=cos(-x+π),则x的取值范围是()A.2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(kZ)B.2kπ+π2≤x≤2kπ+3π2(kZ)C.2kπ+π2相似文献   

解三角函数问题要注意隐含条件

例1已知tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根,且α,β(-π2,2π),则α+β的值为A.π3B.-23π或3πC.-π3或23πD.-23π错解∵tanα+tanβ=-3√3,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13√-43=√3.又α,β(-π2,2π),∴α+β(-π,π).因此,α+β=-2π3或π3.选B.辨析错在忽视了tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个负根这一隐含条件.正解∵tanα+tanβ=-3√3<0,tanαtanβ=4>0,∴tanα,tanβ为方程x2+3√3x+4=0的两个负根,即tanα<0,tanβ<0.又α,β(-π2,2π),∴α,β(-π2,0),α+β(-π,0).又tan(α+β)=tanα+tanβ1-t…     

借用方程巧解三角函数题

一、借用方程解三角函数求角题把角视为“元”,关键是建立以角为元的三角方程,然后解此方程.例1已知α缀(0,仔),β缀(0,仔),cosα+cosβ-cos(α+β)=32,求α,β.解析(解法一)本题难点在于用一个等式如何求出两个未知量.用方程的观点去分析,通过配方,利用平方数性质,可得一个方程组.由cosα+cosβ-cos(α+β)=32,得2cosα+β2cosα-β2-2cos2α+β2+1=32,即4cos2α+β2-4cosα+β2cosα-β2+1=0,配方得(2cosα+β2-cosα-β2)2+sin2α-β2=0,∴sinα-β2=0,①2cosα+β2-cosα-β2=0.②由①式结合α缀(0,仔),β缀(0,仔),得α=β.代入②式得co…