抛物线弓形面积的一种算法

在“定积分的应用”这一章中讨论到平面图形的面积时指出: 由两条连续曲线y_1=f_1(x),y_2=f_2(x)及直线x=a,x=b(a<6)所围成的平面图形(图1),它的面积计算公式是:     

非线性平面区域

1．边界是正、余弦函数例1 函数y=f(x)的图象与直线x= a,x=b及x轴所围成的图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]上的面积．已知函数y=sinnx在 [0,π/n]上的面积为2/n(n∈N*),则     

平面上两点关于直线或二次曲线位置关系的判定

设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0.     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.     

微积分中值定理的反问题

本文考虑了微分中值定理及积分中值定理的反问题,证明了下述结果:定理1 设函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导.且对任意ξ∈(a,b).g′(ξ)>0,F(x)=F(x)-F(ξ)/g(x)-g(ξ)为x的严格增函数(除ξ点外)。那么存在x_1,x_2∈(a,b),x_1<ξ相似文献   

积分中值定理反问题的讨论

在一般教科书中积分中值定理都叙述为:设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则存在ξ∈[a,b),使得 (integral from n=a to b)f(x)g(x)dx=f(ξ)(integral from n=a to b)g(x)dx。杨新民在[1]中提出了相反的问题:若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,对[a,b)内每一点ξ能否找到c,d∈(a,b),满足c<ξ相似文献   

定积分中值定理的一个推广

函数f(x)(?)(x)和g(x)(?)(x)分别在[a,b]上连续,在(a,b)内(?)(x)≠0则必存在一点ξ∈(a,b)使得g(ξ)integral from n=1 to ab f(x)(?)(x)dx=f(ξ)integral from n=1 to b(a)g(x)(?)(x)dx成立.这个结论对于多个函数对f_i(x)(?)(x),i=1,2,…,2n也成立.     

判别函数图象对称性的一组命题及应用

常用于判别函数图象对称性的命题可归纳如下:命题1　若函数y=f(x)满足f(a x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a b2对称.证　在y=f(x)图象上取A(a x0,y0),B(b-x0,y0),则AB中点为(a b2,y0),且对任一x0都成立,由x0任意性可知f(x)的图象关于直线x=a b2对称.推论1　若函数y=f(x)满足f(a ωx)=f(b-ωx),则y=f(ωx)关于x=12ω(a b)对称,即y=f(x)关于x=a b2对称.证　设ωx=t,则f(a t)=f(b-t),从而函数y=f(t)关于t=a b2对称,即y=f(ωx)关于直线x=a b2ω对称,或y=f(x)关于直线x=a b2对称.命题2　函数y=f(x)若满足f(a x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于…     

逆转90&#176;后再求平面图形的面积

我们知道,由直线x=a与x=b（b〉a）及曲线y=f（x）与y=g（x）所围成的平面图形（图1）的面积用定积分式子表示为S=∫a^b[f（x）-g（x）]dx（注意：被积函数为上线对应的函数式减去下线对应的函数式）,这就是以x为积分变量的面积定积分式子.     

圆锥曲线的切线公式

定理设P(x_0,y_0)为非退化曲线f(x,y)=ax~2 2bxy cy~2 2dx 2ey f=0所在平面上一点.若过P向曲线f(x,y)=0所引切线存在,则切线方程为: [(ax_0 by_0 c)(x-x_0) (bx_0, cy_0 e)(y-y_0)]~2 =[a(x-x_0)~2 2b(x-x_0) c(y-y_0)~2] ·f(x_0,y_0)。 (1) 证设由P引f(x,y)=0的切线,切点为     

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

广义奇偶函数的性质及其应用

文 [1]给出了广义奇偶函数的概念 :对于函数 f (x) ,若存在常数 a,b,使得函数定义域内任意 x,都有 f (a + x ) =-f (b-x)成立 ,则称 f (x)为广义奇函数 .特别地 ,当 a =b = 0时 ,f (x)是奇函数 .对于函数 f (x) ,若存在常数 a,b,使得函数定义域内任意 x,都有 f (a + x) =f (b -x)成立 ,则称 f (x)为广义偶函数 .特别地 ,当 a =b= 0时 ,f (x)是偶函数 .本文给出广义奇偶函数的性质 :定理 1　广义奇函数的图像关于点(a + b2 ,0 )成中心对称图形 ,广义偶函数的图像关于直线 x =a + b2 成轴对称图形 .证明 :(1)设 f (x)为广义奇函数 ,则存在常数…     

谈函数最值的几种求法

一、配方法函数y=f(x)=ax~2+bx+c(a■0),配方后有:y=a(x+b/(2a))+(4ac-b~2)/(4a),,由此,若a>0,当x=-(b/(2a))时,y_(min)=(4ac-b~2)/(4a);若a<0,当x=-(b/(2a))时,y_(max)=(4ac-b~2)/(4a).     

微积分基本定理的一种推广

本文利用微积分学的理论证明了如下结论:设f(x)在[a,b]上黎曼可积,函数g(x)在[a,b]上满足李普希兹条件,且几乎处处有g(x)=f(x),则integral from n=1 to ∞(f(x)dx)=g(b)-g(a)。     

函数的周期性与其它性质之关系初探

近年来,经常出现函数的周期性与函数其它性质相关的题目。那么函数的周期性与函数的其它性质有无本质的内在的关系呢?现讨论如下: 一、几个定理 定理1:设函数y=f(x)定义在R上,其图象关于x=a,x=b(a≠b)对称,则f(x)是以2|b-a|为周期的周期函数。 证明:不妨设a相似文献   

关于函数图象对称性的几个重要结论及应用

结论1设a、b为常数,则函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=a+b/2对称的充要条件是:对任意实数x,都有f(a+x)= g(b-x)．证明:(1)充分性:设点P(a+x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意     

利用一次函数性质解题

由一次函数y=f(x)=kx b的图象,我们易得下面的性质: 1° 若k>0(<0),则y=kx b在(-∞, ∞)上是增(减)函数。 2° 若(x_1,y_1)、(x_2,y_2)是函数图象上任意两点,则有(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=k。     

抛物线对称性的妙用

正我们知道,抛物线y=ax~2+bx+c是轴对称图形,它的对称轴为x=b/(2a)。抛物线的轴对称性是二次函数的一个重要特征,即若抛物线上有两个对称点的坐标为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)则一定有y_1=y_2,且其对称轴为x=(x_1+x_2)/2。当抛物线开口方向向上,抛物线上的点距离对称轴越远,所对应的点的纵坐     

数学科

例一:已知幂函数图像过点M(2,1/4),则f(0.5)=( )(A)2~(1/2)/2 ;(B)1/4;(C)4;(D)2~(1/2)[评析]这道题考查了函数的基本概念,初等函数的解析表达式,当x=x_0时求函数值y_0=f(x_0),及待定系数法等重要内容.解答本题首先要清楚幂函数的解析式是y=x~n,其次对函数图像的概念:“设函数y=f(x)定义在数集A上,则坐标平面上的点集{(x,y)|x∈A,y=f(x)}称为函数y=f(x)的图像”有明确的认识.一般的函数图像过点M(x_0,y_0).可以理解为x=x_0时y=y_0由已知幂函数     

一个重要结论及其应用

结论函数f(x)=daxc b(不妨设a>0),若b2=amd2(m∈R),则f(x) f(m-x)=bc.(※)证明f(x) f(m-x)=cdax b dam-cx b=(d2[adm( a bm-2)x badx)(a x2 b]acm-x)=d(am-x ax 2db)cbd(ax am-x d2abmd b2)因为b2=amd2,所以d2abmd b2=2db,所以f(x) f(m-x)=bc.特例(1)若d=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax c b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=bc.(2)若m=0,b2=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=axc b(a>0),若b2=1,则f(x) f(-x)=bc.(3)若c=1,d=1时,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax1 b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=1b.应用(函数的以上性质可应…