课本中一道例题的深化

通用教材高中平面解析几何第116页上有这样一道例题: 例求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。课本首先解方程组,求得“它们有四个交点:P_1(5(15)~(1/2)/,3/4)…”笔者认为,教学中讲完课本证法后,引导学生探求新的证法是很有意义的。新的证法如下:     

解析几何教材中一道例题的另解

现高中教材《平面解析几何》(甲种本)第116页例3求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。书上证明方法是求四个交点坐标,再求交点处切线的斜率,验证两者成负倒数关系。实际上,本题可作一般性证明,即不必求出交点坐标。证明如下。设椭圆与双曲线的交点坐标为(x_0,y_0),则过(x_0,y_0)椭圆的切线为 x_0x/25+y_0y/9=1,即 9x_0x+25y_0y=225;双曲线的切线为x_0x-15y_0y=15,两切线的斜率分别为:     

也谈两条二次曲线公共点的个数

《中学数学月刊》1997年第7期“两条二次曲线公共点的个数与方程的判别式”一文,用到了所谓“双判别式法”,其实,利用一元二次方程根的分布知识容易解决此类问题,下面就举该文中的两个例子。 例1 若抛物线E:y=x~2 m与椭圆c:x~2/2 y~2=1有四个不同的交点,试确定m的取值范围, 解 由x~2/2 y~2=1,y=x~2 m.得     

从一道习题的解答,看学生的思维能力

习题:已知曲线C_1:5x~2+9y~2=45,C_2:y~2=x+m,问当m为何值时C_1和C_2相交,(1)有一个交点;(2)有二个交点;(3)有三个交点;(4)有四个交点.这个习题是关于曲线间的交点问题,所以学生较多地用图象法解答:因为C_1是一个椭圆,方程是x~2/9+y~2/5=1;C_2是拋物线,所以由图象易知(1)当m=-3时,C_1和C_2有一个交点;(2)当m=109/20(C_1和C_2相切的条件),或-3相似文献   

六年制重点中学高中《解析几何》课本一例浅议

在六年制重点中学高中《解析几何》课本的116页有这样一道例题:“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。”课本的证法是: 先解椭圆和双曲线方程所组成的方程组,求得四个交点 P_1((5(15)~(1/2))/4,3/4);P_2(-(5(15)~(1/2))/4,3/4);P_3((5(15)~(1/2))/4,-(3/4));P_4(-(5(15)~(1/2))/4,-3/4)。再分别求出椭圆、双曲线在点P_1处的切线方程,     

此类解题技巧是否有强化的必要?

我们首先看解析几何中的一个经典问题.例1直线l:x=my+1与椭圆C:x~2/4+y~2=1相交于P、Q两点,设A(-2,0),求三角形APQ面积的最大值.解:如图1,设直线l:x=my+1与x轴交点为R(1,0),直线l与椭圆C的     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道:过两曲线c_1:f(x,y)=0;c_2:g(x,y)=0的交点(如果存在的话)的曲线系方程为:f(x,y)+λ-g(x,y)=0(λ为参数)。在进行高三数学综合复习时,使学生能够熟练地使用曲线系方程来解决问题,对培养解题的能力是大有好处的。下面举例说明在教学大纲的范围内的一些应用。例1:已知两条相交曲线:x~2/16-y~2/9=1和x~2/25+y~2/9=1,试证:(1) 这两条曲线的交点在椭圆2x~2/41+y~2/41=1上;(2) 有无穷多条双曲线过这两曲线的交点。此题若按一般解法,求交点,再代入椭圆方程检     

不可忽视定义

先看如下题目: A为椭圆x~2/9+y~2/4=1和抛线物y~2=5x的一个交点,m为A到椭圆两焦点距离之和,n为A到抛物线焦点与准线的距离之比,求m+n的值。照通常解法,此题应先解二元二次方程组求得A点坐标,再求出椭圆和抛物线焦点     

错在哪里

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.     

Monge圆方程的三角推导法

<正>画法几何的创始人,18世纪法国数学家Gaspard Monge(蒙日)因发现蒙日圆而闻名于世.所谓蒙日圆,就是椭圆(或双曲线)的两条互相垂直的切线交点M的轨迹.具体地说,椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的两条互相垂直的切线交点     

有感于“一道错误习题”所引发的探索

笔者曾碰到这样一个问题:已知椭圆x~2/b~2+y~2/b~2=1的右焦点为F,右准线与x轴的交点为D.在椭圆上存在一点P,使得∠PFD=60°、∠PDF=45°,求该椭圆的离心率e.解题过程如下:     

从学生的节外生枝说开去——谈高中数学教学预设与动态生成的和谐统一

下面是一位教师在执教椭圆复习课中的一个教学片段:(教师在多媒体中出示例题:当m为何值时,直线l:y=x+m与椭圆x~2+2y~2=2,有一个交点②有两个交点③没有交点)师:请同学们思考一下,该怎样判断生(齐声):联立方程组,用Δ法进行判断     

两二次曲线四交点共圆的充要条件

六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。     

有心圆锥曲线切线的一个性质

正笔者在利用几何画板研究有心圆锥曲线的切线时发现一个简洁有趣的性质,现介绍如下:命题1自圆C_1:x~2+y~2=a~2+b~2上任一点P向椭圆C_2:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a,b0)引两条切线,则这两条切线互相垂直.证明:设P点的坐标为(x_0,y_0),自这一点向椭圆C_2引的两切线分别为l_1和l_2.(1)当切线的斜率存在且不为0时,设过P的切线方程为y-y_0=k(x-x_0),由y-y_0=k(x-x_0),x~2/a~2+y~2/b~2=1得(b~2+k~2a~2)x~2+     

错在哪里

一、山东广饶一中侯良田、吉林伊通县第五中学王伟来稿题:求椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1的切线被其对称轴所截的最短线段的长。解:设 P(acos,bsin)为椭圆上一点,则 P 点的切线方程为xcos/a+ysin/b=1不妨设是锐角(椭圆是轴对称图形),则切线与 x 轴正向、y 轴正向的交点分别是A(a/cos,0),B(0,b/sin)     

一类不定方程的有理解

下面是一个求二元二次不定方程解的问题。求x~2+y~2=1的有理解. x~2+y~2=1在笛卡儿坐标系下显然表示单位圆,且该圆过点P(0,1),因而求解不定方程问题可化为求过P的直线与单位圆交点Q中的有理点(两个坐标皆为有理数的     

圆锥曲线中两个常见命题的推广

两个常见命题:命题1 设 A、B 是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1长轴的两个端点,CD 是与 AB 垂直的弦,则直线AD 与直线 BC 交点的轨迹方程是x~2/a~2-y~2/b~2=1.命题2 设 A_1、A_2是双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1实轴的两个端点,P_1P_2是与 A_1A_2垂直的弦,     

一脉相承 星火燎原——对两道姊妹题的探究

一、从联赛到自主招生,一脉相承题1(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:(a~2)/(n~2)+(b~2)/(m~2)=(a~2)/(b~2).题2(2014年华约试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ与坐标轴的交点分别为E,F,求AEOF面积的最小值.     

椭圆与“渐近线”的密切关系

<正>众所周知,椭圆与双曲线的第一定义与第二定义相似,性质也有很多类似的,然而双曲线却独有渐近线,而椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的渐近线y=±b/ax又有什么紧密的关系呢?本文就以焦点在x轴上的椭圆C:x~2/a~2+y~2/b~2=     

直线与椭圆的相关问题

1.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.判定方法 1利用椭圆上的点到直线的最短距离判定判定方法 2判别式法例1 m为何值时直线y=x+m与椭圆x~2+4y~2=4相交、相切、相离?解将y=x+m代入x~2+4y~2=4中,得5x~2+8mx+4m~2-4=0.