连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

义务教材小学数学思考题教学提示(六)

题34把4、5、6、7、8、9、10、11、12填在方格里,使每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数加起来都得到24。(3.9) 教学提示这是一道三阶幻方问题,幻和为24。这道题的特点是:所填的数不是从1开始,而是从4开始的九个连续自然数。解题时,教师虽不能向学生讲解幻方知识,但应该指明本题填的是不从1开始的九个连续自然数。图的中心方格里     

提高解决问题的思维含量——“解决问题”课堂教学实录

课前,每个学生独立完成下面的"研究学习"单. 课堂实录: 学生分小组交流"研究学习"第1题.随后第6小组的学生与全班交流. 吕佳蕙:下面由我们小组带领大家讨论第(1)小题.我在表中举出了两组比较小的数、一组比较大的数来验证我的发现.我发现a+b+c等于中间数b乘3,任意奇数个连续自然数的和就是中间数乘自然数的个数.     

估计 确认 求解

[题目]四个连续自然数的倒数之和等于19/20,则这四个自然数两两相乘之积的和是多少? 这道题采用“估计—确认—求解”的方法来解答,能迅速、准确地找到答案。一、估计根据已知条件,经过估算可确定这四个连续自然数的范围。因为     

“平均数”解法的巧妙运用

“平均数”问题的基本数量关系是“总数÷总份数=平均数”。在教学中巧妙地创设“平均数”,问题的解题条件,诱导得宜,就可以某个问题为中心,多层次、多角度地寻求解决问题的途径和方法,以提高学生的学习兴趣,培养其思维的灵活性。 1.借用“平均数”问题,巧解文字题。例如:四个连续自然数的和是42,问这四个数分别是多少? 【分析】此题隐蔽的条件是“连续的自然数”。连续自然数的特征是“每个自然数依次比前一个数多1”,抓住这个关键,就可借用“平均数”问题,用多种方法解答此题。解法(一):先求最小那一个自然数。用“切除法”把其余三数都变成最小的那一个自然数(如下图),于是可列出算式:“(42—6)÷4”,问题便迎刃而解。     

一类奇特的平方数

有一类自然数N,它是另一个自然数π的平方数,且由两个连续自然数连写而成,例如183184,它是428的平方数,且由连续数183和184连写而成;又如075076,它是274的平方数,且由连续数075和076连写而成(在这里,从广义的角度来看待075,076,075076等是有益的).我们把具有这种特性的自然数称为“连写数”(连写数中的两个自然数的排列顺序可以山小到大,也可以由     

这三个数中最大的一个是多少

同学们对解数学竞赛题的思路很感兴趣,杜博士特举例和大家共同分析。例:三个连续自然数的和是231,这三个数中最大的一个是多少?(江西省小学生数学比赛选拔赛试题)这是一道有关平均数的计算题。特点:已知三个连续自然数的和,要求这三个数中的最大数是多少,关键是弄清三个连续自然数的特征、平均数的计算公式和平均数与三个连续自然数之间的关系。如1、2、3与6、7、8两组数,都是三个连续自然数。后一个数比前一个数多1。若把中间数作参照数,开头数最小,等于中间数减1;末尾数最大,等于中间数加1。特征:如果已知中间数。那么,三个连续自然数中的…     

10个连续自然数

有10个连续自然数,其中最小数是最大数的4/7,问最小数是多少? 因为相邻的两个自然数之间的差都是1,所以易知在10个连续自然数这一列数中,最大数(第十个数)比最小数(第一个数)多     

在指导练习中培养学生的创造想象

第八册数学练习十六第4题“所有自然数的公约数是几?”是一道有利于培养儿童创造想象力的题目。开始儿童看到这道题,感到束手无策,我在指导儿童练习时依次提了下面的问题:①什么是自然数?“所有自然数”:是从哪个数开始的?②按顺序排列的自然数后面一个数比前面一个数多几?③最小的自然数“1”有几个约数?然后要学生求出1和2的公约数(答案是1),再求1、2和3的公约数是几?(也是1)。④追问这两组数的公约数为什么都是1?再根据上面两例想象1、2、3和4的公约数,1、2、3、4和5的公约数。⑤提问:有最大的自然数吗?“所有自然数”可以写出多少个?在得到“自然数的个数是无限的”回答后,让学生凭借已有的表象和知识经验,张开想象的翅膀,创造新的设想:从1开始按依次加上1排列的自然数(自然数列),是写不尽的,排在“队伍”最前面的“1”就     

N■a (a 1) (a 2) … (a k)

无疑,若干个连续自然数的和仍为自然数.反之,任一自然数都可以分拆成若干个(至少两个)连续自然数之和吗?显然,1与2应否掉(二连续自然数之和最小为3);再者,仅为2~n(n∈N)的自然数也在剔除     

门票之谜

小猴灵灵得到一张参加晚会的门票。不过上面还有道题目,说是做出这道题后,这门票才能有用.这是一道填数字题:请将连续自然数     

对一道小学数学试题的思考

在一次六年级(数学)学业水平测试中,有这样一道判断题:“自然数可以分为质数、合数和1。”考试刚一结束,六年级的老师们纷纷打来电话询问:“这道题的答案是‘正确’还是‘错误’?”命题者给出的参考答案是“错误”,可老师们出现了两种情况,判断为“正确”和“错误”的几乎各占50%。于是我与命题者进行了沟通和交流,他认为:“自然数包括0,所以,这道题的答案是‘错误’。”判断为“正确”的老师认为人教版教材五年级下册第5页明确指出:“注意:为了方便,在研究因数和倍数的时候,我们所说的数指的是整数(一般不包括0)。”     

小学数学奥林匹克试题解题思路种种

十九、用分段法解题要求若干个连续自然数中有多少个数是某数的倍数,或者计算若干个连续自然数之积的尾部有多少个连续的零,一般可以把这些连续自然数分为若干段来解题。     

巧分析 妙解题

[题目]某自然数,可以表示成9个连续自然数的和,也可以表示成10个连续自然数的和,还可以表示成11个连续自然数的和。那么符合以上条件的最小的自然数是多少?(2005年小学数学奥林匹克决赛试题)[分析与解]解这道题,采用试一试的方法,很难得到答案。如果能通过分析,掌握连续自然数的和的有关特征,问题就容易     

判定两个数互质“十法”

同学们在学习了互质数以后,往往对判定两个数(特别是两个较大的数)是否互质感到困难,下面就介绍几种判定两个数互质的简易方法。一、两个连续的自然数一定是互质数。例如:17和18是互质数。二、1和其他任何自然数都是互质数。例如:1和12,1和35等。三、两个连续的奇数一定是互质数。例如:5和7是互质数。     

从智慧数中获智慧

今年《读书时报》21期刊登的“创新杯”全国中学生数学知识竞赛八年级试题中,有这样一道题:如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为智慧数.根据你的判断下列四个数不是智慧数(指能表示成两个自然数的平方差的自然数)的是(摇).A.2001摇B.2002C.2003D.2004粗看这道题,似乎只能尝试拼凑求解,但回顾学习平方差公式后用简便方法计算104×96,就不难发现下面的定理:任何两个正整数的积都可以表示成两个数的平方差.因为:a×b=(a+b2-a-b2)(a+b2+a-b2)(a、b是正整数,a≥b)有了以上定理,那么:任何一个正整数m只有两种可能:①m…     

怎样求连续数的个数

一、连续自然数的个数是:尾数-首数+1。例如,自然数1,2,3,……,100的个数是100-1+1=100(个)。又如,自然数10,11,12,……,206的个数是206-10+1=197(个)。二、连续奇数或连续偶数的个数是:(尾数-首数)÷2+1。例如,连续奇数1,3,5,7,9,11,13,11,15的个数是(15-1)÷2+1=8(个);25,27,29,……,99的个数是(99-25)÷2+1=38(个)。又如,连续偶数12,14,16,……,108的个数是(108-12)÷2+1=49(个);100,102,104,……,200的个数(200-100)÷2+1=51(个)。三、差数相同的连续自然数的个数是:(尾数-首数)÷差数+1。例如:差都是3的自然数1,4,7,……,247的个数是(2…     

小于2012的自然数中,“魔术数”有多少个?

将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果得到的新数都能被N整除,那么称N为"魔术数"。在小于2012的自然数中",魔术数"有几个?解:由题知:N接写在任意一个自然数X右面得新数XN。(1)若N是一位数,则     

对一道判断题的看法

在小学数学第十二册(人教版)上编排了这样一道判断题:1是所有自然数的公约数。在过去的教学中,由于自然数并不包括0,所以此说法是正确的。而现在把0看作了自然数,又该怎样判断呢?不少教师认为:我们在研究约数和倍数时,是针对不为0的自然数而言的,所以不能把1作看0的约数,即该题应判为错误。也有教师认为:既然在研究约数和倍数时所说的数不包括0,就应把它作为该题的前提条件,因此,该题要判为正确。从上面的讨论中可看出,两种观点其实是一样的,即题中“的所有自然数”若包括0则判为错误,若不包括0则判为正确。笔者却认为,题中“的所有自然数”…     

关于两个连续自然数乘积的定理及其应用

本文给出一个自然数能分解为两个连续自然数乘积的充分条件,并举数例说明其应用。 [定理] 设n是大于1的任意奇数,则数1/4(n~2-1)可以分解成两个连续自然数的乘积。证明∵n是大于1的奇数,∴可设n=2m+1(m∈N) ∴