三角形性质在四面体中的推广

三角形是最简单的平面图形 ,其性质熟为人知 ,本文试图从三角形性质类比地推证最基本的空间图形——四面体的性质 ,以达到提高认知能力之目的     

浅谈三角形性质的类比

平面图形中最简单的多边形是三角形，空间图形中最简单的多面体为四面体．将平面内许多与三角形有关的概念、公式与性质类比推广到空间四面体，可以得到许多优美的结论和性质．人教版选修2-2第82页的阅读与思考的内容为“平面与空间中的余弦定理”，介绍了由平面中的余弦定理猜想得到空间中的余弦定理，并给予证明．下面，我们一起回顾具体的类比过程：     

三角形到四面体性质的类比推广

数学家波利亚说过：＂求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比＂.本文是从三角形的性质出发,通过类比总结得到四面体的一些类似结论,并给出部分性质的证明。     

三角形中的一些定理在四面体中的类比

边数最少的多边形是三角形 ,面数最少的多面体是四面体 (或称三棱锥 ) .四面体的各面都是三角形 ,当共顶点的三条棱逐渐缩短 ,直到该点落到对面三角形中 ,空间图形又回到平面图形 ,也就是四面体与三角形之间有着必然的联系 ,它们既对立又统一 ,在一定条件下可相互转化 .我们知道 ,平面几何中三角形有很多重要定理 ,那么三角形有哪些定理可以类比到立体几何中去呢 ?下面谈一谈个人在教学实践中 ,此方面的一点总结 ,与同行商榷 .1　勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和 ,等于斜边c的平方 .将这一结论类比推广到空间得到相应的结论是 :定理…     

关于四面体的一个性质

四面体是较为简单的几何体，笔将它与三角形的有关性质进行类比，得到一个有价值的结论．     

直角四面体的若干性质

我们称三条侧棱两两互相垂直的四面体叫直角四面体，直角四面体具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质，在教学中发现这种四面体还具有一些美妙独特的性质，现归纳如下，仅供参考。     

三角形两个性质的三维推广

本文将三角形的两个平凡而有趣的性质推广到四面体中.先介绍三角形的两个性质:题1 设 M 是△PAB 的 AB 边上的点,任作一直线分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′点,则(PA)/(PA′) (PB)/(PB′)=2·(PM)/(PM′)的充要条件是 AM=MB.题2 设 M 是ΔPAB 的 AB 边上的点,过P点任作一圆分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′,则 PA′·PA PB′·PB=2PM′·PM 的充要条件是 AM=MB.题1的证明较易,证明从略.下面证明题2:     

基于德萨格定理的四面体的一组性质

在相关研究成果的基础上,应用四面体德萨格定理得到了有关四面体共点、共线、共面的一组新性质.     

四面体中一个有趣的不等式

读了[1]、[2]后深受启发，发现类比三角形可以得到四面体的许多性质，特别是正弦定理等．笔在教学中将四面体与球结合研究，发现了—个类似于正弦定理的不等式性质．     

三角形垂心一个性质的推广

文[1]中给出了关于三角形垂心的一个优美性质,即 定理1三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰好是三角形的九点圆圆心． 笔者研究发现上述性质中的垂心可以推广为平面上任意一点,在行文前,先给出如下定义．     

探究法学三角形性质定理

第一步是初步探究。教师提出这样的探究问题：根据等腰三角形的定义，它具有两边相等的特征，等腰三角形是否会有两角相等呢？学生仔细观察不同形状、不同大小的等腰三角形，并动手操作。有的用量角器量出两个底角的大小，有的折叠比较两个底角的大小。他们通过观察和操作，猜测等腰三角形两个底角可能相等。经过上面的探究，学生会在感性上形成初步认识，教师此时再引导学生以问题中的条件和结论概括成命题。第二步是深入探究。教师可从引导学生分析证明思路入手，提出探究问题：证明两角相等，通常采用的方法是证明三角形全等，那么根据下…     

四面体内心的两个性质

文[1]对三角形内心的性质做了探讨,得出了如下两个命题： 性质1 设△ABC的三个顶点A、B、C所对边长分别为a、b、c．已知I为△ABC的内心,过I作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,     

三角形中的有关性质在空间的推广

有这么一道题: 已知:正三棱锥P-ABC,O为底面△ABC的中心,过O的平面α分别与侧棱PA,PB,PC所在射线交于Q,R,S, 求证:(1)/(PQ) (1)/(PR) (1)/(PS)=(3)/(PA). 初看起来,证明它并不那么简单,但由三棱锥就联想到三角形的情形.     

用三角形纸折出的四面体探究

假设一个四面体P—ABC的侧面由卡纸组成，如果我们将该四面体沿着它的某个顶点（不妨设为P）剖开摊平，则一般地它的展开图是一个六边形P1AP2BP3C（它一般不一定是凸的），见图1．     

三角形有关分比的一组性质及空间推广

定理 1　设Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上的点 ,且 ＡＤＤＢ =ｘ ,ＡＥＥＣ =ｙ(ｘ、ｙ∈Ｒ+ ) ,ＢＥ、ＤＣ交于点Ｇ ,连结ＡＧ交ＢＣ于点Ｆ .则(1) ＢＦＦＣ =ｙｘ ;　 (2 ) ＡＧＧＦ =ｘ +ｙ ;(3)Ｓ△ＤＥＦ =2ｘｙ(1+ｘ) (1+ｙ) (ｘ +ｙ) Ｓ△ＡＢＣ.证明　 (1) ＢＦＦＣ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＡＣＧ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＣＳ△ＡＣＧＳ△ＧＢＣ =ＡＥＥＣＡＤＤＢ=ｙｘ .(2 ) ＡＧＧＦ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＦ =Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＦＣ =Ｓ△ＡＢＧ+Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＢＣ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＣ +Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＢＣ =ｘ +ｙ .(3)∵ …     

从三角形到四面体——类比思想在中学数学中的应用

数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识,是对数学规律的理性思考,如化归法、抽象法、类比法、特殊化与一般化、数学模型方法等等都是数学思想的具体体现.数学思想是解决数学问题的先导,类比思想是数学思想是进行数学发现的重要思想.     

三角形外角平分线的一个性质的空间推广

三角形的外角平分线有下面的性质（应用Menelaus定理容易证明）： 定理0＾［1］ 三角形的外角平分线与对边相交,三个交点共线．本文拟将这个性质引申至三维空间,证明四面体中的外二面角平分面的一个性质,即有 定理1 经过四面体的一条棱的外二面角平分面与对棱相交,六个交点共面．     

四面体内心与旁心两个性质的简单证明

设四面体A1A2A3A4的体积为y，内切球半径为r，顶点Ai所对的侧面f1（三角形）的面积为△i（i=1，2，3，4），顶点Ai。所对旁切球半径为ri，旁心为Ii（i=1，2，3，4），四面体A1A2A3A4的内心为I。最近文献[1]中获得了四面体内心与旁心如下两个重要性质。     

一个三角形性质的应用

性质 从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．     

等周三角形的性质

三角形是最简单最基本的平面几何图形,也是初中数学中的重要内容．与三角形有关的例如形状、周长、面积等问题是中考中的热门题型．本文对“有相等周长的三角形”即“等周三角形”的特征性质进行研究．