第34届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1993一04一04)1.对素数户)3,定义pZIF(,)一艺、,,。,二,二、_l}F(P川J、PZ一兀丁一{—万一一卜 自l尸!这里{x}~x一〔x〕,表示x的小数部分.求f(P)的值. (张筑生供题) 2.n是给定的自然数,、妻2.若a,b,。,d是自然数,且满足牛十共相似文献   

第37届IMO中国国家队选拔赛试题解答

一、以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E.过D、E作BC的垂线,垂足分别为F、G.线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

第36届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1995-03-27) 一、求不能表示成|3~a-2~b|的最小素数p,这里a和b是非负整数。     

第35届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1994—03—25) 1.求所有的由四个自然数a,b,c,d组成的数组,使数组中任意三个数的乘积除以剩下的一个数的余数都是1。 (中国科技大学李尚志 供题) 2.在n×n方格纸的每一方格中填入一个数,使得每一行和每一列都成等差数列,这样填好数的方格纸称为一个等差密码表,如     

第37届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1996—04—03) 一、以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D和E,过D,E作BC的垂线,垂足分别是F,G,线段DG,EF交于点M。求证:AM⊥BC。 (裘宗沪 供题) 二、设N是自然数集,R是实数集,S是满足以下两个条件的函数f:N→R的集合:     

第34届IMO试题解答

1.解法一假设f(x)可分解为两个整系数多项式之积 f(x)=g(x)·h(x),(,)其中g(x)=x户+a,一:x,一‘+…+a,x+a。, h(x)~x.+b,一lxq一’+…+b:x+b0,且a,=l,bq=1,P,宁,a。,a;,…,a,一1,b。,b,,…,bq一:任2. 首先证明P和q均不小于2.若不然,不妨设P~1,有了(x)~(x+a。)h(x).由aob。~3,有a。~士l或士3,即f(x)有根士1或士3.但 f(1)=8, f(一1)=(一1)‘+5(一l)一’+3 ~(一1)一’·4+3转O, f(3)=3一+5·3‘一’+3笋0, f(一3)~(一3)’+5(一3)一’+3 ~(一3)一’·2十3笋0.所以,士1,士3不会是f(x)的根,即P,q均不小于2. 设2簇户镇q(n一2.由aob。一3,不妨设a…     

第38届IMO中国国家队选拔考试试题

一、给定λ>1,设P是ΔABC外接圆的弧BAC上的一个动点,在射线BP和CP上分别取点U和V,使得BU=λBA,CV=λCA,在射线UV上取点Q,使得UQ=λUV,试求点Q的轨迹. (张筑生 供题) 二、有n支足球队进行比赛,每两队都赛一场,胜队得3分,负队得0分,平局各得1分,问一个队至少要得多少分,才能保证得分不少于该队的至多有k-1支队,其中2≤k     

第39届IMO中国国家队选拔考试试题

第一天 (1998-03-30 8:00～12:30) 一、求正整数k,使得 (a)对任意正整数n,不存在j满足0≤j≤n-k 1,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(j k-1)成等差数列; (b)存在正整数n,使得有j满足0≤j≤6n-k 2,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(j k-2)成等差数列.     

第40届IMO中国国家队选拔考试试题

第一天 (1999-04-01 8:00～12:30) 一、对于满足条件x_1 x_2 … x_n=1的非负实数x_1,x_2,…,x_n,求的最大值. (张筑生 供题) 二、试求满足以下条件的全部质数p: 对任一质数q相似文献   

第34届IMO试题

第一天(4个半小时,共三题,每题7分)1.设 f(x)=x~n+5x~n+3,其中 n 是一个大于1的整数.求证:f(x)不能表示为两个多项式的乘积,其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次.2.设 D 是锐角△ABC 内部的一个     

第31届IMO试题解答

1.解法一如图所示,作D至且,B,M的连线段.显然有 乙CEF=乙DE‘“乙EMD,匕E CF二乙MAD。 于是, △C刀F。△AMD.诊;宣二卫兰二=1一卜￡止J生创圣.5二、DM“吕户F沉、9 FE。51。:。、:刀刃五fD叮丑CEMD oM召尸E·C止=1 F石乃刀召五D石二1 BE·五f五A石BE·刀石_AM AES八八E二S么。Ec=1一S△G见A尽△“互‘:S△D:工:S△。:nE从而,C刃·MD二刀汀·刀厂.另一方面,又有乙石CG“乙M刀D,于二,谁普贪乞.MD·MEG刀·C刀是,匕CG五‘匕C五F一匕五CG =乙E河D一兰叮BD二乙BD汀故△CGE。△B DM.从而,G刀.MB=CE·叮D.于…     

第49届IMO试题解答

1．已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线船交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

第41届IMO试题解答

1.圆Γ_1和圆Γ_2相交于点M和N。设l是圆Γ_1和圆Γ_2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ_1相切于点A,与圆Γ_2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ_1还相交于点C,与圆Γ_2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E,直线AN和CD相交于点P,直线BN和CD相交于点Q。证明:EP=EQ。 证明:令K为MN和AB的交点。根据圆幂定     

第62届IMO试题解答

1.设整数n≥100.伊凡先把n,n+1,…,2n的每个数写在不同的卡片上,再将这n+1张卡片打乱顺序并分成两堆.证明:至少有一堆中包含两张卡片,使得这两张卡片上的数之和为完全平方数.     

第53届IMO试题解答

1．设J为△ABC顶点A所对旁切圆的圆心．该旁切圆与边BC切于点M,与直线AB、AC分别切于点K、L,直线删与甜交于点F,直线KM与甜交于点G．设5是直线AF与BC的交点,     

第42届IMO试题解答

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则     

第40届IMO试题解答

1.确定平面上所有至少包含三个点的有限点集S,它们满足下述条件: 对于S中任意两个互不相同的点A和B,线段AB的垂直平分线是S的一个对称轴. 解:设G为S的重心.对S中任意两点A、B,记r_(AB)为S关于线段AB的垂直平分线的对称映射.因为r_(AB)(S)=S,所以r_(AB)(G)=G,这说明S中每个点到G的距离都相     

第45届IMO试题解答

试题(2004.7.12～13于希腊·雅典)第一天1.锐角三角形ABC中ABAC,以BC边为直径的圆分别交AB,AC于,.MNO为BC的中点,两个角,BACMON的平分线交于R.证明:两个三角形,BMRCNR的外接圆有一公共点在BC边上.2.求所有的实系数多项式()fx,使得对于满足0abbcca =的一切实数,,abc都成立()()(     

第33届IMO试题解答

1。由题设有a》2,a一1‘1~1—=工一—二声~下一, a aZ天b)3,‘)4,故若b)5,则(a一])(乙一1)(e一1、~1_—,产二,一. a be一3’b一1~Zc一1~3币厂护了,一百~夕万’所以abe毛4(a一1)(b一1)(e一1),,abc一1,,西=二一-二下二尸犷一一一百二;-~-~.万二<、仔。 L口一工)气o一工)又C一工)仍与③式矛盾.故只能b士3,4. 若西=3,由③得6(e一1)=6e一1,此方程无解;若b=4,由③得 9(e一1)=sc一1,解得e=8,综_L讨论,解为由题设知S〔N,从而S“1,2,几 (1)若S=1,即 (a一1)(b一1)(e一1)=a石e一1,亦即a十b+c=a乙+加十ca.①但由a相似文献