研究抛物线与x轴的交点

这是一种新颖的中考题，解题关键是把二次函数转化为二次方程来研究，并且注意联系关于交点的图形性质。     

何妨这样看？——从顶点位置看抛物线与x轴交点情况

如果我们换一种思考方式,变换一下思维视角,从顶点坐标来看抛物线与x轴交点情况,真的让人感到新颖、别致、妙趣横生而意味深长。下面,请同学们来共同领略新视角的精妙所在,事实上,设二次函数一般式为：     

谈抛物线与x轴的两个交点和顶点连线构成的三角形

抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当Δ=b~2-4ac>0时,它与x轴有两个交点,这两个交点和顶点的连线构成等腰三角形。我们提供下列三个计算公式:     

浅析抛物线与x轴相交类试题

以抛物线为载体的试题是近年来中考试题中的重要题型，也是压轴题的主要题源．其中一类以“抛物线与x轴相交”为条件的试题便是其中的一个热点，如何根据条件选择恰当方法是解决问题的关键．本文选取几则典型题谈谈处理这类问题的常规策略，供读者参考．     

一般抛物线位置及形状的确定

对于一般的抛物线方程ax2 +2hxy +by2 +2gx +2fy+c =0 ,其中L2 =ab -h2= 0 (1)通常用平移、旋转的方法确定其位置及形状 ,但过程往往较为复杂。本文另辟途径 ,给出一种较为简便的确定方法。为了使后面定理的证明不过于冗长 ,我们首先给出以下两条结论 (从抛物线的标准形式很容易证得 ) :(a)若直线与抛物线只有一个交点 ,则此直线与抛物线相切或者平行于抛物线的对称轴 ;(b)若抛物线的切线与对称轴垂直 ,则此切线一定过抛物线的顶点。方程 (1)通过配方总可变成如下形式 (具体方法见后 ) :L12 +L2 =0 (2 )其中L1=a1x +b1y +c1,L2 =a2 x +b2 …     

借助直线与抛物线交点的位置,研究一元二次方程根的分布

含参数的一元二次方程根的分布问题是一元二次函数应用中的一个重、难点,一般利用一元二次函数图像与一元二次方程根的关系来求解.这里介绍一种灵活运用直线与抛物线的位置关系、数形结合的求解思路.     

在几何画板中作直线与抛物线的交点

笔者在用几何画板进行教学时，遇到这样一个问题：如何作出过不在抛物线上两点的直线与该抛物线的交点，如图1。     

确定抛物线焦点位置的五种方法

最近,几个网友一起讨论了一个问题:如何用尺规方法找出给定抛物线的焦点.笔者对该问题进行了深入研究,将一些结论整理成文,与读者共享.定理1过抛物线y2=2px上任意一点(非顶点)作平行于对称轴的直线,该直线被抛物线在该点处的切(法)线反射后过焦点.图1证明如图1,设点P(x0,y0),则     

用向量法确定两条线段交点的位置

例1如图1,存△ABC中,E,F分别为边／4C,4B的中点,BE与CF相交于点G,     

用向量法确定两条线段交点的位置

正~~     

直线与抛物线的位置关系

求直线y=kx h与抛物线y=ax~2 bx c的切点坐标,需要解方程组 y=ax~2 bx c, y=kx h. 此方程组有没有解?如果有解,又有几解?这是直线与抛物线的位置关系问题.这个问题可通过以下方法解决: y=ax~2 bx c, y=kx h ax~2 bx c=kx h ax~2 (b-k)x (c-h)=0. 其判别式为△′0=(b-k)~2-4a(c-h). ①△′>0 直线与抛物线相交,设交点为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2);     

二次函数与X轴的交点问题

为了二次函数都知道:二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),当y=0时,则此函数形式化为ax2+bx+c=0(a≠0).即二次函数就化为一元二次方程了。所以一元二次方程实际上就是二次函数的特殊形式。因此,二次函数与x轴的交点问题就可以用一元二次方程根的分布和判定定理来解决。下面我们就用例子来谈谈二次函数与x轴的交点。     

在抛物线上探究与圆的位置关系

《数学课程标准》指出：在教学中,应注重所学内容与现实生活的联系,注重使学生经历观察、操作、推理、想象等探究过程．探索创新试题应运而生,其中有开放型试题、游戏型试题、探究型试题和猜测型试题,从而提高学生的数学素质和解决新问题的能力．本文在抛物线的图象上探究与圆的位置关系的有关问题,这需要我们充分利用抛物线的对称特点与性质,对点、直线和圆与圆的不同位置的情况与特征进行探索．从简单情形入手,从特殊情况转化,从归纳中探求结论,经过探究,发现规律,猜想结论．     

辅助平面在求线面交点中的作用

采用对比法对辅助平面在求一般位置的线面交点中的作用进行了论述 .首先举例介绍了求一般线面交点时采用辅助平面时作图的基本步骤 .然后举例说明了在求一般位置线面交点时不利用辅助平面的错误性 ,通过二者的对比 ,从而得出在求一般位置的线面交点时 ,必须使用辅助平面的结论     

二次函数系数与抛物线的位置关系

二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的系数a、b、c决定其图象抛物线的位置关系,此类题目,同学们常感困难,为能顺利解决此问题,对二次函数系数a、b、c与抛物线的位置的关系归纳如下,举例说明.     

求直线与抛物线交点的一类习题的简捷解法

定理:设抛物线方程y~2=2px,若过抛物线焦点F(p/2,0),且倾斜角为α(α≠0)的直线,交抛物线于M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2),则M、N点的坐标存在如下关系:x_1·x_2=p~2/4 ①y_1·y_2=-P~2 ②证明:过焦点F(p/2,0)且倾斜角为α的直线方程为:     

例析导数在函数值比较中的应用

比较函数值大小的问题是函数中常考题型之一,其方法多种多样,其中以函数单调性为主,而导数是判断函数单调性的常用工具,那么以导数为背景的比较函数值大小的问题应运而生,一般作为选择题的压轴题型,学生往往失分,下面就以2012年的高考模拟题为例浅谈此类问题的解法.     

直线与抛物线位置问题变式探究

直线与抛物线的位置关系问题,看似简单,却变化万千。让我们从一个简单的例题谈起。     

例谈直线与抛物线的位置关系

初中数学教材（人教版）九年级下册第26章第2节“用函数观点看一元二次方程”,其实教材只是初步探讨了二次函数与x轴（即直线Y=0）之间的位置关系,如果我们作进一步拓展,则继而可探讨一般直线与抛物线的位置关系．以下试对这一节内容作一定的拓展与引申．