运用判别式△证明不等式

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0;若a<0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≤0. 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则△=b2-4ac≥0. 以上性质,我们可以用来证明不等式. 例1 已知a,b∈R,且b>0.求证:a2+b2>3a-2ab-3. 证明:被证不等式可变形为     

一道中考题的数形结合分析

1 案例的呈现2005年天津市中考有一道代数综合题:例已知二次函数 y=ax~2+bx+c.(1)若 a=2,c=-3.且二次函数的图象经过点(-1,-2),求 b 的值;(2)若 a=2,6+c=-2,b>c,且二次函数的图象经过点(p,-2),求证:b≥0;(3)若 a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图象经过点(q,-a),试问当自变量 x=q+4时,二次函数y=ax~2+bx+c 所对应的函数值 y 是否大于0.并证明你的结论.本题的核心内容在第(3)问(第(1)、(2)问只是其     

关于二次函数性质的几点拓展

二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系.在二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)中.令y=0,即得一元二次方程ax~2+bx+c=0.若此时方程有实数根,则此实数根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.从这个基本事实出发,即可得到如下一些基本关系: 1.判别二次函数图象与x轴有无交点,可运用相应的一元二次方程根的判别式△=b~2-4ac,即     

实系数一元二次方程虚根的分布

对于实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0) (*)当△=b~2-4ac≥0时有实根,且实根的分布情况常借助抛物线y=ax~2+bx+c (a≠0)与x轴的交点来实现的。当△=b~2-4ac<0时,方程(*)无实根。由于在复数范围内,任何一个实系数一元二次方程都有两个根,因此,当△=b~2-4ac<0时,方程(*)只有两个虚根且共轭。显然,这两个虚根对应的点不在x轴上。那么虚     

构造二次式,解数学竞赛题

利用构造法解题,是较长一段时间来各类数学杂志讨论的热门。笔者认为,这些讨论对于训练思维、培养观察、联想、综合分析能力、提高解题水平,无疑是有益的。本文试图从二次式这一个角度,用构造法探求数学竞赛中有关问题,供同行们参考。二次式通常指二次方程、二次函数及二次不等式等,其主要性质有: Ⅰ.若实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有实数解,则△=b~2-4ac≥0,x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a,反之变然, Ⅱ.二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),     

判别式在解题中的应用

一无二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)根的判别式Δ=b~2-4ac常用于解方程、判别根的性质以及求解有关直线与二次曲线的位置关系等问题。除此之外,如能创造必要的条件,还可用判别式解其他某些题目,下面举例加以说明。 (一) 根据二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象,容易得到:当a>0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≥0;若a<0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≤0。     

二次三项式的本质属性及其应用

关于二次三项式ax~2+bx+c(a≠0),本文主要研究两个方面的问题: 一、二次三项式能因式分解的判定二次三项式ax~2+bx+c(a≠0)在给定数集内能否进行因式分解,这是中学代数的一个重要课题。现介绍如下四个定理。定理一有理系数二次二项式ax~2+bx+c(a≠0)在有理数集内能分解因式的充要条件是△=b~2-4ac为一个有理效的平方。证明:(1)必要性,若 ax~2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),为有理数,因a,b为有理数x_1,x_2也为有理数,故只有(b~2-4ac)~(1/2)为有理数。设(b~2-4ac=|m|(m为有理数),则b~2-4ac=m~2。即判别式△=b~2-4ac是一个有理数的平方。     

判别式法

根据b~2-4ac的值的符号可以判别一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,我们把b~2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号"△"来表示.具体判别方法是:一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0),(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当△<0时,方程没有实数根.这三     

利用二次方程根的判别式证明不等式

二次方程根的判别式反映了根的性质和系数之间的关系,它在不等式的证明中也有广泛的应用,现介绍如下。 我们知道,若二次方程ax~2+bx+c=O(a≠0)有两实数根△=b~2-4ac≥0,利用此性质,可证下件有关不等式。     

二次函数及一元二次方程根的分布

<正>二次函数与一元二次方程是数学的基础知识,它们之间具有千丝万缕的联系。二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有交点时,交点横坐标的值就是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根。在一元二次方程中,当b~2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b~2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b~2-4ac<0时,方程无实数根。其对应的二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点。一、二次函数的交点问题     

构造二次函数证明不等式

对于不等式的证明 ,课本着重介绍了比较法、综合法、分析法 .其实 ,构造二次函数f(x) =ax2 +bx +c(a>0 ) ,利用f(x) ≥ 0恒成立的充要条件Δ≤ 0和 f(x) >0恒成立的充要条件Δ<0来证明 ,也是一种行之有效的方法 .下面以新教材第二册 (上 )课本中的几个习题为例加以说明 .一、若 f(x) =ax2 +bx+c≥ 0 (a>0 ) ,则Δ =b2 -4ac≤ 0例 1　求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .证明　构造二次函数 f(x) =(a2 +b2 )x2 +2 (ac+bd)x +(c2 +d2 ) .当a ,b全为零时 ,不等式显然成立 .设a ,b不全为零 .∵a2 +b2 >0且 f(x) =(ax+c) 2 +(bx+d) 2 ≥ 0…     

神通广大的判别式

大家都知道,二次方程ax~2+bx+c=0…①的根与判别式△=b~2-4ac的关系:△>0圳①有两个不等实根;△=0圳①有两个相等实根;△<0圳①没有实根.“运用之妙,存乎一心”.判别式看似简单,实在神通广大,请看数例:例1已知ba+ca=1,求证:b2+4ac≥0.分析已知式可整理为a-b-c=0,由此可知方程ax2-bx-c=0有根x=1,所以△=(-b)2-4a(-c)≥0,即b2+4ac≥0.例2求正整数n,使28+211+2n为完全平方数.分析设x=24,原式就是x2+27·x+2n,要使它是完全平方数只要△=(27)2-4·1·2n=0,可解得n=12.例3求二次函数y=ax2+bx+c的最值.分析本题可用配方法解,也可以用判别式解决.函…     

三次函数的图象、性质及应用

一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的     

“判别式”在解题中的应用

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0)的判别式Δ=b~2-4ac,与方程的根,有下列关系存在: >0时,方程有两个不等的实根; Δ=b~2-4ac =0时,方程有两个相等的实根; <0时,方程没有实根。从几何意义上来看,二次函数y=ax~2+bx+c(其中a≠0)的图象是一条抛物线,也有下列关系存在: >0时,抛物线与x轴有两个交点(相交); Δ=b~2-4ac =0时,抛物线与x轴有一个交点(相切); <0时,抛物线与x轴没有交点(相离)。     

一元n次函数有n个实根的一个结论及运用

本文将"一元二次函数y=ax~2 bx c有两个实根,则判别式Δ=b~2-4ac≥0"这个结论推广到一元n次函数上,得到相应结论,并证明了算术-几何平均不等式的一个加细.     

抛物线中一类常见问题

抛物线y=ax~2+bx+c(a≠O)当△=b~2-4ac>0时,它与x轴有两个交点,这两个交点和顶点的连线构成等腰三角形.我们提供下列三个计算公式:     

利用一元二次不等式的一个推广证明不等式

若一元二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立,且a>0,则b2-4ac≤0.由它易得推广1:若(x-k1)2+(x-k2)2+…+(x-kn)2≥0,则(k1+k2+…+kn)2≤n(k21+k22+…+k2n),当且仅当k1=k2=…=kn时,取等号.证明:略.     

有关一元二次方程的一个有用公式

一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)是初中代数的重点内容,除了求根公式和韦达定理(根与系数关系)外,我们可进一步推得如下有用定理设x_1、x_1是方程ax~2 bx C=0(C≠0)的两根,则有|x_1-x_2|=△~(1/△)|a|(△=b~2-4ac)(*) (*)式的证明很简单,利用求根公式即可.但它的作用却不可小看,特别是用它求二次函数y=ax~2 bx C与x轴两个交点之间的距离较为简捷.     

力学中求极值的常用方法

1.配方法 对于二次函数y=ax~2+bx+c,通过配方可得: y=a(x+(b/2a))~2+((4ac-b~2)/4a)。 由二次函数的极值性可知: 若a<0,则y有极大值,当x=-b/2a时,y_(max)=4ac-b~2/4a;若a>0,则y有极小值,当x=-b/2a时,y_(min)=4ac-b~2/4a。     

抛物线与三角形面积一文的补充

本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结